Vorbemerkung - Martin Ueding

Vorbemerkung
Dies ist ein abgegebenes Praktikumsprotokoll aus dem Modul physik412.
Dieses Praktikumsprotokoll wurde nicht bewertet. Es handelt sich lediglich um meine Abgabe
und keine Musterlösung.
Alle Praktikumsprotokolle zu diesem Modul können auf http://martin-ueding.de/de/university/bsc_physics/physik
gefunden werden.
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Praktikumsprotokoll
Halleffekt in Halbleitern
physik412 – Versuch 424
Martin Ueding
Lino Lemmer
Goran Ahmad
[email protected]
[email protected]
[email protected]
2013-12-16
Tutor: Christian Hammann
In diesem Versuch untersuchen wir Ladungstransporteigenschaften von Halbleitern, indem wir
im ersten Teil Hall-Effekts- und Leitfähigkeitsmessungen an zwei Halbleiterproben durchführen.
Nachdem sie über Nacht stark gekühlt wird, prüfen wir im zweiten Teil an einer der Proben das
Leitungs- und Hall-Effekts-Verhalten bei unterschiedlichen Temperaturen.
Inhaltsverzeichnis
1
Theorie
4
1.1 Leitung in Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Bändermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Fermi-Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Leiter, Halbleiter, Isolatoren . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Ladungsträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Dotierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Thermisches Verhalten von Halbleitern . . . . .
1.2 Streuung von Ladungsträgern . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Transporteigenschaften von Halbleitern . . . . . . . . .
1.3.1 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Driftbeweglichkeit und spezifischer Widerstand
1.3.3 Van-der-Pauw-Messmethode . . . . . . . . . . . .
1.4 Magnetische Thermospannungen . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Seebeck- und Peltier-Effekt . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Ettingshausen- und Nerst-Effekt . . . . . . . . . .
1.4.3 Righi-Leduc-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
4
4
6
6
6
6
7
7
8
8
10
10
10
10
2
Aufbau
11
3
Durchführung
12
3.1 Widerstandsmessung bei Raumtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Messung der Hallkonstanten bei Raumtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Messungen bei verschiedenen Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
13
13
Auswertung
17
4
4.1 Bestimmung des spezifischen Widerstands bei Raumtemperatur
4.2 Bestimmung der Hallkonstanten bei Raumtemperatur . . . . . .
4.2.1 Mit Nullfeldmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Ohne Nullfeldmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Bestimmung der Beweglichkeit und Ladungsträgerdichte . . . . .
4.4 Untersuchung der Temperaturabhängigkeit . . . . . . . . . . . . .
5
Diskussion
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17
18
19
20
21
21
25
3
1 Theorie
1.1 Leitung in Halbleitern
1.1.1 Bändermodell
Betrachtet man die Elektronen eines Atoms als lokalisiertes Wellenpaket und löst dessen Schrödingergleichung, sieht man, dass diese nur diskrete Wellenvektoren und damit durch die
Dispersionsrelation zusammenhängenden Energiewerte haben können. In einem Atomgitter
überlagern sich die einzelnen Potenziale derart, dass die diskreten Werte zu breiten Bändern
werden, welche durch die Elektronen von unten aufgefüllt werden. Dabei wird das höchste noch
voll besetzte Band als Valenz-, das nächst höhere als Leitungsband bezeichnet.
1.1.2 Fermi-Statistik
Ist keins der Elektronen angeregt, liegt also weder ein äußeres Potenzial, noch eine thermische
Anregung vor, sind nur Zustände bis zu einer bestimmten Energie E F , der Fermi-Energie, besetzt.
Ist T > 0, so werden vereinzelt Elektronen angeregt. Die Energieverteilung „schmiert aus“.
Die Breite des Übergangsbereichs ist 2kB T . In Abbildung 1.1 ist die Fermi-Verteilung, die diese
Anregungsverteilung beschreibt, gezeigt. Die Wahrscheinlichkeit ist dabei gegeben durch
1
W (E) =
exp
E−EF
kB T
+1
.
1.1.3 Leiter, Halbleiter, Isolatoren
Die Unterscheidung zwischen Leitern, Halbleitern und Isolatoren kann anhand der Bandlücke
zwischen Valenz- und Leitungsband getroffen werden.
Bei Leitern überlappen sich Valenz- und Leitungsband, sodass Elektronen ohne Probleme zwischen den Bändern wechseln können. Durch die dann teilbesetzten Bänder ist das Material
leitfähig.
Bei Halbleitern und Isolatoren liegt zwischen den Bändern eine Bandlücke, bei Halbleitern ist
diese mit bis zu einigen eV relativ klein, die Elektronen können durch entsprechende thermische
Anregungen in das Leitungsband angeregt werden. Bei Isolatoren ist sie größer, sodass solche
Anregungen nicht mehr ausreichen.
4
physik412 – Versuch 424
1.1 Leitung in Halbleitern
T =0 K
T =300 K
T =600 K
T =1200 K
1.0
W(E)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
E/EF
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
Abbildung 1.1: Besetzungswahrscheinlichkeit für verschiedene Temperaturen
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
5
physik412 – Versuch 424
1.2 Streuung von Ladungsträgern
1.1.4 Ladungsträger
Wird ein Elektron in das Leitungsband angeregt, ist dieses quasi frei. Ein durch eine angelegte Spannung entstandenes elektrisches Feld kann dieses Elektron beschleunigen, ein Strom
fließt.
