Theoretische Elektrodynamik
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Theoretische Elektrodynamik Literatur: 1. Nolting: 2. Jackson: Grundkurs Theoretische Physik Klassische Elektrodynamik Keine SI-Einheiten: Fließbach: Elektrodynamik zusätzlich: Sommerfeld: Landau/Lifschitz: Feynman: Bd. 3 + Bd. 6 Mathematische Physik Elektrodynamik der Kontinua Vorlesungen über Physik 1 Die vorliegende Vorlesung ist garantiert nicht fehlerfrei. Es wird sehr empfohlen, alle Herleitungen und Formeln selbständig zu überprüfen. Hinweise und Anregungen bitte an: [email protected] Bildernachweis: Soweit die Quelle nicht explizit angegeben ist, stammen die Bilder von http://de.wikipedia.org/ , Fließbach, Jackson oder wurden selbst erstellt. Viele Visualisierungen stammen von http://ocw.mit.edu/ MIT's OpenCourseWare: 8.02T Electricity and Magnetism. 2 1. Einleitung Die klassische Elektrodynamik ist ein Teilgebiet der Physik, das sich mit elektrischen und magnetischen Feldern und Potenzialen, elektromagnetischen Wellen und der Dynamik elektrisch geladener Teilchen und Strömen beschäftigt. Die Elektrodynamik basiert auf den Maxwell-Gleichungen, die das Zusammenspiel von elektrischen und magnetischen Feldern beschreiben. Sie wird 'klassisch' genannt, da sie quantenmechanische Aspekte nicht berücksichtigt. 3 Vektorfelder: Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der Physik, um zum Beispiel die Stärke und Richtung einer Kraft, die an verschiedenen Punkten verschieden sein kann, zu beschreiben. Die elektromagnetischen Felder E(r,t) und B(r,t) können durch ihre Kraftwirkung F auf eine Ladung q nachgewiesen werden. F =q E r , t q v × B r , t Ladungen und Ströme sind die Quellen der elektromagnetischen Felder. Feldgleichungen: Die Bewegungsgleichungen für Felder nennt man Feldgleichungen. Sie sind partielle Differenzialgleichungen, die das räumliche und zeitliche Verhalten der Felder bestimmen. Die Feldgleichungen des elektromagnetischen Feldes sind die Maxwell-Gleichungen, diese Gleichungen sind die Grundgleichungen der Elektrodynamik. 4 1.1 Gradienten, Divergenzen und Rotationen Die Abbildung zeigt einige Höhenlinien Φ(x,y) = const. Im Dreidimensionalen werden diese Höhenlinien zu den Flächen Φ(x,y,z) = const. Der Gradient von Φ steht senkrecht auf diesen Flächen. Er zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs von Φ; sein Betrag ist proportional zu diesem Anstieg. Zur Berechnung der Divergenz wird ein kleines Volumen betrachtet (hier kugelförmig). Wenn das Vektorfeld im Bereich des Volumens konstant ist, verschwindet die Divergenz. Die Divergenz wird maximal, wenn das Vektorfeld durchweg parallel zum Vektor der Oberfläche des Volumens dA ist. Zur Berechnung der Rotation wird eine kleine Fläche (hier kreisförmig) mit dem Normalenvektor n betrachtet. Wenn das Vektorfeld im Bereich der Fläche konstant ist, verschwindet die Rotation. Nimmt V dagegen quer zur Feldrichtung zu, so ist n·rot V ungleich Null. Die Rotation wird maximal, wenn V parallel zum Wegelement dr des Randes der Fläche ist. 5 entnommen aus: Fließbach, Elektrodynamik, 4. Auflage Kartesische Koordinaten: Der Gradient einer skalaren Größe Φ ergibt einen Vektor: ∂ ∂ ∂ grad = ∇ = , , ∂x ∂ y ∂z Die Divergenz eines Vektors A ergibt eine skalare Größe: div A = ∇⋅ A= ∂ Ax ∂ A y ∂ Az ∂x ∂y ∂z Die Rotation eines Vektors A ergibt eine vektorielle Größe: rot A = ∇× A= ∂ A z ∂ A y ∂ Ax ∂ Az ∂ A y ∂ A x − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Der Nabla-Operator ist definiert als ein Vektor: ∇= ∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂ y ∂z In kartesischen Koordinaten lautet das Wegelement dr: d r = dx ex dy ey dz ez = dx , dy , dz 6 Häufig benutzte Formeln der Vektorrechnung Es sei r = (x,y,z) der Ortsvektor eines Punktes in einem kartesischen Koordinatensystem. Sein Betrag sei r = |r| und n = r/r bezeichne den Einheitsvektor in Richtung von r. Ferner sei f(r) eine differenzierbare Funktion. Dann gilt: ∂x ∂ y ∂z =3 ∂x ∂ y ∂z ∇ × r = rot r = 0 2 ∂f ∇ ⋅[n f r] = f r ∂r ∇ × [ n f r] = 0 f r ∂f a ⋅ ∇ n f r = [ a − n a ⋅ n ] n a ⋅ n r ∂r ∇ r ⋅ a = a r ∇ ⋅a i L × a ∇ ⋅ r = div r = wobei 1 L = r ×∇ i den Drehimpulsoperator darstellt. 7 Einige nützliche Formeln der Vektorrechnung ∇ × ∇ = rot grad = 0 ∇ ⋅ ∇ × a = div rot a=0 2 ∇ × ∇ × a = rot rot a = ∇ ∇ ⋅ a − ∇ a = grad div a − a ∇ ⋅ a = a ⋅∇ ∇ ⋅a ∇ × a = ∇ × a ∇ × a ∇ a ⋅ b = a ⋅∇ b b⋅∇ a a × ∇ × b b × ∇ × a ∇ ⋅a × b = b ⋅ ∇ × a − a ⋅ ∇ × b ∇ × a× b = a ∇ ⋅ b − b ∇ ⋅ a b⋅ ∇ a − a ⋅ ∇ b a ⋅ b × c = b ⋅ c × a = c ⋅ a × b a ⋅ c b − a ⋅ b c a × b × c = a × b ⋅ c × d = a ⋅ c b ⋅d − a ⋅ d b⋅c 8 1.2 Integralsätze aus der Vektoranalysis V sei ein dreidimensionales Volumen mit dem Volumenelement dV=d3r und S eine Fläche die V begrenzt. df ist ein Flächenelement mit Richtung der äußeren Flächennormalen. Gauß'scher Satz: 3 div A d r =∫ A⋅d f ∫ V S S sei eine Fläche die von einem Rand ∂S begrenzt wird. dr ist ein Linienelement längs des Rands. Stokes'scher Satz: ∫ rot A⋅d f = ∮ A⋅d r S ∂S Für ein Vektorfeld ist Wirbelfreiheit gleichbedeutend mit der Wegunabhängigkeit des Linienintegrals: rot A=0 2 ∫ A⋅d r = wegunabhängig 1 9 1.3 Das System der Maxwellschen Gleichungen im Vakuum mit Quellen div ⃗ E ( ⃗r , t) = ρ( ⃗r , t)/ε0 div ⃗ B ( ⃗r , t) = 0 ∂⃗ B ( ⃗r , t) ⃗ rot E ( ⃗r , t) = − ∂t ⃗ ( ⃗r , t ) ∂E ⃗ ⃗ rot B ( ⃗r , t) = μ 0 j( ⃗r ,t )+ε0 μ 0 ∂t Von grundlegender Bedeutung für die Elektrodynamik ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. c= 1 0 0 0 Dielektrizitätskonstante des Vakuums 0 = 8,854⋅10−12 As Vm μ0: Permeabilität des Vakuums µo = 4 π⋅10−7 Vs Am Die Maxwellschen Gleichungen bestimmen das räumliche und zeitliche Verhalten der elektrischen und magnetischen Felder E(r,t) und B(r,t) bei gegebenen Ladungsdichten ρ(r,t) und Stromdichten j(r,t). 10 2. Elektrostatik 2.1. Grundbegriffe / Maßsysteme 1) Experimentelle Erfahrung: Es gibt zwei Arten von Ladungen, die man als Q > 0: positive Ladung Q < 0: negative Ladung bezeichnet. Das Vorzeichen ist so festgelegt, dass das Reiben eines Glasstabes auf diesem die Ladung Q > 0 zurück lässt (Hartgummistab Q < 0). 2) Das Elektron besitzt die kleinste, nicht mehr teilbare Ladung: Elementarladung e (Nachweis durch den Millikan-Versuch) In unserer Definition ist die Ladung des Elektrons negativ. −19 e = 1.602 ⋅10 Robert Andrews Millikan 22. März 1868 in Morrison, Illinois, USA † 19. Dezember 1953 in San Marino USA Nobelpreis für Physik 1923 As Quarks 1 2 ± e ,± e 3 3 11 Der experimentelle Nachweis von Elektronen gelang erstmals im Jahr 1897 durch den Briten Joseph John Thomson. Der Name kommt vom griechischen Wort elektron (ηλεκτρον) und bedeutet Bernstein. Elektronen sind negativ geladene Elementarteilchen ohne räumliche Ausdehnung. In guter Übereinstimmung mit der Quantenelektrodynamik ergaben Elektron-ElektronStreuexperimente an Teilchenbeschleunigern eine maximale Elektronengröße von 10-19 m. Elektronen gehören zu den Leptonen. Ihre Antiteilchen sind die Positronen (e+), mit denen sie bis auf ihre elektrische Ladung in allen Eigenschaften übereinstimmen. Sir Joseph John Thomson 18. Dezember 1856 in Cheetham Hall † 30. August 1940 in Cambridge Nobelpreis für Physik 1906 12 3) Es existiert ein Erhaltungssatz für Gesamtladungen, erhalten bleibt nur die Summe von Ladungen. Er gilt nicht für nur positive oder negative Ladungen. Ladung wird in Coulomb gemessen 1 C = 1 As. 4) SI-Maßsystem Länge in m Zeit in s Masse in kg Ladung in C = As Das Ampere ist die Stärke des zeitlich unveränderlichen elektrischen Stromes durch zwei geradlinige, parallele, ∞ lange und ∞ dünne Leiter, die den Abstand 1 m haben und zwischen denen die durch den Strom elektrodynamisch hervorgerufene Kraft im leeren Raum je 1 m Länge der Doppelleitung 2*10-7 N beträgt. 13 Verwendete Bezeichnungen: Ladung Q = n e (ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e) Ladungsdichte ρ(r) Ladung pro Volumeneinheit -> Gesamtladung Q = ∫ r dV V Flächenladungsdichte σ: Ladung pro Flächeneinheit Linienladungsdichte η: Ladung pro Linienelement 14 2.2. Das Coulombsche Gesetz in Vakuum Das Coulombgesetz beschreibt die elektrostatische Kraftwirkung zwischen ruhenden Ladungen. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleiche Ladungen ziehen sich an. Q ' im Ursprung P 0,0 ,0 = Q ' Q r F 4 0 r3 2 2 2 r = ∣r∣ = x y z Q' übt eine Kraftwirkung auf Q aus (r zeigt von Q' -> Q). ● Kraftwirkung auf Q' hat den gleichen Betrag, ist aber entgegengesetzt gerichtet. ● 0 Dielektrizitätskonstante des Vakuums −12 0 = 8,854⋅10 Charles Augustin Coulomb 14. Juni 1736 in Angoulême † 23. August 1806 in Paris As Vm 15 Allgemeine Form des Coulombgesetzes für zwei Ladungen im Punkt r und r': Q ' Q r −r ' F r = 4 0 ∣r −r '∣3 1) Die Kraft ist direkt proportional zu den Ladungen Q und Q', 2) Der Betrag ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Ladungen, Q' Q 1 1 ∣ F r ∣= ∣ r − r '∣ ~ 4 0 ∣r − r '∣3 ∣r − r∣2 3) Die Kraft ist entlang der Verbindungslinie der beiden Ladungen gerichtet. anziehend für Ladungen mit ungleichen Vorzeichen abstoßend für Ladungen mit gleichen Vorzeichen 4) actio = reactio (Die Kraft, die eine Ladung spürt, entspricht der Kraft auf die andere Ladung mit umgekehrtem Vorzeichen.). 16 2.2.1 Konzept des elektrischen Feldes E(r) Obwohl die Messgröße eine Kraft ist, ist es zweckmäßig, den Begriff des elektrischen Feldes einzuführen. Das elektrische Feld E(r) wird durch eine gegebene Ladungskonfiguration erzeugt und ist durch die Kraft definiert, die auf eine kleine positive Testladung q wirkt. - Das elektrische Feld ist eine vektorielle Größe mit der Einheit V/m. - Da die Testladung selbst das Feld verändern würde, gilt die Definition für das elektrische Feld nur für den Grenzübergang zu einer sehr kleinen Testladung. f E r = lim q 0 q Das Feld-Konzept zerlegt die Kraftwechselwirkung in 2 Schritte: 1) Eine vorgegebene Ladungskonfiguration (Q') erzeugt ein elektrisches Feld (unabhängig von der anderen Ladung) 2) Ladung Q reagiert auf das Feld E(r) durch Kraftwirkung Q ' r −r ' E r = 4 0 ∣r − r '∣3 f r = Q E r Q' am Ort r' erzeugt ein elektrisches Feld, dieses ist Ursache der Kraft auf Q am Ort r. 17 2.2.2 Feldlinien Veranschaulichung durch Bilder in Form von Feldlinien: Feldlinien sind Bahnen, auf denen sich ein positiver geladener, kleiner, anfangs ruhender Körper aufgrund der Coulomb-Kraft fortbewegen würde. + - 22. September 1791 Newington Butts † 25. August 1867 bei Hampton Court Feldlinien von Punktladungen sind radial. In jedem Raumpunkt r liegt das elektrische Feld E(r) tangential an der dort existierenden Feldlinie. Feldlinien schneiden sich nie! 18 2.2.3 Elektrostatisches Potenzial U Alle Kräfte die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes sind, sind Potenzialkräfte. Die Rotation solcher Kraftfelder verschwindet und sie besitzen ein skalares Potenzial. Damit existiert auch für das elektrische Feld E ein skalares Potenzial U. rot E =0 Q' r − r ' E r = 4 0 ∣r − r '∣3 E besitzt ein elektrostatisches Potenzial U mit der Einheit Volt [V].. E r = − ∇ U r = −grad U r Das elektrostatische Potenzial kann durch Äquipotenziallinen dargestellt werden. 