Die Grundgleichungen eindimensionaler, reibungsfreier, stationärer
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Die Grundgleichungen eindimensionaler, reibungsfreier, stationärer Strömungen Alle Strömungen genügen der Massenerhaltung, dem dynamischen Grundgesetz bzw. der Impulsbilanz und der Energieerhaltung. Für die Berechnung von Strömungen ist zusätzlich noch die Kenntnis der Zustandsgleichung des Fluids und der Viskosität erforderlich. Eine besonders einfache Form nehmen diese Gleichungen an, wenn die Strömung stationär ist und die Stromlinien bekannt sind. Die Kontinuitätsgleichung Die Kontinuitätsgleichung drückt aus, dass die Masse eines strömenden Fluids erhalten bleibt. Betrachtet man ein Stromröhre, die durch zwei auf die Stromlinien senkrecht stehende Deckflächen abgeschlossen wird, so muss in der Zeiteinheit genauso viel Masse bei der einen Deckfläche austreten, wie bei der anderen eintritt. Eine Stromröhre ist dabei ein schlauchartiges Gebilde, dessen Mantel von Stromlinien gebildet wird. w 2 , A2 Das Fluid legt am Eintritt im Zeitinkrement dt die Wegstrecke ds1 w 1 dt zurück. Für die in dieser Zeit in das Kontrollvolumen eintretende Fluidmasse gilt daher dm 1 A1 w1 dt . Bei stationärer Strömung ist diese w 1 , A1 Masse gleich groß, wie die in derselben Zeit aus dem Kontrollvolumen austretende Fluidmenge. Somit lautet die Kontinuitätsgleichung m 1 w 1 A 1 2 w 2 A 2 bzw. m w A konst. m ist die pro Zeiteinheit in das Kontrollvolumen ein- bzw. austretende Masse, der Massestrom. Das Produkt w ist die Massestromdichte. Für inkompressible Strömung vereinfacht sich die Kontinuitätsgleichung zu folgender Beziehung für den Volumenstrom V : V w A konst. . Schlussfolgerung: In inkompressibler Strömung ist die Strömungsgeschwindigkeit umso größer, je enger die Stromlinien enger beinander liegen. Wie später gezeigt wird, bleibt diese Aussage auch noch in kompressibler Unterschallströmung richtig! In kompressibler Strömung ist ein solcher Schluss i.a. nicht zulässig, weil sich auch noch die Dichte ändern kann. Die Eulersche Bewegungsgleichung der Stromfadentheorie Die Massenerhaltung besagt, dass die Geschwindigkeit eines Fluids sich ändert, wenn Dichte und Stromröhrenquerschnitt sich ändern. Sie erklärt aber nicht, warum ein Fluidteilchen seinen Bewegungszustand ändert. Diese Erklärung liefern die Newtonschen Axiome. Das zweite Newtonsche Axiom stellt einen Zusammenhang zwischen den auf eine Masse m wirkenden Kräften F und der Beschleunigung a dieser Masse her: F ma . Die Anwendung dieses Axioms auf die Berechnung der Beschleunigung eines Fluidteilchens setzt die Kenntnis der Kräfte, die auf dieses Fluidteilchen wirken, voraus. Abgesehen von der Schwerkraft wirken al- le Kräfte an der Teilchenoberfläche. Letztere unterteilen sich in Normal- und Tangentialkräfte. Ursache der Normalkraft ist der Druck, Ursache der Tangentialkraft ist die Fluidreibung. Abschätzung des mittleren Reibungseinflusses: Im Folgenden soll die mittlere Reibungskraft abgeschätzt und mit der ebenfalls abgeschätzten mittleren Trägheitskraft vergleichen werden. Wie gezeigt werden soll, kann die mittlere Reibungskraft und damit der Einfluß der Viskosität in vielen, praktisch wichtigen Fällen vernachlässigt werden. Betrachten wir für diese Abschätzung den Fall einer in ihrer Ebene angeströmten ebenen Platte der Länge L und der Spannweite B. An der Plattenoberfläche der Größe