Im Valenzband entsteht gleichzeitig ein Loch, das heißt ein freier Zustand, in welches andere
Elektronen wechseln können. Dieses scheinbar positiv geladene Teilchen trägt ebenso zum
Ladungstransport bei. Da hier jedoch Elektronen von Loch zu Loch springen müssen, sind diese
Löcher weniger beweglich, als die freien Elektronen.
1.1.5 Dotierung
Da bei Halbleitern immer noch Energien in der Größenordnung eV aufgebracht werden müssen
um Elektronen in das Leitungsband anzuregen. Dies sorgt dafür, dass sie bei niedrigen Temperaturen nicht sehr effektiv sind. Um die Leitfähigkeit zu erhöhen wird der Halbleiter dotiert. Das
bedeutet, dass dieser gezielt durch Atome mit mehr (n-Dotierung) oder weniger (p-Dotierung)
verunreinigt wird. Dadurch wird im Fall der n-Dotierung knapp unterhalb des Leitungsbandes
ein weiteres Band erzeugt, aus welchem Elektronen mit weitaus weniger Energie angeregt
werden können. Bei p-Dotierung entsteht das Band knapp oberhalb des Valenzbandes.
1.1.6 Thermisches Verhalten von Halbleitern
Man kann drei Temperaturbereiche unterscheiden, in denen Halbleiter verschiedene Verhalten
zeigen, hier anhand eines n-Dotierte Halbleiter beschrieben. Im (Störstellen-)Reservebereich
ist die Temperatur so gering, dass auch die Elektronen im Donatorband nicht oder nur wenig
angeregt sind. Da so nur wenige Ladungsträger zu Verfügung stehen, ist die Leitfähigkeit
gering.
Im Erschöpfungs- bzw. Sättigungsbereich sind alle Elektronen aus dem Donatorband angeregt.
Nun ist die Leitfähigkeit deutlich höher, nachdem sie zwischen Reserve- und Sättigungsbereich
kontinuierlich angestiegen ist.
Im intrinsischen Bereich ist das Verhalten von dotierten und undotierten Halbleitern identisch.
Die Temperatur ist so hoch, dass Elektronen aus dem Valenzband in das Leitungsband angeregt
werden. Die Leitfähigkeit steigt hier erneut.
1.2 Streuung von Ladungsträgern
Jede Störstelle, wie zum Beispiel Löcher oder Fremdatome im Gitter, sowie die mit der Temperatur zunehmenden Gitterschwingungen, sorgen für eine Abweichung im periodischen Potenzial.
Die daraus folgende Deformation der Bänder führt zu Streuung der sich bewegenden Elektronen.
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
6
physik412 – Versuch 424
1.3 Transporteigenschaften von Halbleitern
1.3 Transporteigenschaften von Halbleitern
1.3.1 Hall-Effekt
Auch hier betrachten wir zunächst negative Ladungsträger. Die dargestellte Physik gilt dabei
selbstverständlich analog für Löcherleitung.
Wird ein quaderförmiger (Halb-)Leiter von einem Strom in x- und von einem Magnetfeld in
z-Richtung durchsetzt, lenkt die Lorenz-Kraft die Elektronen in y-Richtung ab. Dort sammelt
sich Ladung an, wodurch ein elektrisches Feld aufgebaut wird, das die Ablenkung der Elektronen
abschwächt. Sobald die Kräfte gleich groß sind, fließt der Strom wieder nur in x-Richtung. Es
gilt
Bev = −eE.
Die Driftgeschwindigkeit v ist dabei proportional zur Stromdichte, daher folgt für den Proportionalitätsfaktor
RH = −
E
Bj
=
V
B jb
=
dV
BI
.
Diese Hall-Konstante wird häufig unabhängig von der Dicke der Probe angegeben:
RHS =
V
BI
Man sieht, dass sie das gleiche Vorzeichen hat, wie die Hall-Spannung. Da bei in einem pDotierten Halbleiter die Löcher in die gleiche Richtung abgelenkt werden ist die Spannung
umgekehrt. Wir nehmen diese so ab, dass sie bei p-Dotierung positiv ist. Desweiteren gilt wegen
j = epv
RH =
1
ep
,
wobei p die Ladungsträgerkonzentration darstellt. Da wir hier jedoch davon ausgehen, dass alle
Ladungsträger die gleiche Driftgeschwindigkeit habe, es in der Realität aber eine Geschwindigkeitsverteilung gibt, die zum Beispiel auf Streuprozesse zurückzuführen sind, müssen wir noch
einen Korrekturfaktor hinzunehmen:
RH =
r
ep
.
Dieser hängt vom vorherrschenden Streuprozess ab und ist zum Beispiel für Streuung an
ionisierten Störstellen r = 1,93.
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
7
physik412 – Versuch 424
1.3 Transporteigenschaften von Halbleitern
1.3.2 Driftbeweglichkeit und spezifischer Widerstand
Die Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger ist für nicht zu große elektrische Felder proportional
zu deren Feldstärke:
v = µE.
Die Proportionalitätskonstante µ nennt man Beweglichkeit der Ladungsträger. Es gilt
µ=
v
E
=
j
epE
=
σ
ep
=
RH σ
r
,
mit der Leitfähigkeit σ, welche mit dem spezifischen Widerstand ρ über
σ = ρ −1
zusammenhängt. Man muss die Driftbeweglichkeit von der Hall-Beweglichkeit unterscheiden.