19 Wegunabhängigkeit der Potenzialdifferenz Zu U kann immer eine beliebige Konstante addiert werden -> messbar sind nur Potenzialdifferenzen r2 r2 U r2 − U r1 = ∫ dU = ∫ grad U = r1 r1 ∂U ∂U ∂ U ∂x , ∂ y , ∂z r2 r2 1 1 ∂U ∂U ∂U dx dy dz = ∫ grad U⋅d r = −∫ E⋅r ∂x ∂y ∂z r r d r = dx , dy , dz r2 U r2 − U r1 = −∫ E⋅d r r1 Dieses Linienintegral ist wegunabhängig. wegen: Stokes'scher Satz (siehe Übung) ∫ rot a ⋅d f = ∮ a ⋅d r F ∂F E ⋅d f = ∮ E ⋅d r = 0 ∫ rot F da rot E =0 20 Potenzial des elektrischen Feldes Eine Ladung Q' sei im Nullpunkt unseres Koordinatensystems. Eine andere Ladung, die aus dem Unendlichen zum Ort r' gebracht wird, muss die Potenzialdifferenz bewältigen r ' ⋅d r U r ' −U ∞=−∫ E ∞ übliche Wahl der Konstanten U ∞ = 0 , und Q ' im Nullpunkt , r ' r ' Q ' r ⋅d r U r ' = −∫ E r ⋅d r = − ∫ 4 0 ∞ r 3 ∞ Q' =− 4 0 r ' dr Q' = ∫ r2 4 r ' ∞ 0 r⋅d r = x dx ydy zdz=∣r∣∣d r∣ a⋅b=a bcos Das ist das elektrische Potenzial am Ort r' erzeugt durch eine Ladung Q' im Nullpunkt, für eine Ladung Q' an einem beliebigen Ort r erhalten wir U= Q' 4 0∣r −r '∣ 21 2.2.4 Superpositionsprinzip ● Mehrere Punktladungen Qi an Orten ri Jede Punktladung erzeugt ein Feld Ei(r) am Ort r ● Gesamtfeld E (r) ● E r = ∑ E i r i mit E i r = Q i r − ri 4 0 ∣r − ri∣3 U r = ∑ U i r i Qi 1 U i r = ri∣ 4 0 ∣r − Ursache ist die Linearität der Maxwell'schen Gleichungen. Die Summe von Lösungen ist wieder Lösung der Maxwell'schen Gleichungen. Für sehr starke Felder treten nichtlineare Effekte auf, in diesen Fällen gilt das Superpositionsprinzip dann nicht! 22 2.2.5 Raumladungsdichte - Raumladungswolke d Qi r = dV Qi = ∫ r dV Vi Ladung dQ im Volumen dV Die Ladungdichte ist Ladung pro Volumen: r = dQ dV Übergang von diskreten Punktladungen zu Ladungsverteilungen: 3 Qi r ' d r ' 1 U r = ∑ = ∫ 4 ∣ r − r ∣ 4 ∣r−r '∣ i i 0 0 3 d r ' = dx ' dy ' dz ' 1 U x , y , z = dx ' dy ' dz ' ∫∫∫ 4 0 x ' , y ' , z ' x− x ' 2 y− y ' 2 z− z ' 2 23 2.2.6 Fluss des elektrischen Feldes durch eine Fläche Fluss des elektrischen Feldes E durch die Oberfläche einer Kugel ∮ E ⋅d f Ladung im Mittelpunkt einer Kugel df: Flächenelement ist orientiert in Richtung der Normalen auf der Fläche Q r 4 0 r 3 Q ∣r∣ Q 1 ∣E r ∣ = = 4 0 r 3 4 0 r 2 E r = konstant auf Kugeloberfläche E hat Richtung von r, df ebenfalls, E ist parallel zu df ∮ E⋅d f = ∮ E df F F 2 = E ∫ df = E 4 r F Kugel ! Q E⋅d f = ∮ 0 24 Für eine beliebige geschlossene Fläche ist E und die Flächennormale nicht mehr parallel. Das elektrische Feld E hat die Richtung des Vektors r. Raumwinkel d = sin d d cos d f = r 2 d er 3 r ⋅d f = r cos ∣d f ∣= r d E ∥ d f Skalarprodukt bedeutet Projektion von df auf E Q r⋅d f ∮ E⋅d f = 4 ∮ r 3 = 4 Q 0 0 2 r⋅r d ∮ r 3 = 4 Q 0 d = ∮ 4 Q 0 2 ∫ ∫ sin d d = 4 0 0 25 ● Viele Ladungen in geschlossener Fläche Superposition E= ∑ E i Q = ∑ Qi i i 2.2.7 Physikalischer Gauß'scher Satz 0 ∮ E ⋅ d f = Q ∂V Der Fluss des E-Feldes durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens V ist gleich der eingeschlossenen Gesamtladung mal einem Faktor (ε0). Gauß'scher Satz aus der Mathematik: ∫ div E r d 3 r = ∮ E ⋅d f V S V 26 Zum Gauß'schen Satz Kann sich eine Punktladung im elektrischen Feld anderer Ladungen in einem stabilen mechanischen Gleichgewicht befinden? Stabiles Gleichgewicht für positive Ladung Q + (stabil -> E = 0) Es gibt keine stabilen Gleichgewichtspunkte in irgendeinem elektrostatischen Feld, außer genau an der Stelle einer anderen Ladung. (-> Atome: dynamisches Gleichgewicht, Elektronen auf Bahnen) 27 Viele Probleme mit Symmetrie lassen sich sehr einfach mit dem Gauß'schen Satz lösen. 1. ∞ langer, homogen geladener Stab λ = Ladung pro Längeneinheit ● Fluss von E durch Fläche = Ladung im Inneren/ε0 ● wegen Symmetrie nur radiale Komponente E r Q ⋅l E ⋅d f = E d f = E 2 r⋅l = = ∮ ∫ 0 0 l 2. E= 2 0 r 1 4 0 Q r2 r R 1 E= 4 0 1 2 r Qr 3 R Die elektrische Feldstärke ist umgekehrt proportional zum senkrechten Abstand vom geladenen Stab. homogen geladene Kugel E= R 3 r R 28 3. homogen geladene dünne Kugelschale P sei ein Punkt im Inneren einer homogen geladenen Kugelschale. r1 kleiner Kegel mit Scheitel in P bis zur Kugeloberfläche df = r2 sinθ dθ dφ 2 r2 d f 1 r1 = 2 d f 2 r2 Wenn die Kugeloberfläche homogen geladen ist, ist die Ladung dq auf jedem Flächenelement proportional zum Flächeninhalt dq 2 df 2 = dq1 df 1 dq = df Nach dem Coulomb'schen Gesetz stehen die Beträge der Feldstärken, die von diesen Flächenelementen in P erzeugt werden, im Verhältnis 2 E 2 q2 / r 2 = = 1. E 1 q1 / r 12 Die Felder kompensieren einander. Das Feld im Inneren einer homogen geladenen Kugel ist 0. Das ist allerdings nur so, wenn das Coulombgesetz ~ 1/r2 ist, ansonsten verschwindet das elektrische Feld nicht. 29 B. Franklin hat als erster bemerkt, dass im Inneren eines geladenen hohlen Körpers E = 0 ist. Er schloss daraus auf die quadratische Abstandsabhängigkeit des Coulombgesetzes. (Priestley erreichte 1775 gleiches Ergebnis.) Durch Messung des elektrischen Feldes im inneren eines geladenen Körpers, lässt sich umgekehrt die Abstandsabhängigkeit des Coulombgesetzes überprüfen. 1 r Maxwell ermittelte: Plimpton + Laughton 1939: 2 δ < 10-5 δ < 10-9 Die Gültigkeit des Coulombgesetzes ist bis zu Abständen von 10-15 m gesichert, darunter scheint es ca. 10 mal zu schwach zu sein (doch keine Punktladungen?). Benjamin Franklin 17. Januar 1706 in Boston † 17. April 1790 in Philadelphia 30 2.2.8 Dielektrische Verschiebung Definition: Vektor der dielektrischen Verschiebung D D = 0 E Aus dem physikalischen und mathematischen Gaußschen Satz erhalten wir: ∮ D ⋅d f = Q ∫ div D ⋅d 3 r = Q = ∫ r d 3 r V V da V beliebig ist, muss gelten: div D = r Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes! 31 2.2.9 Grundgleichungen der Elektrostatik im Vakuum 1. rot E = 0 2. div E = 1 0 elektrische Felder sind wirbelfrei div D = mit D = 0 E Integrale Darstellung: 1.∮ E ⋅d r = 0 1 2.∫ E ⋅d f = Q 0 F 32 1. ist automatisch erfüllt, da rot grad = 0 E = - grad U 2. Beide Gleichungen lassen sich zur Poisson-Gleichung umschreiben: 1 r 0 − U = lineare, inhomogene, partielle 0 div - gradU = ∂2 ∂2 ∂2 − U r = 2 2 2 0 ∂x ∂ y ∂z Differenzialgleichung Lösung: 1 U r = 4 0 3 r ' d r ' ∫ ∣r −r '∣ falls ρ(r') für alle r' bekannt ist und keine Randbedingungen für U(r) im Endlichen vorliegen. 33 Randwertproblem der Elektrodynamik Häufig ist allerdings ρ(r') in einem endlichen Volumen bekannt und die Werte für U(r) oder deren Ableitungen auf einer Oberfläche gegeben. Gesucht wird dann U(r) für alle r -> Randwertproblem. 34 Überprüfung der allgemeinen Lösung der Poissongleichung: 1 1 3 d r ' r ' ∫ r ∣r −r '∣ 4 0 1 1 =− ∫ d 3 r ' r ' r − r ' = − r 0 0 r U r = Siehe z.B. Nolting Bd. 3 Elektrodynamik S. 32 r −r ' = − Beweis: 1 1 4 ∣r − r '∣ a) r − r0 = 0 r ≠ r0 b) ∫ d 3 r r − r0 = { V 1 falls r0 ∈V 0 sonst 35 Zu a) r ≠ r ' , r − r ' = 0 1 1 r − r ' = div grad = div ∣r −r ' ∣ ∣r −r ∣ ∣r − r '∣3 div r − r ' 1 = r − r ' ⋅grad 3 3 ∣r −r '∣ ∣r −r '∣ r − r ' 3 1 = − 3 r − r ' ⋅ =0 3 4 ∣ r − r '∣ ∣r − r '∣ ∣r − r '∣ b) ∫ d 3 r r ' V 1 1 = ∫ d 3 r ' ' r ' ' ∣r − r '∣ V r'' r ' ' = r −r ' Wegen a) ist der Integrand für r''≠0 Null. --> Enthält V den Nullpunkt, so kann man das Integral über eine Kugel im Ursprung durchführen. ∫ d r r 3 V ∫ d 3 r ' ' 1r = 0 falls r = 0 ∈V 1 1 1 3 = ∫ d r div grad = ∫ d f⋅ - 2 er r V r r F K 2 r0 = ∫ d ∫ sin d ∫ r 2 er⋅0 0 0 1 e = −4 2 r r 36 Elektrisches Feld zweier Punktladungen (Dipol) Eine positive Ladung q sei bei r1 und eine negative gleichgroße Ladung (-q) bei r2. r = q r − r1 −q r − r2 Das Potenzial ergibt sich aus der Lösung der Poissongleichung. 3 q r ' − r1 −q r ' −r2 d r ' r ' d 3 r ' 1 1 U r = = ∫ ∣r − r '∣ = 4 ∫ ∣ r − r '∣ 4 0 0 1 q q = − 4 0 ∣r −r1∣ ∣r − r2∣ [ ] Das elektrische Feld lautet E r = −gradU r = [ r − r1 r − r2 q − 4 0 ∣r − r1∣3 ∣r − r2∣3 ] Das Dipolmoment ist ein Vektor mit der Einheit Coulomb mal Meter: ⃗p = q ( r⃗1− r⃗2 ) Eine noch häufig genutzte Einheit ist das Debye: 1 Debye = 3.33564 10-30 C m. Für Moleküle liegt das Dipolmoment meist im Bereich von 0 - 12 Debye (H2O: 1.84). Allgemeine Definition des Dipolmoments: 3 ⃗p = ∫ ⃗r ρ( ⃗r )d ⃗r 37 Potenzials eines Dipols: Feldlinien eines Dipols: 38 2.3.1 Polarisation von Materie + - + - + ⃗ E=⃗ E ext + ⃗ E ind Das Einbringen einer zusätzlichen Ladung erzeugt eine Verschiebung von Ladungen -> Polarisation (Dipole entstehen, Deformationspolarisation) Im neutralen Atom fallen die Ladungsschwerpunkte zusammen. Externes Feld verschiebt diese -> induziertes Feld entsteht. Dielektrische Polarisation nennt man eine Ladungsverschiebung in einem nichtleitendem Material, die durch das Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes verursacht wird. Die Ladungsverschiebung in einem Leiter wird Influenz genannt. Im Inneren der Materie sowie an den Oberflächen ist eine makroskopische Ladungsverteilung (Polarisationsladungen) wahrnehmbar. 42 Verschiebungspolarisation Bei unpolaren Molekülen wird die Elektronenwolke, die den Atomkern umgibt, durch das angelegte elektrisches Feld gegen den Atomrumpf verschoben. Durch die Verschiebung der Ladungsschwerpunkte wird ein Dipolfeld erzeugt. Im Inneren des Körpers entsteht so eine makroskopische, inhomogene Ladungsverteilung. Orientierungspolarisation In einem Körper mit polaren Molekülen richten sich dessen Dipole im äußeren elektrischen Feld aus. 43 Die Polarisationsladungen erzeugen elektrische Felder, so dass das elektrische Feld im Inneren der Materie eine Überlagerung aus dem externen elektrischen Feld und dem elektrischen Feld der induzierten Ladungsdichte darstellt. ⃗ E=⃗ E ext + ⃗ E ind Eext: externes Feld Eind: Feld durch Polarisation E ≠ 0, E < Eext Damit erhalten wir aus den Maxwell'schen Gleichungen: ε0 div ⃗ E = ε0 div ( ⃗ E ext + ⃗ E ind ) = ρext + ρind ρind: induzierte Ladungsdichte, z.B. durch auftretende Dipole 44 Definition: Polarisationsvektor oder Verschiebungsvektor In der Elektrostatik bezeichnet der Vektor der Polarisation das Vektorfeld, das aus einem permanenten oder induzierten Dipolmoment in einem dielektrischen Material (Dielektrikum) resultiert. Der Polarisationsvektor P hat die Einheit eines Dipolmoment pro Volumen. Es ist dem Feld E in der Materie entgegen gerichtet. ⃗ P = −ε0 ⃗ E ind div ⃗ P = −ρind Historisch war ρind unbekannt, so dass eine einfache Form für div D = ρ gesucht wurde. ⃗ D = ε0 ⃗ E+⃗ P div ⃗ D = divε0 ⃗ E + div ⃗ P = ρext + ρind − ρind = ρext Jedes Atom/Molekül spürt nicht nur das Vakuumfeld, sondern auch alle Felder der anderen Atome oder Moleküle. P wird nicht durch Eext allein verursacht, verschwindet aber ohne äußeres Feld. ⃗ E=⃗ E ext + ⃗ E ind < ⃗ E ext ⃗ P=⃗ P( ⃗ E) ≠ ⃗ P (⃗ E ext ) 45 Wenn P eine Funktion von E ist und wir hinreichend kleine Felder voraussetzen, ist eine lineare Näherung (Taylor-Entwicklung) möglich. P = 0 e E χe: Die elektrische Suszeptibilität ist ein Maß für die Polarisierbarkeit von Materie. D = 0 E P = 0 1 0 E = 0 1 e = 0 r 1 ⃗ E=⃗ E ext + ⃗ E ind = ⃗ E ext − ε ⃗ P=⃗ E ext − χ e ⃗ E 0 (1+χ e ) ⃗ E =⃗ E ext da ⃗ E<⃗ E ext , muss χ e > 0 46 Folgerungen: 1) In Materie mit großen ε oder χe sind elektrische Felder schwächer. 