Algorithmische Kommutative Algebra ¨Ubungsblatt 1

Universität Kassel
FB 10, AG Computational Mathematics
Prof. Dr. Werner M. Seiler
Matthias Seiß
26.10.2016
Algorithmische Kommutative Algebra
Übungsblatt 1
Im Folgenden sei S = K[x1 , . . . , xn ] der Polynomring in n Variablen xi über einem Körper K.
Außerdem führen wir folgende Bezeichnung ein:
xµ = xµ1 1 . . . xµnn mit µ ∈ Nn0 .
Aufgabe 1
Mit ≺revlex bezeichnen wir die reverslexikographische Ordnung, die wie folgt definiert ist:
xµ ≺revlex xν ⇔ der letzte von Null verschiedene Eintrag von µ − ν ist positiv.
Zeigen Sie, dass ≺revlex keine Termordnung ist.
Aufgabe 2
Es seien f ∈ S ein Polynom vom Totalgrad deg(f ) = d und w eine weitere Variable. Dann ist
f (h) = wd f (
x1
xn
, . . . , ) ∈ K[x1 , . . . , xn , w]
w
w
offensichtlich ein homogenes Polynom, d.h., alle Monome besitzen den selben Grad. Man nennt
f (h) die Homogenisierung von f .
Es seien ≺ eine Termordnung auf S und ≺h ihre Erweiterung auf K[x1 , . . . , xn , w], die wie folgt
gegeben ist:
xµ wk ≺h xν wl ⇔ (xµ ≺ xν ) ∨ (xµ = xν ∧ k < l).
Man zeige:
1. ≺h ist eine Termordnung auf K[x1 , . . . , xn , w].
2. Falls ≺ eine Totalgradordung ist, so gilt lt≺h (f (h) ) = lt(f ) für alle f ∈ S.
Aufgabe 3
Für eine Termordnung ≺ und jedes Polynom f ∈ S sei die Bedingung lt≺ (f ) ∈ K[xk , . . . , xn ]
mit 1 ≤ k ≤ n äquivalent zu f ∈ K[xk , . . . , xn ]. Man zeige, dass ≺ die lexikographische Ordnung
≺lex ist. Falls ≺ eine Totalgradordung ist und für jedes homogene Polynom f ∈ S die Bedingung
lt≺ (f ) ∈ hxk , . . . , xn i äquivalent zu f ∈ hxk , . . . , xn i ist, dann ist ≺ die reverslexikographische
Totalgradordung ≺degrevlex .
Aufgabe 4
1. Es sei I E S ein monomiales Ideal. Man zeige:
f ∈I
⇐⇒
∀ t ∈ supp(f ) gilt t ∈ I.
2. Es sei I = hxµ1 , . . . , xµs i E S ein monomiales Ideal. Man zeige, dass f ∈ S genau dann ein
Element von I ist, wenn der Rest r von f im Divisionsalgorithmus bzgl. {xµ1 , . . . , xµs }
gleich 0 ist.
Aufgabe 5
Es sei S = K[x1 , x2 ] bzw. S = K[x1 , x2 , x3 ] mit lexikographischer Ordnung ≺.
1. Man dividiere f = x1 x22 + 1 durch f1 = x1 x2 + 1 und f2 = x2 + 1.
2. Man dividiere f = x21 x2 + x1 x22 + x22 durch f1 = x1 x2 − 1 und f2 = x22 − 1.
3. Man dividiere f = x21 x2 + x1 x22 + x22 durch f1 = x22 − 1 und f2 = x1 x2 − 1 (Reihenfolge
geändert).
4. Man dividiere f = x1 x22 x23 + x1 x2 − x2 x3 durch f1 = x1 − x22 , f2 = x2 − x33 und f3 = x23 − 1.