Diese hängen über den Korrekturfaktor r zusammen:
µH = rµ.
Möchte man die Beweglichkeit, Leitfähigkeit und den spezifische Widerstand unabhängig von
der Dicke ausdrücken, kennzeichnet man dies ebenso wie bei der Hall-Konstante mit dem Index
„S“.
1.3.3 Van-der-Pauw-Messmethode
Mit der Van-der-Pauw-Messmethode kann man sowohl den Hall-Effekt, als auch die Transporteigenschaften von nicht quaderförmigen Proben untersuchen. Auch hier geht man jedoch von
einem homogen dotierten, nicht durchlöcherten, scheibenförmigen Leiterstück aus.
An der Probe werden vier Anschlüsse befestigt, durch die entweder ein Strom durch die Probe
geleitet wird, oder eine Spannung abgegriffen wird. Diese Anschlüsse liegen auf dem Rand der
Probe uns sind hinreichend klein.
In Abbildung 1.2 und 1.3 ist der Aufbau für die Widerstands- bzw. Hall-Effekts-Messung gezeigt.
Nun wird der Widerstand RAB,CD bestimmt, das erste Indexpaar gibt dabei die Stromrichtung,
das zweite die Kontakte für den Spannungsabgriff an:
V CD
RAB,CD =
IAB
Wie man daraus den spezifischen Widerstand und die Leitfähigkeit bestimmt, wird wird in
Abschnitt 4.1 näher beschrieben. Die Hall-Effekts-Messung ist in Abschnitt 4.2 genauer dargestellt.
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
8
physik412 – Versuch 424
I AD
1.3 Transporteigenschaften von Halbleitern
A
B
U BC
Probe
I AD
C
D
Abbildung 1.2: Anschlüsse für die Widerstandsmessung nach van der Pauw
A
U AC
B
I BD
Probe
I BD
C
D
Abbildung 1.3: Anschlüsse für die Hall-Effekts-Messung nach van der Pauw
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
9
physik412 – Versuch 424
1.4 Magnetische Thermospannungen
1.4 Magnetische Thermospannungen
1.4.1 Seebeck- und Peltier-Effekt
Liegt in einem (Halb-)Leiter ein Temperaturgradient vor, so ist die Anzahl der energetisch höher
liegenden Elektronen nicht homogen verteilt. Der dadurch entstehenden Gradient sorgt für
einen Stromfluss, der den Konzentrationsunterschied auszugleichen versucht. Dieser Effekt heißt
nach seinem Entdecker Seebeck-Effekt.
Fließt ein Strom, werden energetisch höher liegende Elektronen transportiert. Dies sorgt dafür,
dass sich diese Elektronen in einem Bereich häufen, was zu einer Steigerung der Temperatur
führt. Dieser umgekehrte Seebeck-Effekt heißt Peltier-Effekt.
Kombiniert man beide Effekte, sorgt das dafür, dass ein Temperaturgradient ausgeglichen
wird.
1.4.2 Ettingshausen- und Nerst-Effekt
Der Ettingshausen-Effekt wirkt ähnlich wie der Hall-Effekt: Durch die Ablenkung der Elektronen
beim Hall-Effekt, nimmt die Anzahl der Kollisionen in einem Teil des Leiters zu. Dadurch wird
dieser dort erwärmt.
Der Nerst-Effekt ist eine Kombination des Seebeck-Effektes mit dem Hall-Effekt. Liegt in einem
Leiter ein Temperaturgradient senkrecht zu einem angelegten magnetischen Feld vor, werden die
durch den Seebeck-Effekt fließenden Elektronen wie beim Hall-Effekt abgelenkt. Dabei entsteht
ein elektrisches Feld, bzw. ein senkrecht auf Gradient und Magnetfeld stehende Strom. Dies ist
scheinbar eine Umkehrung des Ettingshausen-Effektes.
Der Nerst- und der Ettingshausen-Effekt werden häufig auch als erster bzw. zweiter Ettingshausen-Nerst-Effekt bezeichnet.
1.4.3 Righi-Leduc-Effekt
Dieser Effekt, ist das thermische Analogon zum Hall-Effekt. Ein Wärmestrom wird von einem
senkrecht dazu stehenden magnetischen Feld abgelenkt. Dadurch entsteht hier ein Temperaturgradient.
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
10
2 Aufbau
Der Aufbau des ersten Versuchsteils ist in Abbildung 2.1 zu sehen. An der Stromquelle wird ein
Strom eingestellt, welcher für den ganzen Versuch beibehalten wird. Dieser muss für unsere
beiden Indium-Arsenit-Proben unter 15 mA liegen. Am Voltmeter kann die gemessene Spannung
abgelesen werden.
Die Schaltbox sorgt für die Verteilung des Strom und der Spannungsabgriffe an unserer Probe.
Sie hat zwei Knöpfe, jeweils mit Einstellmöglichkeit 1-12, welche für eine bestimmte Beschaltung
stehen. Für eine Zuordnung sei auf Heldt 1993, Tab. 4.1 und ebd., Tab. 4.2 verwiesen.
Der Permamagnet kann je nach Bedarf gedreht bzw. weggelassen werden.