S L B wirkt eine mittlere Wandschubspannung . Unter ihrer Wirkung erhält ein Fluidvolumens der Größe V eine Beschleunigung a. Für das Verhältnis von mittlerer Reibungs- zu mittlerer Trägheitskraft gilt dann: FRe ib S . FTräg Va Es gilt nun, die Wandschubspannung , die Beschleunigung a und das durch die Reibung beeinflussten Fluidvolumen abzuschätzen. Da sich auf den ersten Blick als einzige charakteristische Länge - als Länge über die sich die Fluidgeschwindigkeit wesentlich ändert - die Länge L der Platte anbietet, und die Änderung der Geschwindigkeit höchstens von der Größenordnung der Anströmgeschwindigkeit u sein kann, liegen folgende Abschätzungen nahe: u u u u und a u u V L B L . x L y L In den Ausdruck für das Verhältnis der Reibungs- zu den Trägheitskräften eingesetzt, ergibt sich für das gesuchte Kräfteverhältnis u u LB LB FRe ib S y L u FTräg V a B L2 u u u L B L2 u x L u l bzw. mit der Reynoldszahl Re FRe ib 1 . FTräg Re Beispiel: m2 MSL 1.455 10 s 5 Sehnenlänge Flügel L 2m Fluggeschwindigkeit v 100 m s Denkt man an den Fall die Umströmung eines Tragflügels oder Rumpfes, zeigt sich, dass im Luftfahrzeugbau typischerweise mit Werten in der Größenordnung FRe ib 2 10 7 FTräg zu rechnen ist. Wegen der Kleinheit der mittleren Reibungskraft im Verhältnis zu mittleren Trägheitskraft wird sie im weiteren vernachlässigt. Wie sich später zeigen wird, ist diese Annahme nur beschränkt richtig. Eulersche Bewegungsgleichung für die Richtung der Bahntangente: Die erste Eulersche Bewegungsgleichung erhält man durch Anwendung des dynamischen Grundgesetzes auf ein differentiell kleines Fluidteilchen, das sich in einem Stromfaden - einer engen Stromröhre - bewegt. Da wir Reibungskräfte vernachlässigen und auch den Einfluss der Schwerkraft außer acht lassen, greifen an diesem Teilchen nur Druckkräfte an. Diese bewirken eine Beschleungigung dieses Teilchens. a p dA t dA t dn dz p p ds dA t s R Kräfte in Bahnrichtung Betrachten wir zunächst nur die Beschleungigung in Bahnrichtung. Die Masse des Fluidteilchens errechnet sich zu dm dV dA t ds . dAt ist die Fläche der nicht sichtbaren Grundflächen des Fluidteilchens: dA t dn dz , mit dz, der Tiefe des Teilchens. dp ds . In Bewegungsds richtung wirkt daher die Druckkraft dF dA t dp . Diese Ergebnisse werden gemeinsam mit dem weiter oben abgeleiteten Ausdruck für die Bahnbeschleunigung in das zweite Newtonsche Grundgesetz dm a dF einzusetzen. Es ergibt sich dw dA t ds w dA t dp . Durch Kürzen erhält man die endgültige Form der ersten Eulerschen Gleids chung: Die an diesen beiden Grundflächen wirkenden Drücke unterscheiden sich um dp w dw 1 dp ds ds . Schlussfolgerung: dp 0 verzögert die Strömung ds dp 0 beschleunigt die Strömung Druckanstieg ds Druckanstieg Die zweite Eulersche Gleichung folgt aus der Betrachtung der Richtung normal auf die Teilchenbahn. Die Kurvennormale ist zum Mittelpunkt des Krümmungskreises der Bahn gerichtet. Auf das mittlere Flächenele ment dA R d dz des herausgeschnittenen Teilchens wirkt dann eine resultierende Druckkraft entgegen der Richtung der Kurvennormalen dF dA n dp an p dn dA n p n R . Zusammen mit dem oben abgeleiteten Ausdruck für die Normalbeschleunigung gilt dA n dn p dA n Abb.5: Kräfte in Normalenrichtung w2 dA n dp R Durch Kürzen ergibt sich die die endgültige Gestalt der zweiten Eulerschen Bewegungsgleichung: w2 1 dp R dn . Zentrifugalkraft und Druckanstieg in radialer Richtung