2) ε ist groß, falls Ladungen leicht verschiebbar sind (große Polarisierbarkeit) ● ● ● ● Ionenkristall: Ladungen fest auf Atomen kovalente Bindungen: Elektronen müssten bewegt werden Wasser: Rotation der H20-Moleküle Eis: keine Rotation Diamant Glas Si Helium Luft Wasserstoff Metall 0 5,5 Wasser 4 ... 10 Aceton 11,7 Äthanol -> ε klein -> ε größer -> ε groß -> ε klein 0 80 22 25 1.00007 1.00059 1.00026 ∞ 47 Verallgemeinerung: a) D = ε E ist ein Materialgesetz (Näherung) für alle nicht kubischen Kristalle oder nicht isotropen Medien wird ε zu einem Tensor D i = ik E k ε 0 0 ε ik = 0 ε 0 = ε ik 0 0 ε für kubische Kristalle Falls eine Vorzugsrichtung existiert, ist E im Allgemeinen nicht mehr parallel zu P. D = E, b) D im Allgemeinen nicht parallel zu E P ~ E ist nur lineares Glied der Taylor-Entwicklung von P(E) 3 P= P 0 0 e E E c E E 48 Arten von dielektrischen Stoffen: 1) Paraelektrikum heißen Stoffe mit permanenten Dipolen (H20, NH3, ...), die zufällig angeordnet sind und die sich in einem äußeren elektrischen Feld E ausrichten können (Orientierungspolarisation). 2) P0 sei eine ohne äußeres elektrisches Feld bestehende Polarisation. Ferroelektrika besitzen einen permanenten Dipol, der oberhalb einer kritischen Temperatur Tc verschwindet. Siegnette-Salz: NaKC4H406 * 4H20, Bariumtitanat BaTi03 Pyro- und piezoelektrische Materialien Glieder höherer Ordnung wichtig für nichtlineare Optik (Laser-Frequenzverdopplung) Starke T- und p-Abhängigkeit H20 bei Normaldruck exp 0° C 87,8 10° C 20° C 30° C 40° C 50° C 83,9 80,1 76,5 73 69,7 Temperatur -> Fluktuationen wirken gegen die Ausrichtung im elektrischen Feld 49 c) frequenzabhängige Felder E r , t = E 0 cos k⋅r −t mit k = k ek , = 2 v , 2 k= = , k Die k-Abhängigkeit ist oft unwesentlich, außer bei: - optisch aktive Substanzen (Rechts – Linksquartz) ε(ω,e) - für λ ~ Röntgenbereich: Bragg-Reflexion (Interferenz) - (photonic bandgap) Materialien mit photonischer Bandlücke (Opal) Die ω-Abhängigkeit ist sehr wichtig. H20: εr (ω = 0) = 80 εr (ωLicht) ≈ 1,8 Die Frequenzabhängigkeit wird Dispersion genannt. Brechzahl n = ⋅ µ 50 Schematische Frequenzabhängigkeit der dielektrischen Funktion Orientierungspolarisation 1010 Hz ● IR-Ionenpolarisation 1012 Hz ● Elektronenpolarisation 1015 Hz ● -> bei hohen Frequenzen nährt sich ε(ω) -> ε0 Ladungen können den Änderungen von E nicht mehr folgen. 51 Frequenzabhängigkeit des Brechungindex von Wasser 52 Frequenzabhängigkeit des Absorptionskoeffizienten von Wasser Schlechtes Wetter beeinträchtigt die Übertragung von Satelliten im Wellenlängenbereich λ ≈ 3 cm mehr, als die Übertragung über terrestrische Sender bei λ ≈ 30 cm. 53 Metalle b) frei bewegliche Ladungen + + + + - + + + + - -+ - -- + + + + Eine zusätzliche Ladung wird völlig kompensiert: Elektronen fließen, solange das elektrische Feld im Inneren nicht Null ist, und schirmen die Ladung ab. Der Ladungsüberschuss verteilt sich effektiv auf die Oberfläche (Rand). Das elektrische Feld im Inneren von Metallen ist Null. Daraus folgt (wegen grad), dass das elektrische Potenzial im Inneren konstant ist. Der Rand (die Oberfläche) des Metalls ist eine Äquipotenzialfläche. Die Feldlinien des elektrischen Feldes stehen immer senkrecht auf Äquipotenzialflächen. Daraus folgt -> Feldlinien stehen immer senkrecht auf der Oberfläche von Metallen. D im Inneren D = 0 E P =0 54 2.4. Grenzflächen zweier Medien/Randbedingungen ε sei stückweise stetig: Sprung an Grenzflächen 1 2 z x div r 0 E = − a) Nichtmetalle (Dielektrika) a h d rot E = 0 Stokes'scher Satz ∮ E ⋅d r = 0 = ∫ rot E ⋅d f z b dz dx l c 1 x 2 h << l für jeden geschlossenen Weg b d a c ∫ E 1x dx − ∫ E 2x dx ∫ E z dz − ∫ E z dz a c d b =0 für h 0 und endliche Felder 55 Mittelwertsatz der Integralrechnung: b ∫ f x dx = f b−a a b 1 1 ∫ E x dx = Ex l mit hinreichend kleinem l a 1 2 Exl = Ex l 1 2 Ex = Ex 1 2 analog E y = E y Die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes sind stetig. 1 2 Et = Et Elektrostatisches Potenzial U1 = U(x,y,z=+0), U2 = U(x,y,z=-0): Angenommen es gelte U1 = U2 + const., wegen E = -grad U, ∂U = ∞ ~ Ez = ∞ ∂z daraus folgt const = 0 U1 = U2 56 Normalkomponenten von D z d f Zylinder mit Höhe h und Deckfläche F, 1 div D = h ≪ F , h 0 ∮ D⋅d f = Q ∂V 2 h d f Fluss von D durch den Zylinder ∮ D ⋅ d f = ∫ D 1z d f z Dm⋅d f ∫ −∫ D2z d f z = Q Mantelfläche mit h 0 und endlichen Feldern 57 Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung und hinreichend kleine Fläche F, so dass D in der Fläche konstant ist. 1 2 D z F − D z F = Q = ⋅F 1 = Flächenladung Q F 2 Dz − Dz = Dz entspricht der Normalkomponente DN auf der Fläche F. 1 N Die Differenz der Normalkomponenten der dielektrischen Verschiebung ist gleich der Flächenladung auf der Grenzfläche. 2 N D −D = Falls keine Flächenladung auf der Grenzfläche (σ = 0) existiert: 1 2 1 2 D N = D N 1 E N = 2 E N Die Normalkomponenten des elektrischen Feldes sind an der Grenzfläche unstetig, der Sprung des elektrischen Feldes ist durch den Sprung der Dielektrizitätsfunktion der Medien bestimmt. 58 Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien Einschränkung der Allgemeinheit σ = 0 D = εE 1 tan 1 = 1 2 tan 2 = 1 E t 1 falls = 0 tan 1 D 1N = 2 = 1 tan 2 E t 2 2 2 DN Et E E E 1 N 2 t 2 N 1 = = E t 1 D1N 2 E t 2 D 2N da die Tangentialkomponenten von E und die Normalkomponenten D an der Grenzfläche gleich sind. 59 b) Metalle - Leiteroberflächen Im Inneren ist E = 0 = D -> U = const. Die Oberfläche ist eine Äquipotenzialfläche, die Feldlinien stehen senkrecht auf die Oberfläche. außen innen innen Et = E t = 0 ~ U = U innen D außen = , da D =0 N N außen Wird ein äußeres Feld ≠ 0 angelegt, fließen solange Ladungen bis das elektrische Feld im Inneren Null wird <-> Oberfläche ist geladen. 60 Methode der Bildladungen (Spiegelladungen) Wir betrachten eine Punktladung vor einer Metallwand. Der Abstand der Ladung zur Platte sei a. Wenn die Metallplatte geerdet ist, besitzt sie das Potenzial Null. Gesucht ist das elektrostatische Potenzial und die Influenzladung auf der Wand. 63 Die Metallplatte teilt den Raum in zwei Hälften (x<0 und x>0). Im rechten Teilraum, der ohne Ladung ist, erhalten wir als Lösung: für x0 U r = 0 Diese Lösung genügt auch der Laplacegleichung mit den Randbedingungen U=0 bei x=0. Es ist ebenfalls Lösung, falls der gesamte Raum x>0 durch einen vollen Metallkörper ersetzt wird. Wir suchen nun die Lösung für den linken Teilraum, wobei wir als Randbedingung beachten müssen, dass die Feldlinien senkrecht auf der Metallwand stehen. Eine äquivalente Randbedingung ist das Übereinstimmen des Potenzials auf der Wand. U r = −q r a ex für x0, U x=0, y , z = 0 Wenn man sich an das Potenzial eines Dipols erinnert, stellt man fest das dieses Potenzial eine Lösung für die linke Seite ist. U r = q 1 1 − 4 0 ∣r a ex∣ ∣r −a ex∣ 64 Die Methode der Bildladungen besteht allgemein darin, zusätzliche Ladungen außerhalb des interessierenden Bereiches zu finden, so dass die Randbedingungen für das Potenzial erfüllt werden. Diese Spiegelladungen existieren nicht wirklich, sondern dienen der mathematischen Beschreibung. Das elektrische Feld auf der linken Seite lautet E r = −gradU r = [ r a ex r −a ex q − 4 0 ∣r a ex∣3 ∣r −a ex∣3 ] für x0 Das reale elektrische Feld auf der rechten Seite ist Null. 65 Influenzladung Die auf der Metallwand induzierte Ladung ist durch die Normalkomponente von D gegeben. Die Normalkomponente auf der Wand entspricht der x-Komponenten von ε0E. y , z = − 0 E x x=0, y , z = − [ q a 2 a 2 y 2 z 2 3 /2 ] Die Oberflächenladung ist maximal bei y=0 und z=0 und nimmt mit wachsenden Abstand von diesem Lotpunkt ab. Die Gesamtladung auf der Metallplatte ist dann ∞ ∞ qinfl = ∫ y , z dy dz = 2 ∫ d = −q a ∫ 0 0 [ d 2 2 3/2 a ] = −q Zylinderkoordinaten Über die Influenzladung üben die Metallplatte und die Punktladung Kräfte aufeinander aus, die messbar sind. 66 2.6. Die Energie eines elektrostatischen Feldes Das Zusammenführen zweier gleicher Ladungen kostet Arbeit. Das Zusammenführen zweier ungleicher Ladungen bringt Energie. Vereinbarung - Energie hat das Symbol W (wegen |E| = E) - Energiedichte ω(r): W = ∫d3r ω(r) Im elektrischen Feld E(r) am Ort r wird auf die Punktladung q die Kraft F(r) = q E(r) ausgeübt. Um die Punktladung q im Feld E(r) vom Punkt B nach A zu verschieben, muss also Arbeit geleistet werden. A F · dr sei negativ, falls beide Ladungen das gleiche Vorzeichen haben. r ⋅d r W = −∫ F B A A = −q ∫ E r ⋅d r = q∫ dU B = q [ U A − U B ] B dU = ∂U ∂U ∂U dx dy dz=grad U⋅d r ∂x ∂ dy ∂z 67 1. Situation - eine Punktladung sei bei r1, Q1 (Energie Q1 nach r1 zu schaffen ist Null, da F(r) = 0) - eine zweite Punktladung Q2 aus dem Unendlichen nach r2 schaffen - elektrisches Feld wird durch Q1 erzeugt r2 Q2 r1− r2 d r − r2 r2 r2 Q1 r1 Q1 r − r1 E r = 4 ∣r −r1∣3 r2 Q r − r1 ⋅d r Q 1 Q 2 r − r1 ⋅d r − r1 r ⋅d r = −Q 2∫ 1 W = −∫ F = − ∫ ∣r −r ∣3 3 ∞ 4 4 ∣ r − r ∣ ∞ ∞ 1 1 Q1 Q 2 =− 4 0 r2 r Q1 Q 2 1 dx Q 1 Q 2 1 ∫ x 2 = 4 ∣r − r ∣ = 4 ∣r −r ∣ ∞ 1 ∞ 2 1 ∣ 2 x = ∣r − r1∣ 68 2. Situation: 3. Ladung aus dem Unendlichen nach r3 führen Energie von Q1 und Q2 ist bekannt. Q1 und Q2 erzeugen ein elektrisches Feld, das mit Q3 wechselwirkt. Superposition der elektrischen Felder E(r) = E1 + E2 W= Q1 Q 2 Q1 Q3 Q 2 Q3 4 ∣r1 − r2∣ 4 ∣r1− r3∣ 4 ∣r2 − r3∣ 3. Situation: viele Punktladungen (N) N W =∑ i j Qi Q j 4 ∣ r i − rj∣ andere Schreibweise (z.B. Nolting) 1 W= 8 N Q i Qi ∑ ∣r − r ∣ i,j=1 i j i≠ j wegen Doppelsummation i≠ j ⇔ j≠i 1, 2 ⇔ 2,1 69 4. eine Raumladungswolke ρ(r), ∑ -> ∫, Q -> dQ = ρdV r r ' 1 3 = ∫ d r r U r ∣r −r '∣ 2 1 r ' 3 U r = d r ' ∫ ∣r −r '∣ 4 W= 1 8 3 3 ∫ d r ∫ d r ' Sechsfaches Integral (Die Singularität r = r' ist integrierbar und stört nicht) 5. Zwei Raumladungswolken ρ1(r), ρ2(r) W= 1 3 d r ∫ 8 [ 3 ∫ d r ' 1 r 1 r ' 2 r 2 r ' 2 1 r 2 r ' ∣r −r '∣ ∣r − r '∣ ∣r −r '∣ W1 W2 W 12 ] Energie der ersten Wolke + Energie der zweiten Ladungswolke + Wechselwirkung zwischen Wolken 70 Es gilt für eine Ladungswolke ρi Wi = 1 2 ∫ d 3 r i r U i r außerdem gilt die Poissongleichung (für homogenes ε) −i Ui = i = − U i − 3 Wi = d r U i r U i r ∫ 2 Weiterhin folgt aus der Vektoranalysis die folgende Beziehung: div U gradU = grad U 2 U U Wi =− 3 3 2 d r div U grad U d r grad U ∫ ∫ i i i 2V 2V Anwendung des mathematischen Gauß'schen Satzes ∫ div A dV = ∮ A⋅d f V Wi =− d f ⋅U grad U d3r E i ⋅ Ei ∮ ∫ i i 2 ∂V 2 V ∂V 71 Beweis der folgenden Beziehung aus der Vektoranalysis: div U gradU = grad U 2 U U 2 2 2 ∂U ∂U ∂U ∂ U ∂U ∂ U ∂U ∂ U ∂ U ∂ U ∂ U ∂ U div U ,U ,U = , , ⋅ , , +U 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂ y ∂z ∂x ∂ y ∂z ∂x ∂y ∂z Die linke Seite gibt: ∂ U ∂U ∂ U ∂U ∂ U ∂U ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 2 2 2 2 2 2 ∂U ∂U ∂U ∂ U ∂ U ∂ U = U 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z 72 W i = − ∮ d f ⋅U i grad U i ∫ d 3 r E i ⋅ Ei 2 ∂V 2 V Wir fordern: Alle Ladungen befinden sich in einem endlichen Volumen V Es ist dann möglich, über eine Kugel mit R -> ∞ zu integrieren, da ρ nur im Endlichen ≠ 0 ∮ d f ... ~ R2 1 U ~ R 1 ∣grad U∣ ~ 2 R U= 1 4 ∫d r' 3 r ' ∣r −r '∣ Für den ersten Term erhalten wir damit als Grenzwert für R -> ∞ ∮ d f ⋅U gradU R ∞ 1 0 R Nur der zweite Term überlebt und gibt einen Beitrag W= 2 ∫ d 3 r E r ⋅ E r 73 1 d 3 r E r ⋅ D r ∫ 2 1 w= E ⋅ D 2 W= Das elektrische Feld ist der Träger der elektrostatischen Energie. 