Für den zweiten Versuchsteil wird die Probe in einen abgedichteten Behälter gestellt. Dieser
wird mit Hilfe einer Membran- und einer Turbopumpe evakuiert. Ein Kompressor sorgt durch
Expansion und Kompression von Helium für eine starke Kühlung der Probe. Die Temperatur
im Behälter kann an einer Termospannung abgelesen werden, welche mit einer ausliegenden
Tabelle in ◦C umgerechnet werden kann.
An der Befestigung der Probe sind Heizwiderstände angebracht, die an einer weiteren Stromquelle angeschlossen sind. Durch diese kann die Temperatur gegen die Kühlung hoch geregelt
werden.
Probe
Stromquelle
I
I
Permamagnet
U
Schaltbox
U
Voltmeter
Abbildung 2.1: Schematischer Aufbau für Versuchsteil 1
11
3 Durchführung
3.1 Widerstandsmessung bei Raumtemperatur
Zuerst messen wir den Widerstand an den Proben InAs HF-540 und InAs HF-301-040. Dazu
benutzen wir die Nummerierung der Schalterstellungen aus Heldt 1993, Tab. 4.1.
Den Strom stellen wir für alle weitere Durchführungen auf I = 13,601 mA ein. Dieser hat sich
im Laufe des Versuches nur um 0,01 mA geändert, so dass dies keine große Fehlerquelle werden
wird.
Die Messungen für die beiden Proben sind in den Tabellen 3.1 und 3.2.
Beschaltung
1
2
3
4
5
6
7
8
U/mV
81,4
−81,3
81,0
−81,0
81,3
−81,3
81,0
−81,0
U/mV
U/mV
81,4
−81,3
81,0
−81,0
81,3
−81,3
81,0
−81,0
81,4
−81,3
81,0
−81,0
81,3
−81,3
81,0
81,0
U/mV
81,4
−81,3
81,0
−81,0
81,3
−81,3
81,0
−81,0
U/mV
81,3
−81,3
81,0
−80,1
81,3
−81,3
81,0
−81,0
Tabelle 3.1: Gemessene Spannungen bei der Widerstandsmessung für Probe InAs HF-540. Die
Wiederholungen der Messung für jede Beschaltung sind jeweils in einer Zeile.
Beschaltung
1
2
3
4
5
6
7
8
U/mV
91,4
−91,4
92,2
−92,1
91,4
−91,4
92,2
−92,2
U/mV
U/mV
91,4
−91,4
92,2
−92,2
91,4
−91,4
92,2
−92,2
91,4
−91,4
92,2
−92,2
91,4
−91,4
92,2
−92,2
U/mV
91,4
−91,4
92,2
−92,2
91,4
−91,4
92,2
−92,2
U/mV
91,4
−91,4
92,2
−92,2
91,4
−91,4
92,2
−92,2
Tabelle 3.2: Gemessene Spannungen bei der Widerstandsmessung für Probe InAs HF-301-040.
Die Wiederholungen der Messung für jede Beschaltung sind jeweils in einer Zeile.
12
physik412 – Versuch 424
3.2 Messung der Hallkonstanten bei Raumtemperatur
3.2 Messung der Hallkonstanten bei Raumtemperatur
Für die Messung der Hallkonstanten an den beiden Proben benutzen wir den Permanentmagneten mit B = 0,138(1) T1 .
Die Messdaten sind in den Tabellen 3.3 und 3.4.
Beschaltung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U/mV
U/mV
U/mV
U/mV
U/mV
24,7
−24,7
24,0
−24,0
−24,0
24,0
−24,6
24,6
0,298
−0,349
24,7
−24,7
24,0
−24,0
−24,0
24,0
−24,6
24,6
0,295
−0,351
24,7
−24,7
24,0
−24,0
−24,0
24,0
−24,6
24,6
0,295
−0,351
24,7
−24,7
24,0
−24,0
−24,0
24,0
−24,6
24,6
0,296
−0,351
24,6
−24,7
24,0
−24,0
−24,0
24,0
−24,6
24,6
0,296
−0,350
Tabelle 3.3: Gemessene Spannungen bei der Messung der Hallkonstanten für Probe InAs HF540. Die Wiederholungen der Messung für jede Beschaltung ist jeweils in einer
Zeile.
Beschaltung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U/mV
U/mV
U/mV
U/mV
U/mV
−21,0
21,0
−19,5
19,5
19,5
−19,5
21,0
−21,0
−0,752
0,745
−20,9
20,9
−19,4
19,4
19,5
−19,5
20,1
−21,0
−0,752
0,745
−20,0
20,9
−19,4
19,4
19,5
−19,5
21,0
−21,0
−0,752
0,745
−20,9
20,9
−19,4
19,4
19,5
−19,5
21,0
−21,0
−0,752
0,745
−20,9
20,9
−19,4
19,4
19,5
−19,5
21,0
−21,0
−0,752
0,745
Tabelle 3.4: Gemessene Spannungen bei der Messung der Hallkonstanten für Probe InAs HF301-040. Die Wiederholungen der Messung für jede Beschaltung ist jeweils in einer
Zeile.
3.3 Messungen bei verschiedenen Temperaturen
Nach Beendigung der letzten Messung an Probe InAs HF-301-040 lassen wir diese im Kryostaten
und starten die Kühlung. Am nächsten Tag fahren wir mit der Messung bei der niedrigsten
1
In dieser Notation bedeutet 1,234(5), dass der Wert 1,234 ± 0,005 ist. Die Ziffern in Klammern sind die Fehlerangabe. Um den Fehler zu erhalten, wird diese von rechts über die Zahl gelegt, alle anderen Stellen werden auf 0
gesetzt.