halten sich das Gleichgewicht Gültigkeitsvoraussetzungen der Eulerschen Bewegungsgleichungen: Diese Gleichungen gelten für stationäre Strömung, längs einer Stromlinien, wenn Reibungs- und Gewichtskräfte vernachlässigt werden können (sie gelten daher insbesondere nicht in Strömungsgrenzschichten) Vorausgesetzt ist auch die Differenzierbarkeit der Strömungsgrößen (diese ist nicht gegeben, wenn Verdichtungsstöße – sprungartige Veränderungen des Druckes, der Geschwindigkeit, der Temperatur und der Dichte – auftreten) Analyse von Stromlinienbildern stationärer Strömungen: Kontinuitätsgleichung und Eulerscher Bewegungsgleichungen gestatten es, Aussagen über Druck und Geschwindigkeit im Strömungsfeld eines Körpers in einer Parallelströmung machen: In inkompressibler Strömung ist die Geschwindigkeit in Gebieten hoher Stromliniendichte größer als in Gebieten mit geringerer Dichte. Im Falle gekrümmter Stromlinien sinkt der Druck in Richtung auf das Krümmungszentrum und steigt, wenn man sich vom Krümmungszentrum entfernt. Beispiel: Der erste Hauptsatz für stationäre Strömungen Der erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass jedes thernodynamische System innere Energie U beinhaltet. Dieser Energieinhalt kann durch Arbeits- oder Wärmezu- bzw. -abfuhr geändert werden kann. Die innere Energie eines homogenen Systems ist proportional zu seiner Masse. Durch u U m wird deshalb die spezifische innere Energie u - die innere Energie pro Masseneinheit - definiert. Diese hängt nur vom vom thermodynamische Zustand des Systems ab - bei Gasen also von zwei der drei Größen Druck, Dichte und Temperatur: u up, T . Für kalorisch ideale Gas, ist die spezifische innere Energie in einem weiten Temperaturbereich eine lineare Funktion der Temperatur. Ändert sich die Temperatur um dT, ändert sich daher die spezifische innere Energie um du c v dT . Die Größe c v ist die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen, das ist jene Wärmemenge, die nötig ist, die Masseneinheit Gas bei konstantem Volumen um 1K zu erwärmen. Neben der inneren Energie spielt noch die spezifische Enthalpie hu p eine wesentliche Rolle. Beschränkt man sich wieder auf kalorisch ideale Gase, gilt wegen p dh c v dT d c v dT R dT c v R dT . für die Änderung der spezifischen Enthalpie mit der Temperatur dh c p dT mit c p c v R . Auch die spezifische innere Energie ist also eine lineare Funktion der Temperatur. An die Stelle der spezifischen Wäremkapazität c v tritt hier die Größe c p c v R . In der Thermodynamik wird gezeigt, dass c p die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck ist, also die Wärmemenge, die nötig ist, um die Masseneinheit Gas bei festgehaltenem Druck um 1K zu erwärmen. Geändert werden kann die innere Energie eines Systems nur durch Zu- bzw. Abfuhr von Wärme oder Arbeit. Für ein ruhendes System lässt sich dieser Satz in folgender Form schreiben: p du dq p dv dq 2 d . Hier ist dq die dem System zugeführte Wärme und p dv die am System verrichtete Gasarbeit, beide bezogen auf die Masseneinheit des Systems. Anders als u sind Wärme und Gasarbeit keine Zustandsgrößen. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik für stationäre Strömungen ohne Arbeits- und Wärmezufuhr: Betrachtet man eine Stromröhre, so muss bei stationärer Strömung - ohne Zu- und Abfuhr von Wärme oder Arbeit - an der Eintrittsfläche pro Zeiteinheit genausoviel Energie eintreten, wie an der Austrittsfläche austritt. Die eintretende Energie besteht zunächst einmal aus der Energie, die das in die Strömröhre eintretende eintretende Fluid mit sich führt. Sie setzt sich aus innerer Energie und kinetischer Enerige zusammen. Zusätzlich ist aber auch noch zu berücksichtigen, dass Arbeit aufgewandt werden muss, um die Fluidmasse gegen den am Eintritt herrschenden Druck p1 ins Kontrollvolumen hinein zu drücken. ds 2 w2 ds1 In der Zeit dt wird die Masse m dt in die Stromröhre eingeschoben. Diese Masse transportiert die Energie 2 w m u 1 1 dt mit sich. 2 w1 In derselben Zeit dt wird das das Fluid um die Strecke ds1 w 1 dt in die Stromröhre geschoben. Dabei wird die Einschiebearbeit dWein F1 ds1 p1 A1 w 1 dt verrichtet. Mit Hilfe der Beziehung m 1 A1 w 1 lässt sich die Einschiebearbeit in der Form dWein p1 1 m dt schreiben. Zusammengefasst ergibt sich für die im betrachteten Zeitintervall am Eintritt zugeführte Energie 2 2 p w w dE zu u 1 1 1 m dt h 1 1 m dt . 1 2 2 Der obigen Ableitung ist zu entnehmen, dass die Enthalpie sich Summe aus innerer Energie und Einschiebearbeit - bezogen auf die Masseneinheit – interpretieren lässt. Für die in derselben Zeit am Austritt abgeführt Energie ergibt sich ganz analog 2 2 p w w dE ab u 2 2 2 m dt h 2 2 m dt 21 2 2 . Wird dem Fluid auf seinem Weg durch das betrachtete Kontrollvolumen Energie weder zugeführt noch entzogen, müssen diese beiden Energien gleich groß sein. Man gelangt damit zum ersten Hauptsatz für offene Systeme: 2 h1 bzw. w1 w h2 2 2 2 2 h w2 h 0 konst. 2 . Füt kalorisch ideale Gase nimmt diese Energiebilanz wegen h c p T konst. die Form cp T w2 c p T0 konst. 2 An. Wird das Fluid verlustfrei von der Geschwindigkeit w bis zum Stillstand w 0 0 verzögert, nimmt die Temperaturihren Höchstwert – die Ruhetemperattur - T0 an. Obige Beziehung lässt sich in der Form T0 w2 1 T 2 cp T cp Wegen R c p c v und lässt sich die Beziehung a 2 R T für die Schallgeschwindigkeit In der cv cp c p c v T 1 c p T schreiben. Für die Ruhetemperatur T0 gilt daher Form a 2 R T cv schließlich T0 1 2 w 1 M mit der Machzahl M T 2 a . Die Bernoulligleichung für inkompressible Strömung Für inkompressible Strömungen kann die Eulersche Gleichung in Bahnrichtung dw 1 dp 1 w bzw. w dw dp ds ds w zwischen zwei Punkten auf einer Stromlinie integriert werden: p w dw dp . w p Rechte und linke Seite dieser Gleichung können ausintegriert werden, wenn man beachtet, dass die Dichte konstant ist und daher vor das Integral gezogen werden kann. 1 1 2 w w2 p1 1 p p 0 konst. 2 2 p statischer Druck 2 w 2 dynamischer Druck p0 p w2 2 Gesamtdruck, Ruhedruck Im Staupunkt ( w 0 ) nimmt der Druck seinen größten Wert an. Der Druck ist dort gleich dem Ruhedruck. Schlußfolgerungen: Geschwindigkeitszunahme Druckabnahme Druckabnahme Geschwindigkeitszunahme Bernoulligleichung für kompressible Strömungen Die Zustandsänderung der Fluidteilchen sei isentrop (reversibel und adiabat). Dies ist der Fall, wenn die Reibung vernachlässigt werden kann, keine Wärem zugeführt wird und keine Verdichtungsstöße auftreten. Dann gilt also p p1 konst. 