74 3. Magnetostatik 3.1. Grundbegriffe In der Natur existieren magnetische Felder. Es gibt allerdings keine Quellen des magnetischen Feldes, d. h. es wurden noch nie magnetischen Ladungen (magnetische Monopole) gefunden. Magnetische Felder werden erzeugt durch magnetische Multipole (Dipole, Quadrupole ...) und Ströme. Eisenspäne auf Papier, aus Practical Physics (1914) Magnetostatische Felder entstehen durch stationäre elektrische Ströme. Haben Multipole ihre Ursachen in atomaren Strömen? (Elektronen in Atomen?) ● Der Ursprung des Magnetfeldes ist nicht mit klassischer Physik erklärbar -> Quantenmechanik (van Vleck) ● Ströme (nicht klassisch berechnet) ● Spin (z.B. e- besitzt magnetisches Moment, wie Kompassnadel) 75 3.2. Grundlagen Definition: Magnetfeld H (magnetische Feldstärke) [ H]= A m Definition: magnetische Induktion B (magnetische Flussdichte) B = µ0 H µo = 4 ⋅10−7 Vs Am μ0: Permeabilität des Vakuums Die magnetische Permeabilität μ beschreibt die Durchlässigkeit von Materie für magnetische Felder. In Materialien ist die Permeabilität eines Materials frequenzabhängig, Temperatur- und Druckabhängig und muss als komplexe Größe definiert werden. 76 Stärkstes und schwächstes Magnetfeld Das mit 0,000000001 Tesla (1 nT) derzeit schwächste genutzte Magnetfeld findet man in einem speziell abgeschirmten kubischen Gebäude der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Berlin. Zweck des Kubus ist die Messung der schwachen Hirnströme von Menschen. Das Magnetfeld der Erde beträgt 20 bis 30 Mikrotesla an der Erdoberfläche. Als Ursache des Erdmagnetfeldes gelten Konvektionsströme im äußeren flüssigen Erdkern, die durch den Temperaturunterschied zwischen dem festen inneren Erdkern und dem Erdmantel aufrechterhalten werden (Geodynamo). In Dresden (Rossendorf) ensteht ein gepulster Magnet der 100 T erzeugen soll. Um eine Feldstärke von 100 Tesla zu erreichen, wird eine elektromagnetische Energie von 50 MJ und ein Spitzenstrom von 100 kA benötigt. Auf der Oberfläche von Neutronensternen, wie z. B. Pulsaren, herrschen laut unseren theoretischen Vorstellungen typischerweise Flussdichten von 100 Tesla, bei Magnetaren, einer speziellen Sorte von Neutronensternen, sogar 1000 Tesla. 77 Nach dem Gauß'schen Satz ist der Fluss von B durch eine Oberfläche: ∮ B ⋅ d f = ∫ div B d 3 r = 0 V keine magnetischen Ladungen div B=0 Magnetische Feldlinien haben keinen Anfang und kein Ende, sondern verlaufen als geschlossene Bahnen. Das Magnetfeld ist quellenfrei. In der Magnetostatik gibt es im Gegensatz zur Elektrostatik keine Ladungen – magnetische Monopole sind zwar mathematisch denkbar, alle experimentellen Tatsachen sprechen aber gegen ihre Existenz. Die Grundgleichungen der Magnetostatik, haben die gleiche mathematische Struktur wie die Grundgleichungen der Elektrostatik. rot H =0 div B = 0 Grundgleichungen Magnetostatik 78 Randbedingungen Da die Grundgleichungen mathematisch die gleiche Form haben wie für E und D, müssen die Randbedingungen genauso sein. (gleiche Gleichungen = gleiche Lösungen). Ht 1 = H t 2 BN 1 = B N 2 die tangentialen Komponenten von H sind gleich die normalen Komponenten von B sind gleich, da es keine magnetische Ladungen (wie σ) gibt In Analogie zur Elektrostatik Elektrostatik W= 1 d 3 r H r B r ∫ 2 Magnetostatik E D ε0 H B µ0 Q, ρ, σ, η ― p Dipolmoment D = ε0 E + P m magnetisches Moment B = µ0 H + M 79 3.3. Magnetfelder in Substanzen analog zu: D = ε0 E + P P wird verursacht durch elektrische Dipole in Materie. In der Magnetostatik gilt: B = µ0 H + M, Die Magnetisierung M wird verursacht durch magnetische Dipole. 1. Paramagnetismus Atome/Moleküle besitzen magnetische Momente mi, die nicht orientiert sind. Die Richtungen sind durch Wärmebewegung statistisch verteilt. 1 M= V M =0 ∑ mi i Mittelwert: keine Magnetisierung Bei Anlegen eines äußeren Feldes werden die magnetischen Momente mi ausgerichtet. für kleine ∣ H∣: M = µ0 m H kleine H M = M max tanh µB B kT m : magnetische Suszeptibilität M max : alle mi gleiche Richtung 80 B = µ0 H M ≈ µ0 H µ0 m H = µ0 1 m H = µ0 µ r H=µ H Die lineare Näherung ist bereits für technisch erzeugbare Felder im Allgemeinen falsch. Die Sättigungsmagnetisierung wird bei niedrigen Temperaturen schnell erreicht. B = µ H: lineare Näherung µ ist im Allgemeinen ein Tensor µ = µ(ω) , Temperatur, Druck, ... Jedes Atom, z. B. Natrium, das eine ungerade Zahl von Elektronen hat, wird ein magnetisches Moment haben, auch Radikale mit einem ungepaarten Elektron sind magnetisch. Wenn Verbindungen (Doppelbindungen) gebildet werden, heben sich diese Momente im Allg. gegenseitig auf. Ein resultierendes magnetisches Moment gibt es in Stoffen, deren Atome eine innere, teilweise ungefüllte Elektronenschale haben: Übergangselemente Cr, Mn, Fe, Ni, Co, ... (seltene Erden). 81 2. Diamagnetismus Bei Anlegen eines Feldes werden magnetische Momente erzeugt, die dem äußeren Feld entgegen wirken. χm negativ aber 1 + χm > 0 -> Es bildet sich ein dem äußeren Feld entgegengesetztes Feld aus. Alle Stoffe sind diamagnetisch, allerdings ist der Diamagnetismus sehr schwach, so dass dieser Effekt manchmal durch andere Effekte (Paramagnetismus oder Ferromagnetismus) überdeckt wird. In Metallen erzeugen die frei beweglichen Elektronen Diamagnetismus (Landau). Die restlichen Ionen können Paramagnetismus verursachen, meist überwiegt der Diamagnetismus B = µ H µ < µ0 Wiederum gilt: lineare Näherung µ ist eigentlich ein Tensor µ = µ(ω) (geringe) Temperatur-, Druckabhängigkeit 82 Magnetische Suszeptibilität einiger Stoffe bei Raumtemperatur: Wasser Benzene NaCl Graphite ║ Graphite ┴ Cu Ag -90.0 · 10-6 -7.2 · 10-6 -13.9 · 10-6 -260.0 · 10-6 -3.8 · 10-6 -1.1 · 10-6 -2.4 · 10-6 Warum gilt eigentlich immer µ = (1 + χm) µ0 ≥ 0? µ kann nie negativ werden, da = 1 1 H ⋅B = H ⋅H µ 2 2 >0 Falls µ negativ wäre, würden Magnetfelder sich selbst verstärken (-> ∞), da durch höhere Magnetfelder die Energie des Systems immer kleiner werden würde. Supraleiter sind perfekte Diamagneten mit χm=-1 und µ = 0. 83 3. Ferromagnetismus Es existieren so genannte Weiss'sche Bereiche (Domänen) mit ausgerichteten magnetischen Momenten M ≠ 0 In einem Bezirk gilt M = M 0 T µ0 m H Mmax: alle Atome ausgerichtet TC: Curie-Temperatur Thermische Fluktuationen zerstören Ausrichtung, magnetisches Feld stellt Ausrichtung wieder her. 84 M0(T) bildet das nullte Glied einer Taylor-Reihe von M(H) B = µ0 H + M(H,T) näherungsweise für kleine H: B = µ0 H + M0(T) + µ0 χm H + ... B = µ H + M0(T) T > TC : M0(T) = 0 T < TC : M0(T) ≠ 0 mit µ = µ0(1 + χm) paramagnetisches Verhalten ferromagnetisches Verhalten In einem ferromagnetischen Körper existieren viele Weiss'sche Bezirke. Ein starkes Magnetfeld kann ein „Umklappen“ der Magnetisierung der Weiss'schen Bezirke bewirken. 85 Hc MR c Ms b a d Ms 4. Ferrimagnetismus Hc H a Neukurve b Sättigung c Remanenz d Koerzitivkraft unterschiedlich große Momente 5. Antiferromagnetismus 6. Antiferrimagnetismus ⋮ chirale Strukturen frustrierte Strukturen Wesentlich: B = µ H ist eine grobe Näherung, die nur für Para- und Diamagnete anwendbar ist. 86 Magnetfeld im Inneren eines Stabmagnetes Stabmagnet: B = µH + M Sommerfeld § 12, Elektrodynamik M B da div B = 0 (Feldlinien müssen geschlossen sein) HH H rot H = 0 1 H = B − M µ Im Inneren ist damit B antiparallel zu H B ≠ µH 87 Analytisches Ergebnis für eine Kugel mit homogener Magnetisierung M N M M B M sei gegeben M B = 2 H =− M 3µ 3 M H S div B = 0 = µ div H div M Die Magnetisierung macht einen Sprung an Oberfläche, den H kompensieren muss. Die Normalkomponente von H hat deswegen einen Sprung von -M. Wegen rot H = 0 muss auf jedem geschlossenen Weg gelten, dass H⋅ d r = 0 ∮ Ein Teilintegral außerhalb des Magneten (B, H gleiche Richtung) ist positiv. Deshalb muss das Teilintegral über den Weg innerhalb des Magneten negativ sein. ∫ H⋅d r 0 ∫ M⋅d r = ∫ B⋅d r − µ innen innen ∫ B⋅d r 0 M = B − µ H innen innen ∫ H⋅d r 0 , innen d. h., H im Inneren des Magneten hat auf jeder Feldlinie (durchschnittlich) die entgegengesetzte Richtung wie M. 88 4. Ströme und deren magnetische Wirkungen 4.1. Elektrische Ströme 4.1.1. Die Kontinuitätsgleichung Stationäre Ströme = Ladung, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt (Gleichstrom) dI ≠0 beschleunigte Bewegung: dt Beliebiges Volumen, durch das der Strom fließen soll -> Ladung in V (Q(t)) Ladungserhaltungssatz: Eine Ladung kann nicht verschwinden. Q̇ t = Strom hinein oder hinaus aus V (durch Oberfläche von V) j Strom fließt in Richtung der Flächennormalen Strom I = ∮ j ⋅d f , j = Stromdichte = Fläche ∂V Q̇ I = 0 Q = ∫ d 3 r r V 89 Anwendung des Gauß'schen Integralsatzes d d 3 r ∫ div j d 3 r = 0 ∫ dt V V -> für gegebenes beliebiges Volumen V d div j = 0 dt Kontinuitätsgleichung (mikroskopische Form der Ladungserhaltung) (analog zur Hydrodynamik: Massenerhaltung ̇ m div j m =) 0 Die Ladungsdichte in einem Volumen kann sich nur ändern, wenn durch die Oberfläche des Volumens ein Strom fließt. 90 4.1.2. Das Ohm'sche Gesetz Ursache von Strömen sind elektrische Felder (Spannung = Potenzialdifferenz) E F =e E F = m a Elektrisches Feld wirkt auf eine Ladung -> Kraftwirkung -> beschleunigte Bewegung Warum erzeugt E einen Gleichstrom mit der Dichte j = v statt dj dt ≠ 0? Im Vakuum (oder Ionosphäre) verursacht E beschleunigte Ladungen. ● In Materie werden Elektronen ständig durch Gitterschwingungen und Defekte gestreut, diese Reibung führt zu einer gleichförmigen Geschwindigkeit der Ladungsträger. ● Georg Simon Ohm 16. März 1789 in Erlangen † 6. Juli 1854 in München 91 Idealer Kristall bei T = 0 Elektron fliegt durch den Kristall. realer Kristall bei T ≠ 0 Bewegung der Elektronen wie bei Reibung (bzw. Fall aus großer Höhe). m ̈r ̇r = e E = 1 = mittlere Zeit zwischen zwei Stößen Elektrisches Feld bewirkt eine Beschleunigung ⃗r¨ + γ ⃗r˙ = const . , da ⃗r˙ wächst und ⃗r¨ sinkt E ⃗r¨ = 0 m γ ⃗r˙ = e ⃗ 2 e ⃗j = en ⃗v = n ⃗ E =σ⃗ E Ohmsches Gesetz der Leitfähigkeit mγ ρ = en n= Ladungsdichte Ladungsträgerdichte j = E 92 Das Ohm'sche Gesetz ist ein Materialgesetz und nur näherungsweise gültig: ● σ ist im Allgemeinen ein Tensor: j nicht parallel zu E ● σ(k,ω) zeigt Dispersion wie ε(k,ω) ● temperatur-, druckabhängig ● σ linear (1. Glied einer Taylor-Reihe) ● j j negativer Widerstand Tunneldiode E ● EF E In der Ionosphäre sowie in Nano- und Mikrostrukturen bei tiefen Temperaturen findet ballistischer Transport statt, bei dem das elektrische Feld die Ladungen beschleunigt. E d j dt Leo Esaki (jap. Esaki Reona) 12. März 1925 in Ōsaka Physik-Nobelpreis 1973 (Tunneldiode) Bild: http://nobelprize.org/physics/laureates/1973/ 93 Einfaches Beispiel: Draht mit konstantem Querschnitt j ∥ E A l l l U =−∫ E⋅d r = − ∫ E d x = −E l 0 0 I = ∫ j ⋅d f = ∫ j x df x = j ⋅ A = A Spannung = |Potenzialdiff.