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
13
physik412 – Versuch 424
3.3 Messungen bei verschiedenen Temperaturen
Temperatur fort. Wir heizen für jede weitere Messreihe die Probe mit den Heizwiderständen auf
und halten die Temperatur dann möglichst konstant. Die Schwankung, die wir während den
Messreihen beobachtet haben, haben wir als Fehler angegeben.
Bei jeder Temperatur haben wir eine Messreihe für den Widerstand und eine für die Hallkonstante vorgenommen. Die Ergebnisse sind in Tabelle 3.5 bzw. 3.6. Bei der Temperatur handelt es
sich um die mit der ausliegenden Tabelle konvertierte Thermospannung. Erst in der Auswertung
korrigieren wir die Verschiebung durch die erhöhte Raumtemperatur.
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
14
−266(10)
−245(2)
−224(2)
−204(1)
−185(1)
−165,0(5)
−145,0(5)
−123,0(3)
−105,0(3)
−85,0(2)
−42,0(4)
−2(1)
TRaum /◦C
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
74,5
74,5
74,5
74,6
74,9
75,1
76,0
76,4
76,9
78,1
80,3
81,5
−74,6
−74,6
−74,6
−74,7
−75,0
−75,2
−76,0
−76,4
−76,9
−78,1
−80,3
−81,5
74,2
74,2
74,2
74,3
74,6
74,8
75,6
76,1
76,6
77,7
80,0
81,2
−74,3
−74,2
−74,3
−74,4
−74,7
−74,9
−75,7
−76,1
−76,7
−77,8
−79,9
−81,2
74,5
74,5
74,5
74,7
74,9
75,2
75,9
76,4
77,0
78,0
80,2
81,5
−74,5
−74,5
−74,5
−74,7
−74,9
−75,2
−75,8
−76,4
−77,0
−78,0
−80,2
−81,6
74,3
74,3
74,3
74,4
74,7
75,0
75,5
76,2
76,7
77,8
79,8
81,3
−74,1
−74,1
−74,1
−74,2
−74,5
−74,8
−75,3
−76,0
−76,6
−77,6
−79,7
−81,3
3.3 Messungen bei verschiedenen Temperaturen
15
Tabelle 3.5: Gemessene Spannungen (in mV) bei der Messung des Widerstands für Probe InAs HF-301-040 bei verschiedenen Temperaturen. In
den Spalten stehen die verschiedenen Beschaltungen, in den Zeilen die unterschiedlichen Temperaturen.
physik412 – Versuch 424
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
T / ◦C
−266(10)
−245(2)
−224(2)
−204(1)
−185(1)
−165,0(5)
−145,0(5)
−123,0(3)
−105,0(3)
−85,0(2)
−42,0(4)
−2(1)
TRaum /◦C
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
25,0
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
25,2
25,2
25,3
25,3
25,3
25,3
25,2
25,2
25,2
25,1
24,8
24,6
−25,0
−25,1
−25,1
−25,1
−25,1
−25,1
−25,1
−25,1
−25,0
−24,9
−24,8
−24,6
24,4
24,4
24,5
24,5
24,5
24,5
24,5
24,4
24,4
24,3
24,1
23,9
−24,5
−24,6
−24,6
−24,6
−24,6
−24,6
−24,6
−24,5
−24,5
−24,4
−24,2
−23,9
−24,3
−24,4
−24,4
−24,5
−24,5
−24,5
−24,4
−24,4
−24,4
−24,3
−24,1
−23,9
24,5
24,6
24,6
24,7
24,7
24,6
24,6
24,6
24,5
24,4
24,2
23,9
−25,1
−25,2
−25,3
−25,3
−25,2
−25,2
−25,2
−25,1
−25,1
−25,0
−24,8
−24,6
25,0
25,0
25,1
25,2
25,1
25,1
25,1
25,0
25,0
24,9
24,7
24,6
U9
0,430
0,426
0,421
0,415
0,409
0,339
0,394
0,391
0,381
0,374
0,337
0,298
U10
−0,233
−0,230
−0,226
−0,224
−0,225
−0,220
−0,228
−0,240
−0,247
−0,261
−0,296
−0,352
3.3 Messungen bei verschiedenen Temperaturen
16
Tabelle 3.6: Gemessene Spannungen (in mV) bei der Messung der Hallkonstanten für Probe InAs HF-301-040 bei verschiedenen Temperaturen.
In den Spalten stehen die verschiedenen Beschaltungen, in den Zeilen die unterschiedlichen Temperaturen.
physik412 – Versuch 424
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
T /◦ C
4 Auswertung
4.1 Bestimmung des spezifischen Widerstands bei
Raumtemperatur
Aus den gemessenen Spannungen bestimmen wir nach Heldt 1993 mit dem eingestellten Strom
Widerstände. Die gemessenen 8 Spannungen, die wir wie in ebd., Tab. 4.1, V1 bis V8 nennen
werden, werden wie folgt verrechnet:
R i j,kl :=
|Vi − Vj |
2I kl
=
|Vi − Vj |
2I
.
Dabei ist I kl = I, da wir den Strom während der ganzen Durchführung auf dem Wert I = 13,6 mA
eingestellt haben. Die Zwischenergebnisse sind in den Tabellen 4.1 und 4.2 gezeigt.