1 Wieder lässt sich die Eulersche Bewegungsgleichung längs einer Stromlinie integrieren. Geht man von einem allgemeinen Punkt mit dem Druck p und der Geschwindigkeit w aus und integriert bis in einen Staupunkt, in dem die Geschwindigkeit w=0 und der Druck gleich dem Ruhedruck p 0 sind 2 p 0 w0 w dp 2 2 p . erhält man nach längerer Rechnung p 0 1 2 1 1 M p 2 M w a . Betrachtet man darüberhinaus verlustfreie und damit isentrope Strömungen (siehe unten) gelten längs einer Stromlinie in einen wirklichen oder gedachten Staupunkt folgende Beziehungen: p0 1 1 1 M2 p 2 1 0 1 2 1 1 M 2 T0 1 2 1 M T 2 M w a Grundgleichungen eindimensionaler,stetiger, stationärer und verlustfreier Fluidströmungen Kontinuitätsgleichung Eulergleichung, Impulsbilanz Energiebilanz für offene Systeme w A m konst. dw 1 dp w ds ds 2 w h h 0 konst. 2 . Nachträge und Schlussfolgerungen Behauptung: Verlustfreie Gasströmungen sind isentrop! Aus Energiebilanz und Eulergleichung folgt: dh w dw 0 1 1 w dw dp dh dp dq 0 . Die Fluidteilchen erfahren eine adiabate Zustandsänderung. Da die Gleichungen für stetige, stationäre und verlustfreie eindimensionale Strömungen invariant gegenüber einer Umkehr der Bewegungsrichtung und die Zustandsänderung der Fluidteilchen damit umkehrbar ist, handelt es sich um eine isentrope Zustandsänderung. Es gilt dann p p0 0 1 T T T 1 T0 konst. 1 01 konst. p p0 0 konst. dA dw . Das bedeutet: M 2 1 A w in Unterschallströmung M<1 ist eine Geschwindigkeitszunahme von einer Querschnittsabnahme begleitet. in Überschallströmung M>1 ist eine Geschwindigkeitszunahme von einer Querschnittserweiterung begleitet. für M=1 ist dA=0 – dort hat der Strömröhrenquerschnitt ein Minimum. für M 0 ist die Strömung inkompressibel. Behauptung: Für isentrope Gasströmungen gilt Durch logarithmisches Differenzieren folgt aus der Kontinuitätsgleichung w A konst. d dw dA 0 . w A Um eine Beziehung zwischen der Strömungsgeschwindigkeit w und der Fläche A der Stromröhre zu erhalten, ist es notwendig, die relative Dichteänderung zu eliminieren. Mittels der Isentropengleichung in der Form p konst. lässt sich die Dichteänderung durch die Druckänderung auszudrücken: dp p dp d konst. 1 d d a 2 d . d dp Mit Hilfe der Eulerschen Bewegungsgleichung w dw ergibt sich der gesuchte Ausdruck für die re- lative Dichteänderung: d w dw a 2 d w dw . a2 Eingesetzt in die differentierte Kontinuitätsgleichung erhält man schließlich die behauptete Beziehung dw dA w 2 w dw dA 2 1 2 dw 0 und daher . A a w A a w bzw. Integration der Eulerschen Bewegungsgleichung für isentrope Gasströmung: 2 Für isentrope Strömungen gilt p 0 w0 w2 dp 2 2 p mit p p0 0 . Das Differential dp des Druckes lässt sich mit Hilfe der Isentropengleichung durch dasjenige der Dichte ausdrücken: p p konst. 0 . dp konst. 1 d mit 0 womit sich das Integral auf der rechten Seite obiger Gleichung explizit ausführen lässt: p0 0 dp 1 2 1 . p konst. d konst. 1 0 w2 1 konst. 1 konst. 2 1 1 0 bzw., wenn man die Konstante mit Hilfe der Isentropengleichung rückersetzt, w2 p p0 . 2 1 1 0 Einsetzen und Ordnen der Terme liefert Wegen a 2 R T p lässt sich diese Gleichung auch noch in der Form 2 a w2 a2 0 2 1 1 . a2 w Dividiert man diese Gleichung durch den Term und definiert wie üblich die Machzahl M , ergibt a 1 sich schließlich die weiter oben angegebene Formel für die Temperatur T0 im Staupunkt a0 T 1 2 0 1 M 2 T 2 a 2 . Formelzusammenstellung: Inkompressible Bernoulligleichung A w konst. Kontinuitätsgleichung: Bernoulligleichung: p 2 w 2 konst. Kompressible Strömung A w konst. Kontinuitätsgleichung: Bernoulligleichung: T0 1 2 1 M T 2 Ideales Gas: p R T Isentropengleichung: 1 0 1 2 1 1 M 2 a R T Schallgeschwindigkeit p p0 0 konst. T 1 p 1 T0 konst. p0 p 0 1 2 1 1 M p 2 w M a T 1 T0 0 1 konst.