| U j = E = l A 1 = R l U A l U =lE I = U R 94 4.1.3. Die Joule'sche Wärme Das elektrische Feld E verursacht eine Beschleunigung, die kinetische Energie müsste zunehmen, was aber durch die Reibung aber nicht passiert. Wo bleibt diese fehlende Energie? Reibung erzeugt Wärme -> stromdurchflossener Körper erwärmt sich Für 1 Elektron abgegebene Arbeit: r = F⋅ v dt = P dt dW = F⋅d P = Leistung P = e E⋅ v Für viele Elektronen, E und ν gleich: James Prescott Joule 24. Dezember 1818 in Salford bei Manchester † 11. Oktober 1889 in Sale bei London P = ∑ e E⋅ v = Q⋅ E⋅ v dP = E⋅ v dQ da =Ladung pro Volumenelement dQ = dV dP = E⋅ v dV = dV 95 dP = E⋅ v dV = dV Es gilt v = j = j⋅ E Falls das Ohm'sche Gesetz gilt Die Joule'sche Wärme entspricht der im Volumenelement dV pro Zeiteinheit dt produzierten Wärme. j = E j 2 = E = 2 j ∥ E Einfaches Beispiel: Draht V=A∙l I=j∙A A U=El l 2 U P = ∫ d r = ∫ d r j ⋅ E = j E V = j E Al = I ⋅U = = I2R R 3 3 Einheit der Leistung P: Watt, W = A V 96 4.2. Das durch stationäre elektrische Ströme erzeugte Magnetfeld 4.2.1. Das Ampère'sche Gesetz I (Durchflutungsgesetz, Verkettungsgesetz) Experiment: I erzeugt einen Wirbel (Magnetfeld) Richtung entspricht der „rechten Hand“-Regel H⋅ d r = I ∮ = j rot H Ørsted studierte Naturwissenschaften und Pharmazie an der Universität Kopenhagen. 1819 isolierte er erstmals Piperidin. 1820 entdeckte er mit einem Kompass die magnetische Wirkung des elektrischen Stromes. 1825 stellte er erstmals Aluminium her. Hans Christian Ørsted 14. August 1777 in Rudkøbing † 9. März 1851 in Kopenhagen Erkannte 1820 die magnetische Wirkung von Strömen. André-Marie Ampère 20. Januar 1775 in Poleymieuxau-Mont-d'or neben Lyon † 10. Juni 1836 in Marseille Ampère erklärte den Begriff der elektrischen Spannung und des elektrischen Stromes und setzte die Stromrichtung fest. 97 H-Linien sind konzentrische Kreise mit wachsendem Abstand sinkt H x (Symmetrie H konstant auf Kreis -> H || dr) ∮ H⋅d r = H 2 R = I Kreis Nach Stokes: rot H = j , div H =0 div rot H = div j=0 ∫ rot H ⋅d f = ∫ j ⋅d f H= I 2 R rot H = j kann nur richtig sein, falls ̇ = 0 , da die Kontinuitätsgleichung gelten muss. ̇ div j = 0 stationäre Ströme Bemerkungen: ∮ H⋅ d r = const.⋅I A const. = 1 durch SI-Einheiten von [ H ]: m andere Einheiten: 1 A 4 = Orsted m 1000 Vs 4 B = µ H: = Tesla = 10 Gauss m2 98 4.2.2. Ring- und Zylinderspulen 1. Ringspule Gesucht ist das Magnetfeld in der Spule. Liegen die Windungen dicht, wird H in der Spule näherungsweise konstant. H ⋅d r = n I ∮ H= 2. Zylinderspule nI 2 R H ⋅d r = n I ∮ Näherungen: H homogen im Inneren (dichte Wicklung) H außen sehr klein (am Anfang + Ende der Spule falsch) nI l : Länge der Spule l verbiegen der Zylinderspule -> Ringspule l=2πR H= 99 4.2.3. Das Vektorpotenzial In der Magnetostatik gilt: rot H = 0 3 DGL zu lösen div B = 0 1 weitere DGL Die ersten 3 Gleichungen lassen sich durch einen Potenzialansatz lösen, H = - grad V V: skalares Potenzial allerdings nur wenn rot H = 0. Können wir irgendetwas von div B = 0 nutzen, das wegen seiner mathematischen Struktur immer Null ist? Einführung des Vektorpotenzials A, so dass div B = 0 immer erfüllt ist. Da aus der Vektoranalysis bekannt ist, das immer gilt div rot = 0, definieren wir das Vektorpotenzial als mathematische Hilfgröße: B = rot A: : A Vektorpotenzial 100 A ist dadurch nicht eindeutig bestimmt: ● Es kann immer ein konstanter Vektor addiert werden. ● ● rot grad ≡ 0 -> Zu A kann der Gradient einer beliebigen Funktion addiert werden. ●A' und A = A' + grad W(r,t) ● liefern das gleiche B-Feld ● W(r,t) kann so gewählt werden, dass zusätzliche Bedingungen (die Rechnungen erleichtern) erfüllt sind. Die von der Theorie vorhergesagten Wechselwirkungen ändern sich nicht, wenn eine bestimmte Größe lokal frei gewählt wird. Eine Größe an jedem Ort unabhängig festzulegen, kann man auch als Definition eines Maßstabes (einer Eichung) sehen. Der Mathematiker Hermann Weyl führte den Namen Eichinvarianz bzw. Eichsymmetrie für solche Theorien ein. In der Magnetostatik wird für gewöhnlich die Coulomb-Eichung benutzt, die den statischen Grenzfall der Lorenzeichung darstellt. Die Coulomb-Eichung (auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) stellt eine mögliche Einschränkung des Vektorpotenzials A(r, t) dar. div A = 0 101 Beweis: angenommen A' erfülle die Coulomb-Eichung nicht: div A' = c(r) ≠ 0 gesucht ist: A = A' + grad W(r,t), so dass die Coulomb-Eichung gilt div A = 0 div A = div A' + div grad W 0 = c(r) + ∆ W W als Lösung dieser Gleichung gewählt, so dass: div A = 0 Man kann immer ein A konstruieren, für das div A = 0 gilt. A' voraussetzen, div A' = 0 überprüfen Die Elektrodynamik ist eine eichinvariante Feldtheorie, d..h B hängt nicht von der Eichung ab. In der Elektrostatik ergibt U + const. dasselbe E wie U Ladungserhaltungssatz E. Noether - jede Invarianz <--> Erhaltungssatz Die Coulomb-Eichung legt nicht nur das Vektorpotenzial sondern auch das skalare Potenzial fest. Die Lösung für das skalare Potenzial U(r,t) entspricht im Falle der Coulomb-Eichung dem elektrostatischen Coulomb-Potenzial. Daher kommt der Name Coulomb-Eichung. ∂ A r , t E r ,t = −grad U r ,t − ∂t 102 Nach dem Ampere'schen Durchflutungsgesetz gilt rot H = j. Zusammen mit B = μ H, nutzen wir B = rot A als Ansatz. rot 1 rot A = j µ falls μ = const. rot rot A = j Es gilt ∆ = grad div – rot rot, da div A = 0 ∆A = - µ j in Coulomb-Eichung Ähnliche Gleichungen haben ähnliche Lösungen (siehe Poissongleichung): µ A r = 4 3 ∫ d r ' j r ' ∣r −r '∣ für eine gegebene Stromdichte j(r) folgt daraus A(r) und B = rot A. Die Gültigkeit von div A = 0 war hier vorausgesetzt, aber es gilt diese zu prüfen µ div A r = 4 j r ' ∫ d r ' div r ∣r −r '∣ 3 103 div ⋅ a = div a a ⋅grad div r j r ' 1 1 = div j r ' j⋅grad r ∣r − r '∣ ∣r − r '∣ ∣r − r '∣ 0 div A= grad r µ 1 d 3 r ' j ⋅grad r ∫ 4 ∣r − r '∣ 1 1 = −grad r ' ∣r −r '∣ ∣r −r '∣ µ 1 3 =− d r ' j r ' ⋅grad ∫ r ' 4 ∣r −r '∣ ∣r −r '∣= x− x ' 2 y− y ' 2 z− z ' 2 ∂∣r− r '∣−1 −1 = x− x ' ∂x ∣r− r '∣3 ∂∣r− r '∣−1 1 = x− x ' ∂ x' ∣r− r '∣3 div a = div a a⋅grad j r ' µ 1 µ 3 3 =+ r ' − ∫ d r ' ∣r −r '∣ div ∫ d r ' div r ' ∣r −r '∣ r ' j 4 4 0 wegen Gleichstrom j r ' µ div A r = − ∮ d f ⋅∣r −r '∣ = 0 4 Falls die Oberfläche „weit genug weg“ ist, so dass keine Ströme aus dem Unendlichen bzw. nach Unendlich durch die Oberfläche fließen. µ A r = 4 j r ' ∫ d r ' ∣r −r '∣ 3 104 4.2.4. Das Biot-Savart-Gesetz Dünner Draht Gesucht ist H(r) für einen dünnen stromdurch flossenen Draht µ A r = 4 d 3 r ' = d r ⋅d f j r ' ∫ d r ' ⋅∫ d f ∣r −r '∣ r' ändert sich nur infinitesimal über den Querschnitt des Drahtes, da dieser dünn sein soll. d.h. in Bezug auf das Flächenelement df , welches den Querschnitt integriert, ist 1 = const. ∣r −r '∣ Zerlegung µ A r = 4 = Jean-Baptiste Biot 21. April 1774 in Paris † 3. Februar 1862 in Paris µ 4 f j r ' d ∫ d r ' ∣r −1r '∣ ∫ I I ∫ d r ' ∣r − r '∣ 105 Da für einen Draht mit konstantem Durchmesser im Allgemeinen gilt, dass entlang des Drahtes I= const. ist: µI 1 A r = d r ' ∫ ∣r −r '∣ 4 B = rot A = µ H I d r ' H r = rotr ∫ ∣r −r '∣ 4 Es gilt: rot ⋅ a = rot a − a × grad , I H r = − 4 rot r d r ' = 0 1 ∣r − r '∣ ∫ d r ' × grad r − I H r = 4 r −r ' 3 ∣r −r '∣ ∫ d r ' × ∣rr−−rr'∣' 3 Ein Drahtstück dr' am Ort r' erzeugt ein Magnetfeld am Ort r d H r = I r −r ' d r ' × 4 ∣r −r '∣3 106 Da für einen Draht mit konstantem Durchmesser im Allgemeinen gilt, dass entlang des Drahtes I= const. ist: µI 1 A r = d r ' ∫ ∣r −r '∣ 4 B = rot A = µ H I d r ' H r = rotr ∫ ∣r −r '∣ 4 Es gilt: rot ⋅ a = rot a − a × grad , I H r = − 4 rot r d r ' = 0 1 ∣r − r '∣ ∫ d r ' × grad r − I H r = 4 r −r ' 3 ∣r −r '∣ ∫ d r ' × ∣rr−−rr'∣' 3 Ein Drahtstück dr' am Ort r' erzeugt ein Magnetfeld am Ort r d H r = I r −r ' d r ' × 4 ∣r −r '∣3 107 4.3. Kraftwirkungen zwischen Magnetfeldern und Strömen 4.3.1. Kraftwirkung eines Magnetfeldes auf ein Stromelement Die Rolle des Coulomb'schen Gesetzes der Elektrostatik übernimmt in der Magnetostatik das Ampere'sche Gesetz: Auf ein Strom durchflossenes Wegelement dr in einem Magnetfeld wirkt eine Kraft: ∣d F∣~ I ∣d F∣ ~∣d r∣ d F ⊥ d r d F r = I d r × B r Wechselwirkung zwischen zwei Strom führenden Leitern: C1 d r1 I1 r1 r12 r2 C2 d r2 I2 F= µ0 I 1 I 2 4 ∮∮ C 1 C2 d r1×d r2 × r12 ∣r12∣3 0 Kraftwirkung auf den Strom in einer Leiterschleife, durch das Magnetfeld, dass durch den 108 Strom in einer zweiten Leiterschleife erzeugt wird. Die durch den Strom I2 in der Schleife C2 erzeugte magnetische Induktion ist B2 r 1 = µ0 I2 4 ∮ C2 d r 2×r 12 ∣r 12∣3 Mit dem vom Strom I2 erzeugten B-Feld wechselwirkt der Strom I1 in der Leiterschleife C1 F 12 = I 1 ∮ d r1 × B2 r1 d r1 d f C1 3 F 12 = ∫ [ j r × B r ] d r F 12 = ∫ [ j r × B r ] d 3 r Kraft eines Magnetfeldes B auf eine beliebige Stromverteilung j. 109 Lorentzkraft eines Magnetfeldes auf eine bewegte Punktladung: Hendrik Antoon Lorentz * 18. Juli 1853 in Arnhem † 4. Februar 1928 in Haarlem Nobelpreis für Physik 1902 j = v = q 3 r − r0 v r0 :Ort der Ladung q F = ∫ d 3 r q 3 r − r0 v × B r = q v r0 × B r0 Gesamtkraft auf eine Ladung bei elektrischen und magnetischen Feldern F = q E q v × B ● ● Rechte-Hand-Regel Elektron bewegt sich auf Kreisbahn t ● ● ● ● ● ● ● Diese Kraft ist bedeutend für: alte Bildschirme (Monitor, Fernseher), Elektronenmikroskop Nachweis geladener Teilchen in Nebel- oder Blasenkammer (Q/m bestimmen) geladene Teilchen im Magnetfeld der Erde Elektromotor Betatron, Synchrotron (Beschleuniger) Kernfusion (Plasmafalle) 110 Wechselwirkung zwischen zwei Strom führenden Leitern µ0 I 1 I 2 F= 4 ∮∮ r1 d r1 × d r2× r12 r12 d r1 d r2 r2 ∣r12∣3 C1 C2 Das komplizierte doppelte Vektorprodukt lässt sich für manche Zwecke günstiger umschreiben. d r1 × d r2 × r12 = d r2 d r1⋅r12 − r12 d r1⋅d r2 r12 ∮ d r1⋅∣r ∣3 = −∮ d r1⋅grad ∣r1 ∣ = − ∫ d f ⋅rot grad r1 = 0 12 12 12 C C Fläche C 1 1 1 Der erste Term verschwindet im Ausdruck für die Kraft unter Nutzung des Stokes'schen Satzes und der Beziehung rot grad = 0. I1I2 4 F 12 = − F 21 F = −µ0 r12 ∮∮ d r1 ⋅ d r2 ∣r ∣3 C1 C2 12 Actio gleich reactio ist durch diesen Ausdruck für die Kraft erfüllt, da r12 das Vorzeichen ändert. 111 4.3.2 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern Gegeben seien zwei unendlich lange, parallele, gerade Drähte mit Abstand a, durch die die Ströme I1 und I2 fließen. Welche Kraft übt der Strom durchflossene Leiter C2 auf das Element dz1 des Leiters C1 aus? I1 a l1 r2 − r1 dz1 r1 r2 I2 dz2 c2 (z2-z1)êz ∞ I 1 I2 - r2 − r1 d F 12 = − µ0 dz ∫ dz 4 1 −∞ 2 ∣r1 − r2∣3 r2 − r1 = a ex z 2 −z 1 ez ∣r2− r1∣= a2 z 2 − z 1 2 0x z x Stromfluss im ∞ durch einen Halbkreis geschlossen. So weit weg, dass der Krafteinfluss vernachlässigt werden kann. 112 d F 12 = µ0 ∞ I 1 I2 dz 1 4 I1I2 = µ0 dz 1 4 ∫ dz [ a ex z 2 −z 1 ez 2 −∞ ∞ ∫ dz [ a 2 z 2− z 12 ] 3/2 ∞ a ex 2 −∞ [ a z 2− z 1 ] 2 2 3/2 ez ∫ z 2 − z1 dz 2 −∞ [ a z 2 − z 1 ] 2 2 3/2 ] ∞ I1I2 dz = µ0 dz 1 a ex 2 ∫ 2 2 3/2 4 0 a z ∞ I1I2 2z = µ0 dz 1 a ex 2 2 2 1 /2 4 a a z 0 I 1 I 2 ex = µ0 dz 2 a 1 ∣ Die von den geraden Leitern aufeinander ausgeübte Kraft ist senkrecht zu beiden Stromrichtungen. Sie ist anziehend, falls die Ströme die gleiche Richtung haben. F 12 = µ0 I1 I2 z e x 2a SI: a = 1 m, I1 = I2 = I I beträgt gerade 1 A, wenn dadurch auf einen 1 m langen Leiterabschnitt eine Kraft von 2 * 10-7 N ausgeübt wird. 113 4.3.3. magnetostatische Energien W mag = ∫ d 3 r m r = = 1 2 1 2 1 H ⋅ B = ∫ d 3 r ( H ⋅rot A) ∫ d 3 r 2 1 3 H ∫ d r div A× H ∫ d 3 r A⋅rot 2 div A× H= H ⋅rot A− A ⋅rot H µ A r = 4 r∞ H = ∮ d f ⋅ A× H 0 ∫ d 3 r div A × ~r 2 ~ 1 r ~ jr ' ∫ d 3 r ' ∣r − r '∣ 1 r2 da rot H = j Wm= 1 2 3 d ∫ r j r , t ⋅ A r , t elektrostatische Analogie: W el = 1 2 ∫ d r r U r 3 114 Damit erhalten wir durch Einsetzen von A (r): j r ' , t 1 µ 3 3 W m = ∫ d r j r , t⋅ ∫ d r ' ∣r −r '∣ 2 4 j r , t ⋅ j r ' , t µ 3 3 = ∫ d r ∫ d r ' ∣r − r '∣ 8 Die magnetostatische Energie ist durch die Wechselwirkung zwischen den Stromdichten bestimmt. Dieser Ausdruck ähnelt sehr stark dem Ergebnis für elektrostatische Energien, der die Wechselwirkung zwischen den Ladungsverteilungen beschrieben hat. W el = 1 8 ∬ d 3 r d 3 r ' r r ' ∣r −r '∣ 115 5. Die Maxwell'schen Gleichungen 5.1. Der Verschiebungsstrom rot E =0 rot H = j bisher: div D= div B=0 Die Kontinuitätsgleichung (Ladungserhaltung) fordert: ̇ div j = 0 Wenn aber da rot H = j dann muss gelten ̇ = 0 , div rot H = div j . 