Lössungen Serie 3 (Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik)

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Lössungen Serie 3 (Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik)
Dozent: Roger Burkhardt
Klasse: Studiengang ST
Büro: 4.613
Semester: 2
Modul: Algebra 1
Datum: FS2009
1. Aufgabe
Gegeben sei die folgende RL-Serieschaltung mit L = 10mH, R = 100Ω und Ue (t) =
10V sin 500t 1s :
L
Ue (t )
R
Ua (t)
(a) Bestimme die komplexen Impedanzen der einzelnen Bauteile und den komplexen Gesamtwiderstand. Stelle diesen in der Gauss’schen Zahlenebene dar.
Lösung:
• R: ⇒ ZR = R = 100Ω
• L: ⇒ ZL = iωL = i500 1s 10mH = i5Ω
• Gesamtwiderstand (Serieschaltung):
Zser = ZR + ZL = R + iωL = (100 + i5)Ω = 100.1249Ωcis(2.8624◦ )
• Zeigerdiagramm der Impedanzen:
(b) Bestimme im komplexen Bildbereich den Strom durch den Ohm’schen Widerstand und die Ausgangsspannung Ua .
Lösung:
• Ue (Eingangsspannung): Ue =
10
√
V
2
=
10
√
V
2
cis(0◦ )
Algebra 1
Lösungen Serie 3 (Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik)
FS 2009
• I (Strom):
10
√
V cis(0◦ )
Ue
2
=
= 70.6mAcis(−2.8624◦ )
I=
Zser
100.1249Ωcis(2.8624◦ )
• Ua (Ausgangsspannung):
Ua = IZR = 70.6mAcis(−2.8624◦ )5Ω = 7.062V cis(−2.8624◦ )
(c) Bestimme die Übertragungsfunktion
Ua
=?
Ue
Lösung:
Ua
=
Ue
û
√
2
R+iωL
√û
2
=
1
R − iωL
= 2
= 0.9988(−2.8624◦ )
2
2
R + iωL
R +ω L
Die Amplitude des Ausgangssignals entspricht somit 99.88% der Amplitude
des Eingangssignals und das Ausgangssignal eilt dem Eingangssignal um den
berechneten Phasenwinkel hinterher!
(d) Bestimme die stationäre Ausgangsspannung Ua (t).
Lösung:
√
1
1
Ua (t) = 7.062 2V sin(500 t − 0.05) = 9.9875V sin(500 t − 0.05)
s
s
2. Aufgabe
Gegeben sei die folgende RC-Serieschaltung mit C = 1µF , R = 1000Ω und Ue (t) =
10V sin 500t 1s :
C
Ue (t )
R
Ua (t)
(a) Bestimme die komplexen Impedanzen der einzelnen Bauteile und den komplexen Gesamtwiderstand. Stelle diesen in der Gauss’schen Zahlenebene dar.
Lösung:
• R: ⇒ ZR = R = 1000Ω
1
• C: ⇒ ZC = −i ωC
= −i2000Ω
• Gesamtwiderstand (Serieschaltung):
Zser = ZR + ZC = R − i
1
= (1000 − i2000)Ω = 2236.1Ωcis(−63.4349◦ )
ωC
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FS 2009
• Zeigerdiagramm der Impedanzen:
(b) Bestimme im komplexen Bildbereich den Strom durch den Ohm’schen Widerstand und die Ausgangsspannung Ua .
Lösung:
• Ue (Eingangsspannung): Ue =
• I (Strom):
10
√
V
2
=
10
√
V
2
cis(0◦ )
10
√
V cis(0◦ )
Ue
2
= 3.2mAcis(63.4349◦ )
I=
=
Zser
2236.1Ωcis(−63.4349◦ )
• Ua (Ausgangsspannung):
Ua = IZR = 3.2mAcis(63.4349◦ )1000Ω = 3.2V cis(63.4349◦ )
(c) Bestimme die Übertragungsfunktion
Ua
=?
Ue
Lösung:
Ua
=
Ue
û
√
2
1
R−i ωC
√û
2
=
1
ωC(RωC + i
= 0.4472(63.4349◦ )
1 =
2
2
2
R ω C +1
R − i ωC
Die Amplitude des Ausgangssignals entspricht somit 44.72% der Amplitude
des Eingangssignals und das Ausgangssignal eilt dem Eingangssignal um den
berechneten Phasenwinkel vor!
(d) Bestimme die stationäre Ausgangsspannung Ua (t).
1
Ua (t) = 4.4721V sin(500 t + 1.1071)
s
Lösung:
Skizze:
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3. Aufgabe
Bei der nachfolgenden Reihenschaltung beträgt der Effektivwert des Stromes Iges =
5A. Erstelle ein Zeigerdiagramm für die Impedanzen und eines für die Spannungen.
I ges
2Ω
i4 Ω
-i6 Ω
Lösung:
• Impedanzen:
Zser = ZR + ZL + ZC = 2Ω + i4Ω − i6Ω = (2 − 2i)Ω = 2.8284Ωcis(−45◦ )
• Spannungen (mit Iges = 5A = 5Acis(0◦ )):
UR = Iges ∗ ZR = 5Acis(0◦ )2Ω = 10V cis(0◦ ) = 10V
UL = Iges ∗ ZL = 5Acis(0◦ )4Ωcis(90◦ ) = 20V cis(90◦ ) = i20V
UC = Iges ∗ ZC = 5Acis(0◦ )6Ωcis(−90◦ ) = 30V cis(−90◦ ) = −i30V
Uges = Iges ∗Zser = 5Acis(0◦ )2.8284Ωcis(−45◦ ) = 14.1421V cis(−45◦ ) = 10V −i10V
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4. Aufgabe
In der untenstehenden Schaltung misst man die Ströme Iges = 30A, I1 = 18A und
I2 = 15A (sind Effektivwerte). Bestimme R und L (ω = 300 1s ):
I g es
I1
R
I2
4Ω
L
Lösung:
Die Spannung über den drei Bauteilen ist gleich der Spannung über dem 4Ω Widerstand (Parallelschaltung):
U2 = UR = UL = 60V
Gemäss untenstehender Skizze lässt sich mit dem Kosinussatz die Phasenverschiebung zwischen I2 und Iges bestimmen:
ℑ z 
I2
IR
I1
I ges
IL
15