R1234 /Ω
R2341 /Ω
R3412 /Ω
R4132 /Ω
R1234 /R2341
6,721
6,721
6,722
6,722
6,723
6,775
6,776
6,776
6,777
6,777
6,775
6,776
6,776
6,777
6,777
6,748
6,749
6,749
6,749
6,750
0,9919
0,9919
0,9920
0,9920
0,9919
R3412 /R4121
1,004
1,004
1,004
1,004
1,004
Tabelle 4.1: Widerstände für die Probe InAs HF-540.
R1234 /Ω
R2341 /Ω
R3412 /Ω
R4132 /Ω
5,980
5,980
5,980
5,980
5,980
5,956
5,956
5,956
5,956
5,923
5,956
5,956
5,956
5,956
5,923
5,968
5,968
5,968
5,968
5,935
R1234 /R2341
1,004
1,004
1,004
1,004
1,010
R3412 /R4121
0,9980
0,9980
0,9980
0,9980
0,9980
Tabelle 4.2: Widerstände für die Probe InAs HF-301-040.
Aus je zwei Widerständen können wir dann nach der van der Pauw-Methode einen Wert für den
spezifischen Widerstand bestimmen (ebd., Formel (4.9) und (4.10)):
‚
Œ
R12,34
πd R12,34 + R23,41
ρ1 =
f
ln(2)
2
R23,41
‚
Œ
R34,12
πd R34,12 + R41.23
ρ2 =
f
.
ln(2)
2
R41.23
17
physik412 – Versuch 424
4.2 Bestimmung der Hallkonstanten bei Raumtemperatur
Dabei ist f ein Korrekturfaktor für die Assymetrie der Probe. Aus Heldt 1993, Abb. 4.4, können
wir diesen Korrekturfaktor ablesen. Wie in Tabellen 4.1 und 4.2 zu sehen ist, sind die Verhältnisse
der R i j,kl derart nahe bei 1, dass wir f = 1 annehmen können.
Aus den beiden Werten für den spezifischen Widerstand bilden wir den Mittelwert und erhalten
für jede der fünf Messreihen einen Wert für ρS . Diese Ergebnisse sind in den Tabellen 4.3 und
4.4 abgedruckt.
ρ1,S /Ω
ρ2,S /Ω
ρS /Ω
30,58
30,59
30,59
30,59
30,59
30,65
30,65
30,65
30,65
30,65
30,61
30,62
30,62
30,62
30,62
Tabelle 4.3: Spezifische Widerstände für die Probe InAs HF-540.
ρ1,S /Ω
ρ2,S /Ω
ρS /Ω
27,05
27,05
27,05
27,05
26,97
27,02
27,02
27,02
27,02
26,87
27,04
27,04
27,04
27,04
26,92
Tabelle 4.4: Spezifische Widerstände für die Probe InAs HF-301-040.
Diese fünf Werte pro Probe mitteln wir zu einem endgültigen Ergebnis. Den Fehler bestimmen
wir mit der Standardabweichung, die wir im folgenden mit dem Operator std bezeichnen werden.
Somit erhalten wir also:
ρS = ⟨{ρS }⟩,
∆ρS = std({ρS })
Für die Proben InAs HF-540 und InAs HF-301-040 erhalten wir so ρS = 30,620(3) Ω bzw.
ρS = 27,01(5) Ω aus allen fünf Messreihen.
Da nach der Leitfähigkeit gefragt ist, rechnen wir ρ um. Den Fehler erhalten wir nach Gauß’scher
Fehlerfortplanzung. Wir erhalten σS = 32,659(3) kΩ−1 bzw. σS = 37,02(6) kΩ−1 .
4.2 Bestimmung der Hallkonstanten bei Raumtemperatur
Die Bestimmung der Hallkonstanten ähnelt in einigen Schritten der vorherigen Bestimmung des
spezifischen Widerstands. Die 10 Spannungen, die wir gemessen haben, nennen wir wieder V1
bis V10 (ebd., Tab. 4.2).
Es gibt zwei Methoden, aus einer Teilmenge dieser 10 Spannungen die Hallkonstante zu
bestimmen. Wir werden hier beide durchführen, angefangen mit der Methode, die die Messungen
ohne magnetische Induktion, V9 und V10 , einbeziehen.
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
18
physik412 – Versuch 424
4.2 Bestimmung der Hallkonstanten bei Raumtemperatur
4.2.1 Mit Nullfeldmessung
Aus den 10 Messungen werden 6 ausgewählt. Diese werden wie folgt verrechnet (Heldt 1993,
Formel (4.14) und (4.15)):
∆VA
∆VB
z }| { Š
1 € z }| {
(V1 − V9 ) − (V2 − V10 )
VH+ =
2
Š
1€
VH− = −
(V5 − V9 ) − (V6 − V10 ) .
| {z }
2 | {z }
∆VD
∆VC
Die Zwischenergebnisse sind in den Tabellen 4.5 und 4.6 aufgelistet. Aus diesen Zwischenergebnissen werden dann die Hallkonstanten für beide Magnetfeldrichtungen errechnet:
RH±,S =
±VH±
B± I
Die Hallspannungen und -konstanten sind in den Tabellen 4.7 und 4.8 aufgelistet.