0 Es fehlt offensichtlich ein Term, der diesen Widerspruch korrigiert. 116 rot H = j ̇D Postulat: div rot H = div j div ̇D = 0 div j ̇ = 0 Bedeutung: ̇D ̇D = 0 ̇ĖP erzeugt ein Magnetfeld = Verschiebungsstromdichte rot H = Stromdichte + Verschiebungsstromdichte d P : wird durch Ladungsträgerbewegung verursacht, dt d E : ist ein neuer Effekt (wesentlich für Wechselstrom). dt 117 5.2. Das Faraday'sche Induktionsgesetz Magnet wird an Spule heran bewegt -> Induktion einer Spannung = ∫ B ⋅d f Fläche der Ringspule d =∮ E ⋅d r dt Änderung des Flusses erzeugt elektrisches Feld Richtung von E ist durch die Lenz'sche Regel (entgegen der Ursache) gegeben. j=σE da eine Spannung in einem Leiter einen Strom verursacht j erzeugt Magnetfeld Hs Hs und HM sind entgegengesetzt gerichtet ―> Abstoßung 118 Um Strom zu erzeugen, muss Arbeit geleistet werden. ∮ ⃗E ⋅d ⃗r ist positiv (festgelegt durch Skizze) d d Φ = ∫⃗ B ⋅d ⃗f negativ dt dt d ∂⃗ B ⃗ ⃗ B ⋅d f = ∫ ⋅d ⃗f + ∫ ( ⃗ B×⃗v )⋅d ⃗f ∫ dt ∂t Für eine mit v bewegte Leiterschleife wird aber nur die Spannung im mitbewegten System gemessen, so dass Faraday`sches Induktionsgesetz dϕ ∂ ⃗B ⃗ ∮ E ⋅d ⃗r = d t = − ∫ ∂ t ⋅d ⃗f 22. September 1791 Newington Butts † 25. August 1867 bei Hampton Court Ui =∮ E ⋅ d r = induzierte Spannung hat anderes Vorzeichen als früher r2 U r1 − U r2 = −∫ E ⋅ d r r1 Grund: Induzierter Strom verursacht Spannung früher: Spannung verursacht Strom 119 Vielen Dank an Michael Lenz, TU Dresden für die Hinweise zur Integralform des Induktionsgesetzes. Anwendung des Stokes'schen Satzes ⃗ ∂B ⃗ ⃗ ⃗ ∮ E ⋅d ⃗r = ∫ rot E ⋅d f = − ∫ ∂ t ⋅d ⃗f ∂⃗ B ⃗ rot E = − ∂t Zeitliche Änderungen von B verursachen einen Wirbel von E, aber auch die Fläche kann zeitlich veränderlich sein. Für kleine Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ergibt sich als Flussregel: d ⃗ ⃗ E ⋅d r ≈ B ⋅d ⃗f ⃗ ∮ ∫ dt (Generator) Stromerzeugung (Dynamo, Generator) 1866/7 technische Realisierung durch Siemens Ernst Werner von Siemens 13. Dezember 1816 in Lenthe bei Hannover; † 6. Dezember 1892 in Berlin 120 5.3. Das System der Maxwell'schen Gleichungen rot H = j ̇ D div D= rot E = − ̇ B div B=0 Achtung: Den Inhalt dieser Seite sollten Sie zur Prüfung wissen. Er ist absolut notwendig (aber nicht hinreichend). Statik: alle Zeitableitungen Null, j = 0 Stationäre Ströme: alle Zeitableitungen Null, j ≠ 0 Materialgleichungen: D = 0 E P E B = µ0 H M H j = j E Näherungen D = E B = µ H j = E Kontinuitäts-Gleichung folgt direkt aus den Maxwell'schen Gleichungen: rot H = j ̇ D ̇ div j = 0 Kraft: Lorentz-Kraft F = q E q v × B 121 ● Die Maxwell'schen Gleichungen wurden zwischen 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. Sie beschreiben in einer geschlossenen Form die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme, sowie deren Wechselwirkung und bilden die theoretische Grundlage der Elektrodynamik und der Elektrotechnik. ● Die Maxwell'schen Gleichungen beinhalten: ● ● das Ampère'sche Gesetz, das Faraday'sche Gesetz, das Gauß'sche Gesetz Das Zusammenfassen dieser Gesetze in eine einheitliche Theorie und die Erkenntnis der Notwendigkeit des Maxwell'schen Verschiebungsstromes aus theoretischen Überlegungen stellt eine der herausragendsten Leistungen dar. 1931, zum hundertsten Jahrestag von Maxwells Geburt, beschrieb Einstein das Werk Maxwells als „das Tiefste und Fruchtbarste, das die Physik seit Newton entdeckt hat“. James Clerk Maxwell 13. Juni 1831 in Edinburgh † 5. November 1879 in Cambridge 122 5.4. Energie(erhaltungs)satz Maxwell'sche Gleichungen rot H = j ̇D rot E = − ̇B ∣ ⋅E Skalarprodukt ∣ ⋅ H Subtraktion der Gleichungen E ⋅rot H − H ⋅rot E = j⋅ E E ⋅̇ D H ⋅̇ B Es gilt: −div ( ⃗ E× ⃗ H)=⃗ E⋅rot ⃗ H −⃗ H⋅rot ⃗ E ˙ +⃗ −div ( ⃗ E× ⃗ H ) = ⃗j ⋅ ⃗ E+ ⃗ E⋅⃗ D H ⋅⃗ B˙ Falls D = ε E und B = µ H (falls nicht: siehe Landau/Lifschitz: Elektrodynamik der Kontinua VIII) 123 ν = Quellen oder Senken der elektromagnetischen Feldenergie −div E × H = E ⋅̇ E µ H ⋅̇ H da d H ⋅ H = ̇ H ⋅ H H ⋅̇ H = 2 H ⋅̇ H dt −div E × H= 2 1 = 2 d E⋅ E µ dt 2 d E⋅D 1 dt 2 d H ⋅H dt d H ⋅B dt elektromagnetische Energiedichte: w = w el w mag = 1 1 E ⋅D H ⋅ B 2 2 ẇ div E × H = − Energiesatz der Elektrodynamik 124 Definition: Poynting-Vektor S = E × H John Henry Poynting 9. September 1852 in Monton † 30. März 1914 in Birmingham Für Nichtleiter σ = 0 -> ν = 0 ẇ div S = 0 Energieerhaltungssatz Die Energiedichte kann sich nur ändern, wenn ein Energiestromes fließt. —> Poynting-Vektor = Energiestromdichte in Richtung des Energieflusses In isotropen optischen Medien ist der Poynting-Vektor parallel zum Wellenvektor. In anisotropen optischen Medien, zum Beispiel in doppelbrechenden Kristallen, gilt dies im allgemeinen nicht. (Der Poynting-Vektor beschreibt 3 der 10 unabhängigen Komponenten des EnergieImpuls-Tensors des elektromagnetischen Feldes in der Relativitätstheorie.) ν ≠ 0 Elektromagnetische Energie kann in z.B. Wärme umgewandelt werden Damit existiert kein Erhaltungssatz für elektromagnetische Energie. 125 5.5. Die Wellengleichung ● ● ● ● ● Radiowellen -> Licht -> Röntgen -> Gamma-Strahlung sind elektromagnetische Wellen Voraussetzungen für die Herleitung der Wellengleichung: µ, ε sind zeitliche und räumliche skalare Konstanten ρ = 0 keine freien Ladungen σ = 0 keine Leiter (nicht leitfähig) aus Maxwell: D = E, B = µ H rot H = ̇ E rot E = −µ ̇ H div E =0 div H =0 - eine der Gleichungen mit rot nehmen und rot rot bilden rot rot E = − µ rot ̇ H = −µ ̈ E E = grad div E − rot rot E 0 2 2 ∂ E 1 ∂ E E = µ 2 = 2 ∂t c ∂ t2 Lichtgeschwindigkeit 1 = µ in Medien mit ε, µ} 2 c 1 = 0 µ0 Vakuum c 2 c Wellengleichung 126 2 2 ∂ E 1 ∂ E E = µ 2 = 2 ∂t c ∂ t2 Lösung einer linearen, partiellen Differenzialgleichung; allgemeine Lösung ist eine ebene Welle E r ,t = E 0 e i k⋅r − t E0 selbst kann komplex sein: Re E : physikalisch sinnvoll E 0x = ∣E 0x ∣⋅e i , x E 0y = ∣E 0y∣⋅e i , y E 0z = ∣E 0z ∣⋅e i z ∣E 0x ∣= Re E 0x 2 Im E 0x 2 Damit gilt ausführlich Re E E x r , t = ∣E 0x∣cos k⋅r −t x E y r ,t =∣E 0y∣cos k⋅r − t y E z r , t = ∣E 0z∣cos k⋅r − t z 127 Überprüfen unseres Lösungsansatzes: ∂ E = −i E ∂t E= E 0 ei k⋅r − t ∂ E = i k x E ∂x ∇⋅ E =i k⋅ E 2 2 E = ∇ E = − k E Damit folgt für unsere Wellengleichung E= 1 −k 2 E = 2 - 2 E c 2 k 2 − E=0 2 c 2 k = 2 c 2 1 ̈ E 2 c Wir suchen eine nicht triviale Lösung mit E ≠ 0 = c∣k∣ für beliebige Vektoren k , E0 128 Bedeutung von ω: z. B. x-Komponente Re E x E x r , t = ∣E 0x∣cos k⋅r −t x Der Kosinus ist eine periodische Funktion, die Periode ist τ: 1 f = = 2 Kreisfrequenz ω: Frequenz 2 = = 2 f Bedeutung von k: Wir wählen ein k = k x , 0 , 0 cosk x x − t x Die Wellenlänge λ ergibt sich aus kx λ = 2 π kx = 2 falls k in x-Richtung 129 Allgemein gilt: 2 ∣k∣= k = = c k ⇒ 2 f = c 2 f =c Ebene Wellen E= E 0 ei k⋅r− t Warum wird die obige Lösung ebene Welle genannt? Für konstante Zeit t: k gegeben k⋅r = const. 1 lineare Gleichung für x, y, z Ebenengleichung k ist ein konstanter Vektor auf der Ebene, der in e = k Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt. 130 t = beliebig: E ist konstant auf einer Ebene, die sich mit Geschwindigkeit c in Richtung k bewegt. k⋅r = k⋅r0 = t da r0 ∥ k k r 0 = t r0 = t = ct k unendlich ausgedehnter Lichtstrahl Eine ebene Welle ist eine Welle, deren Wellenfronten Ebenen konstanter Amplitude sind,die sich geradlinig ausbreiten. 131 Allgemeine Lösung: Durch Überlagerung von ebenen Wellen lassen sich beliebige andere Wellen darstellen. Die Superposition ist möglich, da die Maxwell'schen Gleichungen lineare DGL sind, so dass die Summe von Lösungen wieder eine Lösung ist. E r ,t = ∫ E 0 k e i k⋅r − t d 3 k E0(k) ist die Amplitude, welche von Richtung und Frequenz abhängen kann. Welchen Charakter (transversal oder longitudinal) haben die Wellen? Es gilt immer noch ε = skalar = const. und ρ = 0. =0 div E = ∇⋅ E =i k⋅E k⋅E = 0 E ⊥ zur Ausbreitungsrichtung Ebene Wellen sind transversale Wellen, das elektrische Feld schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. 132 Bemerkungen ● ● ● Röntgen hielt seine Strahlen noch für longitudinales Licht. Falls ε ein Tensor k E = 0 i. Allg. k nicht senkrecht zu E anisotropes Medium (nicht kubischer Einkristall) Wellen haben longitudinale Anteile —> Doppelbrechung ρ ≠ 0 (z. B. Ionosphäre) div E= i k⋅E = --> longitudinale Schwingungen --> „Plasma-Schwingungen“ Wilhelm Conrad Röntgen 27. März 1845 in Lennep (heute Stadtteil von Remscheid) † 10. Februar 1923 in München Nobelpreis Physik 1901 Wellen werden charakterisiert durch: x y z ● Amplituden: |E |, |E |, |E | 0 0 0 ● ● ● E⋅ k = ,0 Nur zwei sind unabhängig, da in Ausbreitungsrichtung ist die Amplitude Null. Wellenlänge λ und Frequenz f 2 Phasen Polarisation (linear, zirkular, elliptisch) 133 Polarisation elektromagnetischer Wellen a) linear polarisiert mit k || z E0y y E0 x x E x r , t = ∣E 0x∣cos k⋅r −t x E y r ,t =∣E 0y∣cos k⋅r − t y Phasen αx = αy E = E 0x ex E 0y ey E x =∣E 0x∣cos k⋅r −t E y =∣E 0y∣cos k⋅r − t = ∣E 0x∣ex ∣E 0y∣ey cos k⋅r− t E orts- und zeitunabhängig feste Richtung von E (Polarisations-Richtung) y tan = ∣E 0∣ ∣E 0x∣ 134 b) zirkular (Phasen αx – αy = ± π/2) x y ∣E 0∣=∣E 0∣= E E = E cos k x− t e x ∓sin k z −t für fester Raumpunkt = Parameter-Darstellung = k aus Eheu 2 =− Kreis 2 x Blickrichtung im pos. z E-Vektor durchläuft einen Kreis vom Radius E mit Winkelgeschwindigkeit ω in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung c) elliptisch: beliebige Phasendifferenz, x z k x ∣E 0∣ ≠ ∣E 0∣ 135 Wie sieht das H-Feld aus? =−µ ̇ rot E H = ̇ rot H E = rot ̇ rot rot H E=−µ ̈ H =grad div − H rot rot H H 0 2 1 ∂2 H ∂ H H =µ = 2 2 ∂t c ∂ t2 mit der ebenen Welle als Lösung r ,t = H 0 e i k⋅r − t H =0 wegen div H =0 k⋅H mit =c∣k∣ ⊥ k H Ausbreitungsrichtung Zusammenhang zwischen E und H: =i µ H i k × E =−µ ̇ rot E H = 1 k× E H µ ⇒ ⊥ k und H ⊥E H 136 Für den Betrag von |H| gilt damit: k∣∣E∣ ∣ µ ∣ ∣E ∣ E∣ ∣ ∣H∣= = = = ∣E µ µ µ µ c Für die Energiestromdichte erhalten wir: k × E 1 S=E×H =E× = E × k × E µ µ = − C Es gilt: A × B×C B A⋅C A⋅B 2 heisst hier Re E ⋅Re E E 1 2 k 2 k 2= 1 E 2 e S= [ k E − E k⋅E ]= E = e E µ µ µ cµ 0 µ µ 2 D=E E⋅ D= H H =µ H =H B= H⋅ B 1 1 ⇒ w el =w mag = w w= E ⋅D H⋅B 2 2 1 = e c w S = e E⋅D = e c E⋅D µ c Elektromagnetische Energie strömt mit Lichtgeschwindigkeit in Ausbreitungsrichtung der Welle. 