30
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ℜz 
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2
Iges
+ I22 − I12
⇒ ϕ = 0.474 = 27.127◦
2Iges I2
Somit kennen wir zwei Ströme als komplexe Zeiger:
cos(ϕ) =
I2 = 15Acis(0◦ ), Iges = 30Acis(−27.127◦ )
Den Strom I1 lässt sich nun als Differenz dieser beiden Ströme berechnen:
I1 = Iges −I2 = 30Acis(−27.127◦ )−15Acis(0◦ ) = 18Acis(−49.458◦ ) = |13.679A
{z } −i 11.700A
| {z }
IR
IL
Dieser Strom ist die Summe der beiden Zweigströme IR und IL . Aus diesen Strömen
lassen sich nun Widerstand und Induktivität berechnen:
UR
R=
= 5.128Ω
IR
UL
XL
XL =
= 4.386Ω ⇒ L =
= 14.6mH
IL
ω
5. Aufgabe
An der Serieschaltung mit R = 50Ω, L = 50mH und C = 20µF liegt eine Spannungsquelle Uef f = 100V mit variabler Frequenz.
(a) Erstelle die Ortskurve für die Gesamtimpedanz (f = 0..2000 1s ).
Lösung:
50000
5
1
−
= 50 + i 2πf
Ω
Zser = ZR +ZL +ZC = R+i 2πf L −
2πf C
100
2πf
Skizze Ortskurve:
(b) Erstelle die Ortskurve für die Spannung über der Spule.
Lösung:
UL =
Uef f
100V
5
i2πf
ZL = Ω
5
Zser
100
50 + i 2πf 100
− 50000
Ω
2πf
5
10πf 50i + 2πf 100
− 50000
2πf
=
V
2
5
50000
2
50 + 2πf 100 − 2πf
Skizze Ortskurve:
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(c) Bei welcher Frequenz ist die Spannung über der Spule maximal (mittels Ortskurve und rechnerisch).
Lösung:
r
2
5
2πf 100
− 50000
10πf
+ 502
2πf
|UL | =
V
2
5
502 + 2πf 100
− 50000
2πf
Maximum (Extremwertaufgabe) bestimmen:
π 2 f 2 − 500000
d
|UL | = −25000000π 2 f p
3 V = 0
df
(−250000π 2 f 2 + π 4 f 4 + 6 25000 00000)
Gleichung lösen:
π 2 f 2 − 500000
−25000000π 2 f p
3 V = 0
(−250000π 2 f 2 + π 4 f 4 + 6 25000 00000)
⇒ f = 225.079
6. Aufgabe
Gegeben sei das folgende Netzwerk:
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1
s
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5Ω
U1 = 30V
I1
i3Ω
4Ω
i5Ω I2 6Ω
I3
2Ω
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U 2 = 20V
(a) Bestimme das lineare Gleichungssystem für die Maschenströme I1 , I2 und I3
(in Matrizenschreibweise) und berechne diese Maschenströme.
Lösung:
• Masche 1:
I1 5 + (I1 − I2 ) i5 = 30
• Masche 2:
(I2 − I1 ) i5 + I2 (2 + i3) + (I2 − I3 ) 6 = 0
• Masche 3:
(I3 − I2 ) 6 + I3 4 = −20
• System:

 

30
5 + i5 −i5
0
I1
 −i5 8 + i8 −6   I2  =  0 
−20
0
−6
10
I3

(b) Bestimme alle Zweigströme und die Spannungsabfälle über den Impedanzen.
Lösung:
• Maschenströme:

  12084 6924  

I1
3.104
−
1.7786i
−
i
3893
3893
 I2  =  5160 + 4350 i  =  1.3255 + 1.1174i 
3893
3893
2610
4690
I3
+ 3893
i
− 3893
−1.2047 + 0.67043i
• Zweigströme:
I(5Ω) = I1 = (3.104 − 1.7786i) A
I(i5Ω) = I1 −I2 = (3.104 − 1.7786i) A−(1.3255 + 1.1174i) A = (1.7785 − 2.896i) A
I(2Ω+i3Ω) = I2 = (1.3255 + 1.1174i) A
I(6Ω) = I2 − I3 = (1.3255 + 1.1174i) A − (−1.2047 + 0.67043i) A
= (2.5302 + 0.44697i) A
I(4Ω) = I3 = (−1.2047 + 0.67043i) A
• Spannungen:
U(5Ω) = I(5Ω) ∗ 5 = (15.52 − 8.893i) V
U(i5Ω) = I(i5Ω) (i5) = (14.48 + 8.8925i) V
U(2Ω+i3Ω) = I(2Ω+i3Ω) (2 + i3) = (−0.7012 + 6.2113i) V
U(6Ω) = I(6Ω) 6 = (15.181 + 2.6818i) V
U(4Ω) = I(4Ω) 4 = (−4.8188 + 2.6817i) V
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