∆VA /mV
−20,21
−20,19
−19,29
−20,17
−20,12
∆VB /mV
∆VC /mV
20,21
20,19
20,19
20,17
20,12
20,24
20,24
20,23
20,24
20,24
∆VD /mV
−20,24
−20,24
−20,23
−20,24
−20,24
Tabelle 4.5: Spannungsdifferenzen bei der Messung der Hallkonstanten für die Probe InAs HF540.
∆VA /mV
24,36
24,37
24,37
24,36
24,35
∆VB /mV
∆VC /mV
−24,37
−24,36
−24,36
−24,35
−24,35
−24,33
−24,33
−24,32
−24,32
−24,31
∆VD /mV
24,33
24,33
24,33
24,32
24,31
Tabelle 4.6: Spannungsdifferenzen bei der Messung der Hallkonstanten für die Probe InAs HF301-040.
Wir bilden wie im vorherigen Teil Mittelwert und Fehler. Wir erhalten so für Proble InAs HF-540
RH+,S = −10,70(9) m2 C−1 und RH−,S = −10,782(2) m2 C−1 aus allen fünf Messreihen.
Bei Probe InAs HF-301-040 sind die Werte 12,978(4) m2 C−1 und 12,959(4) m2 C−1 für RH+,S
bzw. RH−,S
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
19
physik412 – Versuch 424
4.2 Bestimmung der Hallkonstanten bei Raumtemperatur
VH+ /V
VH− /V
−20,21
−20,19
−19,74
−20,17
−20,12
20,24
20,24
20,23
20,24
20,24
RH+,S /m2 C−1
RH−,S /m2 C−1
−10,77
−10,76
−10,52
−10,75
−10,72
−10,78
−10,78
−10,78
−10,78
−10,78
Tabelle 4.7: Hallkonstanten für die Probe InAs HF-540.
VH+ /mV
24,36
24,36
24,37
24,36
24,35
VH− /mV
−24,33
−24,33
−24,32
−24,32
−24,31
RH+,S /m2 C−1
RH−,S /m2 C−1
12,98
12,98
12,98
12,98
12,97
12,96
12,96
12,96
12,96
12,95
Tabelle 4.8: Hallkonstanten für die Probe InAs HF-301-040.
4.2.2 Ohne Nullfeldmessung
Es ist auch möglich, die ersten 8 Messwerte (die mit angelegter magnetischer Flussdichte) so
zu verrechnen, dass keine Nullfeldmessung notwendig ist. Dazu werden zwei Zwischenwerte
berechnet (Heldt 1993, Formel (4.18) und (4.19)):
RH1,S =
RH2,S =
1 (V1 − V2 ) − (V5 − V6 )
BI
4
1 (V3 − V4 ) − (V7 − V8 )
BI
4
.
Aus den beiden Hallkonstanten pro Messreihe wird der Mittelwert genommen und wir erhalten
eine Hallkonstante pro Messreihe. Diese drei Werte sind für die beiden Proben in den Tabellen
4.9 und 4.10 aufgeführt.
RH1,S /m2 C−1
−10,77
−10,77
−10,65
−10,76
−10,75
RH2,S /m2 C−1
−10,77
−10,65
−10,76
−10,76
−10,75
RH,S /m2 C−1
−10,77
−10,71
−10,71
−10,76
−10,75
Tabelle 4.9: Hallkonstanten für die Probe InAs HF-540, nach der Auswertungsmethode ohne
Nullmessung.
Wir bilden Mittelwert und Fehler und erhalten so für RH die Werte −10,74(3) m2 C−1 bzw.
12,966(4) m2 C−1 aus allen fünf Messreihen für Probe InAs HF-540 bzw. Probe InAs HF-301040.
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
20
physik412 – Versuch 424
4.3 Bestimmung der Beweglichkeit und Ladungsträgerdichte
RH1,S /m2 C−1
RH2,S /m2 C−1
RH,S /m2 C−1
12,97
12,97
12,97
12,97
12,96
12,97
12,97
12,97
12,96
12,96
12,97
12,97
12,97
12,96
12,96
Tabelle 4.10: Hallkonstanten für die Probe InAs HF-301-040, nach der Auswertungsmethode
ohne Nullmessung.
4.3 Bestimmung der Beweglichkeit und Ladungsträgerdichte
Aus den bisher errechneten Größen σS und RH errechnen wir nun die Beweglichkeit µS und die
Ladungsträgerdichte der Majoritätsladung pS :
RH,S 1
pS =
, µS = eRH,S
ρS Die so errechneten Größen sind in Tabelle 4.11.
Probe
InAs HF-540
InAs HF-301-040
σS /kΩ−1
µH,S /Ω V T−1 A−1
pS /1015 m−2
328,9(8)
350,3(6)
−579(1)
479,3(1)
32,659(3)
37,02(6)
Tabelle 4.11: Errechnete Beweglichkeiten und Ladungsträgerdichten
4.4 Untersuchung der Temperaturabhängigkeit
Die Auswertungsmethoden, die wir in für die Messungen bei Raumtemperatur benutzt haben,
nutzen wir hier ebenfalls aus. Da wir jedoch nur eine Messreihe pro Temperatur haben, entfällt
hier die Mittelwertbildung.
Die direkt vor Ort in eine Temperatur in ◦C umgerechneten Thermospannungen haben wir hier
in der Auswertung noch um die Verschiebung 5 K angepasst, die wir durch die erhöhte Raumtemperatur von 25 ◦C hatten. Außerdem haben wir die Temperaturen in Kelvin umgerechnet.