137 Definition: Brechungsindex n c vak 1 1 1 c= = = r r 0 0 n n= r r Der Brechungsindex n ist das Verhältnis zwischen der Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum und seiner Geschwindigkeit c im jeweiligen Medium. Meta-materialien = Material mit negativem Brechungindex 1964 sagte der sowjetische Physiker Victor Veselago die Existenz von Materialien mit negativen Brechzahlen voraus. Würde die Herstellung eines solchen Materials gelingen, könnte man damit Linsen herstellen, deren Auflösungsvermögen weit besser wäre als das von Linsen aus gewöhnlichen optischen Werkstoffen. Forschern um Srinivas Sridhar von der Northeastern University in Boston gelang es, einen Verbundwerkstoff herzustellen, der ein feines Gitter aus Metalldrähten enthält, das für Mikrowellen eine negative Brechzahl zeigt. Im Oktober 2003 hat eine Gruppe um Yong Zhang in Colorado entdeckt, dass Kristalle aus einer Legierung von Yttrium, Vanadium und Sauerstoff eine negative Brechzahl für Lichtwellen eines großen Frequenzbereichs aufweisen. Der Kristall besteht aus zwei ineinander geschachtelten Kristallgittern mit symmetrischen optischen Achsen. Die negative Lichtbrechung tritt aber nur in einem gewissen Winkelbereich des Einfallswinkels auf. 138 Eigenschaften von normalen und negativ brechenden Medien Ein halb in Wasser getauchter Bleistift erscheint geknickt, weil der Brechungsindex von Wasser höher ist als der von Luft. Wenn Licht von einem Medium mit niedrigem Brechungsindex n in eines mit höherem Index übergeht, wird es zur Normalen hin gebrochen. Ein Objekt, das sich in einem Medium mit positivem Index vom Beobachter entfernt, erscheint infolge des Doppler-Effektes röter. In einem negativ brechenden Medium wird der Bleistift scheinbar komplett aus dem Medium heraus geknickt. Wenn Licht von einem Medium mit positivem Brechungsindex in eines mit negativem Index übergeht, wird es komplett zurück zu derselben Seite der Normalen gebrochen. In einem Medium mit negativem Index erscheint ein sich entfernendes Objekt blauer. 139 Ein geladenes Objekt, das sich in einem positiv brechenden Medium schneller als die darin geltende Lichtgeschwindigkeit bewegt, erzeugt einen Kegel aus Cerenkov-Strahlung in Vorwärtsrichtung. In einem negativ brechenden Medium weist der Kegel rückwärts. In einem Medium mit positivem Index wandern die Berge und Täler eines elektromagnetischen Pulses in dieselbe Richtung wie der gesamte Puls und die Energie. In einem negativ brechenden Medium wandern die Einzelschwingungen entgegengesetzt zum Gesamtpuls und zur Energie. 140 normales Material Ein elektrisches Feld (grün) erzeugt eine geradlinige Bewegung der Elektronen (rot). Ein Magnetfeld (violette Pfeile) induziert eine kreisförmige Bewegung der Elektronen. Metamaterial Realisierung eines Metamaterial Geradlinige Ströme (rote Pfeile) fließen in parallel angeordneten Drähten Kreisförmige Ströme fließen in Spaltringresonatoren; diese können auch quadratisch sein. Die Drähte und Resonatoren müssen kleiner als die Wellenlänge der elektromagnetischen Strahlung sein. 141 Anwendungen von Materialien mit negativem Brechnungsindex Superlinse Eine rechteckige Platte aus Material mit negativem Brechungsindex wirkt als Superlinse. Das von dem Objekt (links) ausgehende Licht (blaue Linien) wird an der Oberfläche der Linse gebrochen und vereinigt sich innerhalb der Platte zu einem spiegelverkehrten Bild. Beim Austritt aus der Platte wird das Licht erneut gebrochen und erzeugt ein zweites Bild (rechts). Bei einigen Metamaterialien enthält das Bild sogar Details, die kleiner sind als die verwendete Wellenlänge. Tarnkappe (für Mikrowellen) Vor kurzem gelang die Realisierung einer (2D) Tarnkappe für Mikrowellen. Das Objekt ist für MW einer bestimmten Frequenz unsichtbar. Ähnliches wurde auch schon für rotes Licht durch ein gitterartiges Material aus Silber erreicht, das mit Löchern von 100 nm einen Brechungsindex von -0,6 bei 780 nm Wellenlänge besitzt. „Metamaterial Electromagnetic Cloak at Microwave Frequencies“, D. Schurig et al., Science (2006): 314, 977 - 980 142 Ändert sich beim Durchgang zu einem anderen Medium die Wellenlänge λ oder die Frequenz f? Die Frequenz bleibt konstant, da E ~ eiωt. Um die Randbedingungen für alle Zeiten t zu erfüllen, muss deswegen gelten ωinnen = ωaußen. --> λ ändert sich, da w=ck gilt erhalten wir c vak k vak =c k (im Stoff z.B. Glas) k =n k vak vak = Wellenlänge wird kürzer, n > 1 n 143 Der Wellenwiderstand charakterisiert, wie sich eine Welle in einem Medium fortpflanzt. Bildlich entspricht dies der Härte oder Weichheit, die das Medium der sich ausbreitenden Welle entgegensetzt. E µ = H µ Z 0= 0 =377 0 Def. Wellenwiderstand: Z = Vakuum: Aus dem Zusammenhang zwischen E und H erhalten wir: k × E = µ H k E= µ H E µ µ µ = = µ c= = H k µ Widerstandstypen: ● Ohmscher Widerstand ● Wechselstromwiderstände (Kapazitäten, Induktivitäten, Impedanz) ● Wellenwiderstand bei Hohlleitern (wichtig für Anpassung damit es nicht zu Reflexionen kommt, z.B. Netzwerke 50 Ω) 144 5.6. Wellen in Materie (mit Absorption): Telegrafengleichung Bisher hatten wir ebene Wellen als Lösung der Wellengleichung. E= E0 e i k⋅r − t x E x =E 0 cos k⋅r − t x Da die Energiedichte proportional zum Quadrat der elektrischen Feldstärke ist, muss sich die Amplitude ändern, wenn Absorption auftritt. Welche Voraussetzung bei der Herleitung der Wellengleichung ändert sich in Materie? ● ● ● µ, ε konstante Skalare ρ = 0 auch erfüllt σ = 0 ist nicht erfüllt. Wichtig ist die Frequenzabhängigkeit, entscheidend ist die Leitfähigkeit bei der Frequenz der sich ausbreitenden Welle, so kann σ(ω=0) = 0, aber σ(ωLicht) ≠ 0. =−̇ rot E B = E ̇ rot H E =−µ rot ̇ rot rot E H =−µ ̇ E ̈ E da rot rot=grad div− 2 1 ∂ E ∂E E= 2 µ 2 ∂t c ∂t Telegrafen-Gleichung 145 2 1 ∂ E ∂E E= 2 µ 2 ∂t c ∂t Analogie aus der Mechanik: Die erste Zeitableitung gibt eine Geschwindigkeit, Reibungskräfte sind proportional zur Geschwindigkeit. Reibung = Dämpfung einer Bewegung ∂E Absorption ∂t Die Telegrafengleichung ist nicht mehr Zeit invariant, d.h. die Symmetrie (t -> – t) ist zerstört. Absorption ist ein irreversibler Prozess. Die Lösung der Telegrafengleichung wird wieder durch einen ebenen Wellen Ansatz gesucht. r , t = E0 e i k⋅r − t E ∂E ∂ E ~ −i E ~ i kx E ∂t ∂x −k 2 E E Einsetzen des Ansatzes gibt eine Bedingung, wann der Ansatz eine Lösung ist: 2 =− −k E E−i µ E 2 c 2 146 Nur die nicht triviale Lösung mit E ≠ 0 ist von Interesse: 2 2 k = 2 i µ c 2 k = 2 i µ=i c Damit erhalten wir rein formal einen komplexen Wellenvektor k. Anstatt eines komplexen k, führen wir einen komplexen Brechungsindex ñ ein. k = k vak n n =ni Um die Ausbreitungrichtung der Welle zu bezeichnen führen wir einen Einheitsvektor e in Ausbreitungsrichtung ein. i e⋅r k E = E0 e vak n − t −e⋅r k = E0 e vak e i e⋅r k vak n− t Amplitude Die Amplitude nimmt exponentiell mit der Ausbreitung (wachsendes r) ab. Die Absorption bewirkt also eine gedämpfte Schwingung. 147 Die Ursache der Dämpfung liegt in der Leitfähigkeit. ≠0 j= E v= j⋅E. Es fließt ein Strom bei bei der Frequenz der elektromagnetischen Welle. Der Stromfluss ist immer mit Joule'scher Wärme verbunden. Die Umwandlung von elektromagnetischer Energie in Wärme zeigt sich in der exponentiell kleiner werdenden Amplitude der Schwingung. Der Imaginärteil des komplexen Brechungsindex steht für die Absorption (kvakκ) und kann als Absorptionskoeffizient α interpretiert werden. (Im Allgemeinen ist der Absorptionskoeffizient = 2 kvakκ, da die Intensität proportional zum Betrag des Poyntingvektors |S| ist.) Wenn ein Material bestimmte Frequenzen absorbiert, ist es in diesem Bereich immer leitfähig für einen Wechselstrom mit diesen Frequenzen. z.B. Glasfilter: grünes Glas - absorbiert rotes Licht und ist in diesem Frequenzbereich auch leitfähig. 148 Die Absorption ist also direkt mit dem komplexen Brechungindex verbunden. Dieser kann auch direkt aus der Dielektrizitätskonstante abgeleitet werden. Damit wird die elektromagnetische Wechselwirkung direkt mit einer Materialeigenschaft in Beziehung gesetzt. n = 2 µ2r 1 r µr 2r µ2r 2 2 2 0 für 0 n r µr 2 µ2r 1 2 2 = − r µr r µr 2 2 2 0 für 0 ● ● ● =0 Wurzel einer komplexen Zahl ist mehrdeutig, gewählt wird die Lösung für die σ = 0 für ω -> 0 ist. n(ω) heißt Dispersion, starke Abhängigkeit von σ(ω), ε(ω) und eventuell µr(ω). 149 Historisches: Warum eigentlich Telegrafengleichung? Wilhelm Weber und Carl Friedrich Gauß führten 1833 Versuche mit einem elektromagnetischen Telegrafen durch. Im selben Jahr gelang ihnen die erste telegrafische Nachrichtenübertragung vom Physikgebäude in der Göttinger Innenstadt zur Göttinger Sternwarte. Zur Nachrichtenübertragung dienen positive oder negative Spannungspulse, die durch gezieltes Umpolen und Auf- und Abbewegen einer Induktionsspule erzeugt werden. Der entscheidende Durchbruch kam 1837 mit dem von Samuel Morse konstruierten und 1844 verbesserten Schreibtelegrafen. Mit der Verlegung von Seekabeln wurde 1839 begonnen. Nach mehreren Fehlschlägen wurde die erste Verbindung zwischen Europa und Nordamerika 1857/58 eingerichtet. Wilhelm Weber 24. Oktober 1804 in Wittenberg † 23. Juni 1891 in Göttingen Johann Carl Friedrich Gauß 30. April 1777 in Braunschweig † 23. Februar 1855 in Göttingen Samuel Finley Breese Morse 27. April 1791 in Charlestown † 2. April 1872 in New York 150 5.7. Strahlung eines schwingenden Dipoles Ebene Wellen kommen aus ∞ und gehen nach ∞. Was ist ihre Ursache? Wie entstehen elektromagnetische Wellen? Es sind Quellen notwendig: Antenne, Lichtquelle Für Quellen gilt: ̇≠0 wegen ̇div j=0 j≠0 Die Quelle soll sich in Koordinatenursprung bei r = 0 befinden. Außerdem soll wie bisher gelten: = ̇ rot H E =0 div H =−µ ̇ rot E H =0 div E Damit gilt die Wellengleichung ohne Absorption. und H Hertz hat einen Trick gefunden, wie man eine Lösung für E findet, um dann auf ̇ und j im Ursprung zurück zuschließen (Insofern genial, da andere Wege meist nur auf die Fernfelder weit weg von der Antenne kommen.) 151 Heinrich Rudolf Hertz 22. Februar 1857 in Hamburg † 1. Januar 1894 in Bonn Hertzscher Hilfsvektor Z : r ≠0 : =rot ̇Z H rot rot ̇Z = ̇E = 1 rot rot Z zeitlich konstantes Feld E Annahme: für eine ungeladene Antenne (ρ = 0) sei das zeitlich konstantes Feld ≡ 0 = 1 rot rot Z = 1 [grad div Z − E Z] Aus den Maxwell'schen Gleichungen und dem Hertz'schen Hilfsvektor erhalten wir: ̇ = − rot ̈ rot E = − H Z = rot −µ ̈ Z grad =−µ ̈ E Z grad mit beliebigem φ, da rot grad φ ≡ 0. 1 1 grad div Z − Z =− ̈ Z grad 152 nun wird φ so gewählt, dass gilt 1 grad div Z =grad 1 = µ ̈ Z Z = 2 ̈ Z c Man löse nun diese Gleichung für Z und berechne H und E aus 1 =−µ ̈ E Z grad div Z =rot ̇ H Z Eine Lösung wäre natürlich: = Z0 e i k⋅r − t , Z aber diese Lösung erlaubt keinen Rückschluss auf j in der Quelle. r ,t = Z0 e Z Kugelwellen als Ansatz von Hertz: i t−k r r Kugelwellen sind Lösung, falls ω = ck. Die Amplitude von Z (nicht E oder H) ist konstant, falls t=k r r = =c t k Die Amplitude ist konstant auf einer Kugel, deren Radius mit Lichtgeschwindigkeit wächst. 153 Beweis: In Kugelkoordinaten gilt: ∂2 2 ∂ = 2 Winkelableitungen ∂r r ∂r Die Winkelableitungen spielen keine Rolle, da unser Ansatz Z nicht von Winkeln abhängt. r ,t = Z0 e Z [ ∂ Z =− 1 Z 1 −ik Z 0 ei t− kr =− 1 ik Z ∂r r r r 1 1 ∂2 Z = 1 ik 1 ik Z ik Z r r r ∂r2 r2 2 1 1 2 1 ik = ⇒ Z= 2 Z Z− ik Z r r r r Damit erhalten wir: ] i t−k r r 2 = 1 Z 1 ik Z Z 2 r r 1 2 1 1 2 = 1 ik − ik Z Z ik Z − Z =−k 2 Z 2 2 r r r r r 2 =−k Z Z 2 1 ̈ − Z= 2 Z 2 c c Z= 1 ̈ Z ist erfüllt, falls =ck 2 c 154 Berechnung von H: Es gilt: =rot ̇ H Z =i rot Z r ,t = Z0 e Z rot V = rot V −V ×grad [ = −i Z0×grad 1 e i t−k r = −i Z0 × −r e i t −kr 1 grad e i t −kr H r r r3 Für den Term mit grad ei(ω t - k r) gilt: r ] r= x 2 y 2 z 2 2 2 2 ∂ e i t−k r =e i t−k r −ik ∂ x y z =−ik e i t−k r 1 ∂x ∂x 2 grad e i t−k r i t −k r 2x −ik i t −k r = e x 2 2 2 x y z r ~r Damit erhalten wir für das Magnetfeld: [ ] =i 0 Z0 × r i k r e i t −k r =i 0 Z0 × r i r r 2 e i t−k r H 3 2 3 3 r r r r [ ] Erstes Glied wichtig für r < λ: Nahfeld, Nahzone Zweites Glied wichtig für r > λ: Fernfeld, Fernzone 155 1. Nahzone: Um auf j in der Antenne zu schließen: und nur erstes Glied für H: r0 e −ikr −i =e 2 r 0 ≈e ≈1 =i Z0 × r e i t H r3 wenn wir ein harmonisch veränderliches Z0 einführen it Z0 t = Z0 e r =i Z0 t × r = ̇ H Z t × 0 r3 r3 =2 c / Nahzone ist nicht nur r < λ, sondern auch ω -> 0, da , d.h. wir suchen eine Lösung für niederfrequente Wechselströme, die obiges H liefern. Erinnerung: Biot-Savart: Drahtstück dr' bei r' = 0 erzeugt ein Magnetfeld bei r. r = I d r ' × r dH 4 r3 (sieht überraschend ähnlich aus!) 156 Jetzt kommen wir endlich zu einem Dipol: Q −Q d r ' mit Qt =Q 0 e p =Q d r ' i t i t p t =Q d r ' =Q 0 e d r ' Ursache für zeitlich veränderliche Ladung in einem Volumen ist ein Strom der fließt Id r ' =Q̇ d r ' =̇p t Unsere Lösung entspricht einer mit Wechselstrom gespeisten Dipolantenne, falls ̇pt p ̇ Z 0 t = bzw. Z0= 4 4 Insgesamt gilt für das H-Feld: =i H p0 r ik r ik i t −kr i × 3 2 r e = p0 ei t −kr × 3 2 r 4 4 r r r r p t = p0 e [ it p0 e ] i t −kr [ [ = p0 e = p t− kr = p t− r i t− kr [ c = i p t− r × r ik r = 1 ̇p t− r × r ik r H 3 2 3 2 c c 4 4 r r r r ] ] ] 157 2. Fernzone: 1 1 ik =i ~ ∂ c ∂t c nur zweites Glied r ,t = ik ̇pt− r × r = 1 ̈pt− r × r H c c 4 r 2 4 c r2 H(t) wird verursacht durch einen Strom zu einem früheren Zeitpunkt Differenz zeigt Kausalität der Wellenausbreitung mit c. Berechnung von E: t− r Die c 1 ̈ E=−µ Z grad div Z p Z = 0 1 e i t−kr 4 r Als Übung für Ableitungen sehr zu empfehlen :-) 158 Als Lösung erhält man: [ ] =µ 2 Z − 1 p0 1 ik e i t−kr E 4 r3 r2 1 r r i t−kr − p ⋅ r −3 −2 ik e 0 3 4 4 r r 1 1 ik ik r i t−kr − p ⋅ r − e 0 3 2 4 r r r [ [ ] ] Verschiedene Zonen: Fernzone: Mittelzone: Nahzone: (für H war die Nahzone ~ d = Größe der Quelle 2 2 2 1 k 1 ~ ~ r r r k 2 1 ~ ~ r2 r2 r2 1 ~ 3 r d ≪≪r d ≪r~ d ≪r ≪ 1 1 ~ und Fernzone ) 2 r r 159 Im folgenden Teil wird nur die Fernzone diskutiert (Nah- und Mittelzone sind allerdings wichtig für Geophysik oder Nahfeldmikroskopie) 1 p0⋅r r 2 i t−kr 2 E r ,t =µ Z − k e 3 4 r mit 2 2 2 k = 2 = µ c p0 e i t−kr Z = 4 r 2 µ i t−kr p0 r⋅r p0⋅r r E r ,t = e − 3 3 4 r r [ Es gilt: ] r × p0×r = p0 r⋅r −r r⋅ p 0 2 µ 1 r , t= E e i t−kr 3 [ r × p0 ×r ] 4 r 160 Wie früher gilt: r i t− r it−kr c p t = p0 e p t− = p0 e = p0 e c r r 2 ̈pt− =− p t− c c it Als Ergebnis für die Fernzone erhalten wir: r ,t = 1 ̈p t − r × r H 4 c c r2 r , t= 1 r × r × ̈p t − r E 4 r3 c Für elektromagnetische Wellen haben wir bereits einen Zusammenhang zwischen E und H hergeleitet. E r ,t =µc H ×r =µc H ×e r 161 Nahfeld wird beeinflusst durch Ladungen und Ströme der Quelle. Die elektrischen Feldlinien bei der Quelle folgen den Schwingungen der Ladungen. i t p t = p0 e 162 Das Fernfeld wird nur durch die gegenseitige Induktion bestimmt. 163 164 Winkelbeziehungen: =0 r⋅E =0 r⋅H H =0 E⋅ } stehen senkrecht aufeinander Für den Poynting-Vektor folgt: 1 r r S= ̈ p t − ×r ] [ c 16 r c A× = −C A⋅B B ×C B A⋅C S= E ×H = c H ×r × H = c H⋅ H r r r 2 5 2 ∣ S∣~ r 4 2 sin 2 ̈p Die Energie verteilt sich auf immer größere Kugelflächen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. 165 Zusammenfassung ● Elektromagnetische Wellen können durch eine Dipolantenne (schwingendes Ionenpaar = schwingender Dipol) erzeugt werden. ● Die elektromagnetischen Felder nehmen für große Entfernungen mit 1/r ab. ● Die Ausbreitung der Wellen erfolgt mit Lichtgeschwindigkeit. ● Längs der Dipolachse findet keine Abstrahlung ab, Maximum der Abstrahlung ist senkrecht zum Dipolmoment. H-Feld: Dipolmoment entlang der z-Achse, θ sei Winkel zur z-Achse - konzentrische Kreise um den Dipol - |H| wird mit sinθ schwächer (Null für θ=0,π) ● E-Feld: tangential zu den Längenkreisen - Für θ=0,π ist E in der Fernzone Null, d.h. die Terme der Nah- und Mittelzone werden wichtig. Diese Terme sind die Ursache für das Abbiegen der elektrischen Feldlinien. ● Magnetfelder sind mit den Wirbeln der elektrischen Felder und umgekehrt verknüpft. http://www.mikomma.de/fh/eldy/hertz.html 166 Zusammenfassung ● Eine Dipolantenne empfängt das elektrische Feld, Sender und Empfänger sollten parallel zueinander stehen, Das Magnetfeld kann über das Faraday'sche Induktionsgesetz genutzt werden (Ferritantenne, durch viele Wicklungen um einen Ferritkern kann die induzierte Spannung vergrößert werden.) Da die elektrische und magnetische Energiedichte gleich ist, sind diese Antennen gleichwertig. ● Der Poyntingvektor gibt die Energieabstrahlcharakteristik. Die Energie verteil sich auf immer größere Kugelflächen, die sich mit c ausbreiten. 4 2 ∣s∣~ 2 sin r Die Frequenzabhängigkeit in der 4. Potenz ist Ursache für die historische Entwicklung Langwelle -> Mittelwelle -> Kurzwelle -> UKW. 167 Jede beschleunigte Ladung strahlt elektromagnetische Wellen ab. Id r ' =Q̇ d r ' =̇p t Für eine Punktladung ρ=qδ(r-r0) ergibt sich: I d r =∫ j⋅d f d r =∫ v⋅d V =∫ q r −r0 v⋅d V =q v =̇p t ̈pt = q ̇v Anwendungen/Bedeutung: ● ● ● Atommodell Röntgenbremsstrahlung Synchrotronstrahlung = sehr breites, kontinuierliches Spektrum vom infraroten über den sichtbaren Spektralbereich, ins ultraviolett bis tief in den Bereich der Röntgenstrahlung mit hoher Strahlungsintensität 168 ● ● Freier-Elektronen-Laser (einer von 21 weltweit in 2006 ist in Rossendorf bei Dresden) Rayleigh-Streuung ist die Streuung elektromagnetischer Wellen an Teilchen, die klein im Vergleich zur Wellenlänge λ der Wellen sind. Der Streuquerschnitt ist proportional zur vierten Potenz der Frequenz. Blaues Licht wird stärker gestreut als rotes. Dieser Effekt ist für die blaue Farbe des Himmels bei hohem Sonnenstand, sowie für die rote Farbe bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang verantwortlich. 169 6. Niederfrequente Wechselfelder 6.1. Der Skin-Effekt Übergang zu niedrigen Frequenzen und leitfähigem Material -> Wechselstromtechnik Wir starten von der Telegraphen-Gleichung: E= Bei fester Kreisfrequenz 1 ̈ E µ ̇ E 2 c mit 1 =µ 2 c =2 f : ∣ E∣ ~ e i t µ ̇ E ~ E µ µ ̈ E ~ 2 Eµ E = µ ̈ E ̇ E Wenn ω klein und σ groß ist: ≫ µ ̇ E ≫ µ ̈ E E = µ ̇ E 170 rot H = j ̇D = E ̇E da ~ rot H = E j = E rot E = − ̇B = −µ ̇ H Wir betrachten einen Zeitpunkt t, bei dem E gerade wächst E H H wächst rot E = −µ ̇ H Schwächung des verursachenden E-Feldes in der Mitte des Drahtes dicker Draht Quantitative Rechnung für ein einfaches Beispiel, das aber die gleichen physikalischen 2 2 ∂ ∂ Phänomene zeigt (da in Zylinderkoordinaten gilt: ) 2 = 2 ∂r z tangential Komponente von E stetig Metall - E + 0 ∂x E x , t = 0 , 0 , E z x , t 0 für x 0 : E z = E z t = E z e it bekannt 171 Randbedingung: E z x 0 , t = E 0z e i t Ohm'sches Gesetz soll gelten: j z = E z j z auch bekannt zu lösen ist: E = µ ̇ E ∂2 E z ∂x Ansatz: 2 = µ Ė z E z x ,t = E 0z e i t− x (erfüllt unsere Randbedingung für x = 0) 2 Einsetzen ergibt Ez = i µ Ez 2 = i µ Wurzel aus i: i = ± 1 1i 2 1 1 1i2 = 12 ii 2 = i 2 2 172 Das Vorzeichen wird so gewählt, dass die Felder endlich sind. = 1i 1 1i µ = l 2 E z x ,t = E 0z e i t −1i mit l = x l = E 0z e − x l e 2 µ x i t− l l ist die Eindringtiefe. Re Ez entspricht einer gedämpften Kosinus-Funktion. Stromfluss im Inneren des Metalls ist geschwächt, wegen Ohm'schen Gesetz jz = σEz. Skin-Effekt: Der Hauptstrom fließt an der Oberfläche des Leiters. Mit größerem σ und ω dringt der Strom immer schlechter in das Metall ein. z.B. f = 50 Hz, σCu: l ≈ 1 cm f = 5·109 Hz : l ≈ 1 µm ● Strom fließt nur in einer Randschicht (Hohl-Leiter) ● Für ω -> 0 geht l -> ∞, d.h. Strom fließt im gesamten Draht. 173 Falls ω klein ist, so dass (Kontakte) sind wichtig. σ >> ωε tritt der Skin-Effekt auf. Die Oberfläche der Leiter E = µ ̇ E Wird ω hinreichend groß, müssen Welleneffekte berücksichtigt werden. E = µ ̇ E µ ̈ E Das Draht-Innere kann dann weggelassen werden (Hohlleiter), der hohle Draht dient zur Führung der Wellen. Koaxialkabel: f 10 GHz , 3 cm S = E × H S ∥ Draht 1. Seele (Innenleiter) 2. Dielektrikum 3. Kabelschirm 4. Schutzmantel (Isolation) gut beschrieben durch E = µ ̇E Hohlleiter: f 10 GHz E = µ ̇ E µ ̈ E innerer Leiter („Seele“) weg Die Randbedingungen entsprechen einem Spiegel für Felder (z.B. Silber). - geringe Verluste bei hohen Frequenzen, da kein Material zur Stützung der Seele 174 6.2. Wechselstromkreis Nur eine Spule L = Selbstinduktions-Koeffizient UR: Spannung am Widerstand R zur Zeit t Ue UR =∫ E⋅d r = R Spannung am Kondensator UC, Uc =− 1 e j⋅d r = I = RI ∫ R F induzierte Spannung UL an der Spule Q c U L = − L İ verkleinert die angelegte Spannung U e −L İ − Q =IR C U e = I R L İ Q C In der Elektrotechnik wurde die Stromrichtung anders definiert. Elektrotechnik I = Q̇ U e = L Q̈ Q̇ R Elektrodynamik I Q̇ = 0 Q C 175 für gegebenes Ue ―> DGL für Q (bzw. I) (sieht aus wie harmonischer, gedämpfter Oszillator mit äußerer Kraft) m ẍ a ẋ k x = F Ergebnis: Schwingungen mit Resonanz (Schwingkreis) bei harmonischer Anregung. U e = U 0 e i t = 2 f f = 50 Hz Lösungsansatz: I t = I 0 e i t−i Q̇ = I Q = U0 e i t dI = i I 0 e i t−i dt 1 I 0 e i t−i i 1 = R i L I 0 e i t −i i C Wechselspannung U 0 cos t Re U U e = I R L İ Q C ] [ U0 = Ri L− 1 C I 0 e−i Z Z: komplexer Widerstand = Wechselstromwiderstand 176 Da es eine komplexe Gleichung für Real- und Imaginärteil ist, haben wir 2 Gleichungen für die unbekannten Größen I0 und α. Betrag: ∣e−i ∣= 1 I0 = U 0 = ∣Z∣I 0 U0 1 R 2 L− C 2 Für eine Antenne als Schwingkreis würde U0 im Allgemeinen sehr klein sein. Um große Ströme (Signale) zu bekommen, benötigt man kleine Widerstände R und Resonanz: 2 = 1 LC (In alten Radios erfolgte die Grobabstimmung über L und die Feinabstimmung über C.) 177 Ausschaltvorgang bei RL-Glied: U e = L İ R I Ue für stationären Strom İ = 0 , I 0 = R 1. Ausschalten einer Gleichspannung Ue = { const t 0 0 t 0 für t 0 für t 0 R I˙ = − I L Ue I = I0 = R Ue = 0 I t = I 0 e − R t L Ue Anfangsbedingung t = 0: I0 = R -> Messung von L Energie (Strom) kommt aus dem H-Feld der Spule. 178 2. Einschalten einer Gleichspannung t0 U =I =0 I = I 0 1− e I˙ = I 0 R e L − R t L −R t L 179