Alle Werte sind in Tabelle 4.12 zusammengestellt.
In Abbildung 4.1 ist die Abhängigkeit der Leitfähigkeit von der Temperatur dargestellt. Für
große T , also kleine T −1 sinkt die Leitfähigkeit.
Der Graph in Abbildung 4.2 zeigt den Zusammenhang zwischen der Ladungsträgerdichte und
Temperatur. Für große T steigt die Ladungsträgerdichte. Davor gibt es noch ein Minimum der
Anzahl der Ladungsträger.
In Abbildung 4.3 ist der Zusammenhang zwischen Beweglichkeit und Temperatur dargestellt.
Die Beweglichkeit nimmt mit steigender Temperatur ab.
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
21
physik412 – Versuch 424
4.4 Untersuchung der Temperaturabhängigkeit
T /K
σS /kΩ
RH,S /m2 C−1
12(10)
33(2)
54(2)
74(1)
93(1)
113,0(5)
133,0(5)
155,0(3)
173,0(3)
193,0(2)
236,0(4)
276(1)
40,4
40,4
40,4
40,3
40,2
40,0
39,6
39,4
39,1
38,5
37,5
36,9
13,2
13,2
13,3
13,3
13,3
13,3
13,2
13,2
13,2
13,1
13,0
12,9
pS /1015 m−3
µS /Ω V T−1 A−1
471
470
469
469
469
469
470
470
471
473
477
481
0,533
0,534
0,535
0,534
0,533
0,530
0,524
0,520
0,516
0,506
0,488
0,477
Tabelle 4.12:
3.20
3.22
ln(σ)
3.24
3.26
3.28
3.30
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
T−1
0.05
0.06
0.07
0.08
Abbildung 4.1: Zusammenhang zwischen Leitfähigkeit und Temperatur.
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
22
0.09
physik412 – Versuch 424
4.4 Untersuchung der Temperaturabhängigkeit
1.575
1.570
ln(p/1017 )
1.565
1.560
1.555
1.550
1.545
1.540
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
T−1 /K−1
0.06
0.07
0.08
0.09
Abbildung 4.2: Zusammenhang zwischen Ladungsträgerkonzentration und Temperatur.
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
23
physik412 – Versuch 424
4.4 Untersuchung der Temperaturabhängigkeit
0.62
0.64
0.66
ln(µ)
0.68
0.70
0.72
0.74
0.762.0
2.5
3.0
3.5
4.0
ln(T)
4.5
5.0
5.5
6.0
Abbildung 4.3: Zusammenhang zwischen Beweglichkeit und Temperatur.
M. Ueding, L. Lemmer, G. Ahmad
24
5 Diskussion
In Tabelle 5.1 haben wir die endgültigen Werte für σS zusammengetragen und µH,S sowie pS
berechnet. In Tabelle 5.2 sind die Hallkonstanten zusammengefasst.
Probe
InAs HF-540
InAs HF-301-040
σS /kΩ−1
32,659(3)
37,02(6)
µH,S /Ω V T−1 A−1
pS /1015 m−3
328,9(8)
350,3(6)
−579(1)
479,3(1)
Tabelle 5.1: Zusammenstellung der Ergebnisse aus dem ersten Versuchsteil, Teil 1.
Probe
InAs HF-540
InAs HF-301-040
RH+,S /m2 C−1
RH−,S /m2 C−1
−10,70(9)
12,978(4)
−10,782(2)
12,959(4)
RH,S /m2 C−1
−10,74(3)
12,966(4)
Tabelle 5.2: Zusammenstellung der Ergebnisse aus dem ersten Versuchsteil, Teil 2.
Es fällt auf, dass die Leitfähigkeiten recht nahe beieinander liegen. Die Hallkonstanten liegen
betragsmäßig ebenfalls recht nahe beieinander, unterscheiden sich jedoch im Vorzeichen.
In beiden Fällen ist RH,S innerhalb des Fehlerbereichs der Mittelwert auf RH+,S und RH−,S . Dies
bedeutet, dass beide Mess- und Auswertungsmethoden das Nullfeld gleich korrigieren.
Aus der Ladungsträgerkonzentration (siehe Tabelle 5.1), die für positive Ladungsträger berechnet
worden ist, folgt, dass die Probe InAs HF-540 negativ und die Probe InAs HF-301-040 positiv
dotiert ist.
Nach der Theorie für dotierte Halbleiter würden wir nicht erwarten, dass es ein Minimum bei der
Ladungsträgerkonzentration gibt. Eine höhere Temperatur sollte immer mit mehr Ladungsträger
einhergehen.
Auch wenn die Anzahl der Ladungsträger mit steigender Temperatur zunimmt, nimmt deren
Beweglichkeit stärker ab. Dadurch wird die Leitfähigkeit effektiv reduziert. Wir interpretieren
dies so, dass ab einer gewissen Temperatur die Streuung an Phononen, deren Anzahl auch mit
der Temperatur steigt, sehr stark ist. Unsere Abbildung sieht so ähnlich aus wie Heldt 1993,
Abb. 3.3, jedoch ist unsere steigende Flanke deutlich flacher.
25
Literatur
Heldt, A. (1993). „Der Hall-Effekt in Halbleitern“. Diplomarbeit. Bonn: Universität Bonn. Kap. 2.
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