Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer

Vorlesung 7+8+9:
Roter Faden:
Heute:
Spezielle Relativitätstheorie
Versuche: Messung der Lichtgeschwindigkeit, Film
17.05.06
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1
Transformationen zwischen Inertialsystemen, d.h.
Systemen mit gleichförmiger, relativer Geschwindigkeit
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Spezielles Relativitätsprinzip
1) Alle Inertialsysteme, d.h. Systeme OHNE Beschleunigung,
sind gleichwertig. Naturgesetze haben gleiche Gültigkeit
2) In jedem Inertialsystem hat die Vakuumlichtgeschwindigkeit
den GLEICHEN Wert
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Galilei- versus Lorentztransformation
GalileoTransformation
in x-Richtung:
x’=x-vt
y’=y
z’=z
t’=t
Lichtstrahl legt in x,y,z-System
Abstand √x2+y2+z2=ct zurück.
Im x’,y’,z’: √x’2+y’2+z’2=c’t’
Da x’≠x muss für c=c’ gelten: t’≠t in
Wiederspruch mit Galileo-Transf.
Lorentztransformation zwischen Inertialsystemen
lässt c=c’ durch Zeitdilatation und Längenkontraktion:
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Beweis, dass unter Lorentztransformationen
die Lichtgeschwindigkeit konstant bleibt.
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Physik der Zeitdilatation
Zeitmessungen werden um einen
Faktor γ gedehnt oder
bewegte Uhren laufen langsamer
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Beispiel für relativistische Effekte beim Myonzerfall
im Ruhesystem des Myons
im System des Beobachters:
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Beispiel für relativistische Effekte beim Myonzerfall
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Beispiel der Längenkontraktion
Längenkontraktion oder
„bewegte Stäbe sind kürzer“)
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Beispiel der Längenkontraktion
Welche Geschwindigkeit braucht
ein Raumschiff, damit Astronaut
in 30 J Galaxie durchqueren kann?
Hinweis: wähle Raumschiff
als Ruhesystem des Astronauten.
Dann bewegt sich Galaxie
und wird kontrahiert.
(AB=6.1020 m)
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Antwort: Beispiel der Längenkontraktion
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Michelson-Morley Experiment
Daraus folgt experimentell: c in allen Inertialsystemen gleich groß
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Bestimmungen der Lichtgeschwindigkeit
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Versuch: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit
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Bei Bewegung in x_Ri.: Längenkontraktion in x.
Was sehe ich wenn ich entlang x- oder y-Ri. fotografiere?
Blick auf ruhende und bewegte Maßstäbe. Links:
Annäherung mit 70% der Lichtgeschwindigkeit,
Mitte: ruhend, rechts: Wegflug mit 70% der
Lichtgeschwindigkeit. Alle Maßstäbe sind gleich
lang, wenn sie ruhend abgemessen werden. Eine
Längenmessung der bewegten Maßstäbe ergibt
71% der Ruhelänge.
Wird die Kamera ausgelöst, dann registriert sie das Licht, das zu diesem
Zeitpunkt gerade ankommt. Das gleichzeitig eintreffende Licht wurde aber, je
nach Laufzeit, innerhalb eines gewissen Zeitraums nach und nach emittiert.
Während dieses Zeitraums bewegte sich nun das Objekt ständig weiter. Die
Abb. illustriert am Beispiel eines einzelnen heranfliegenden Stabs, was das
zur Folge hat: Das Licht, das zu einem Zeitpunkt in die Kamera eintritt,
stammt von Punkten im Raum, die sich über mehr als eine Stablänge
erstrecken; der Stab erscheint verlängert. Dieser Lichtlaufzeiteffekt ist so
groß, dass er sogar die Längenkontraktion überwiegt.
Wenn sich umgekehrt der Stab von der Kamera entfernt, führt der
Lichtlaufzeiteffekt zu einer scheinbaren Verkürzung, die zur
Längenkontraktion noch hinzukommt: Der Stab erscheint stark verkürzt
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Bei Bewegung in x_Ri.: Längenkontraktion in x.
Was sehe ich wenn ich entlang x- oder y-Ri. fotografiere?
Dieselbe Szene wie in Abb. 1, von der
Seite gesehen. Die hinteren Stäbe
bewegen sich nach links, die vorderen
nach rechts, die mittleren sind in Ruhe
Nur in dem Fall, in dem die Blickrichtung genau
senkrecht zur Bewegungsrichtung ist, sind die
Lichtlaufzeiten von beiden Stabenden gerade gleich lang
und man sieht dieselbe Länge, die man auch misst. In der
Bildmitte von Abb. 2 trifft das zu; der Vergleich mit den
Karos des Untergrunds zeigt, dass die Maßstäbe gerade
entsprechend der Längenkontraktion verkürzt erscheinen
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Zusammenfassung Bild eines bewegten Stabes
Ein Stab nähert sich der Kamera mit
90% der Lichtgeschwindigkeit. Er ist
entsprechend seiner Geschwindigkeit
auf 44% seiner Ruhelänge kontrahiert.
Unter den Lichtstrahlen, die
gleichzeitig bei der Kamera eintreffen
ist derjenige vom Stabende zuerst
emittiert worden (a), derjenige von der
Stabspitze zuletzt (b). Alle anderen
Emissionspunkte liegen dazwischen,
auf einer Linie, die länger ist als der
Stab (c, grau eingezeichnet). Dünne
durchgezogene Linien markieren
zurückgelegte Lichtwege, punktierte
Linien deren weiteren Verlauf
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Relativistische Bildverzerrungen
http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/tuebingen/tue2.html
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Relativistische Bildverzerrungen
Ruhe
Hohe Geschwindigkeit
http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/tuebingen/tue2.html
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Aberration: Objekte untere einem
kleineren Winkel in einer bewegten Kamera
Wie Regen unter einem
kleineren Winkel durch
Bewegung des Zuges
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Aberration: Objekte untere einem
kleineren Winkel in einer bewegten Kamera
Zur Herleitung der Aberrationsformel anhand der Bildentstehung
in einer Lochkamera. Ein Photon tritt unter dem Winkel θ in eine
bewegte Lochkamera ein (oben) und trifft in der Entfernung d
von der optischen Achse auf dem Bildfeld auf (unten links). Im
Ruhesystem der Kamera schließt man aus der Entfernung auf
einen Eintrittswinkel , der kleiner ist als (unten rechts).
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Licht kann von hinten kommen in bewegter Kamera!
Bilder am selben Ort geschossen
http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/tuebingen/tue2.html
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Farb- und Helligkeitsverzerrungen
v=0 c
v= +0.9 c
v = - 0.9 c
Dopplereffekt: Rotverschiebung bei Wegflug
Blauverschiebung bei Anflug
Helligkeit: Energie des Lichts im Detektor: ∝ Frequenz
und ∝ Raumwinkel (Fluss), d.h ∝1/r2
Da bei Anflug Raumwinkel und Frequenz zunehmen,
starke Zunahme der Helligkeit!
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http://www-aix.gsi.de/~wolle/TELEKOLLEG/SCHWINGUNG/schwingung.html
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http://www-aix.gsi.de/~wolle/TELEKOLLEG/SCHWINGUNG/schwingung.html
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Doppler: Bewegte Quelle und ruhender Empfänger
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Doppler: Bewegter Empfänger und ruhende Quelle
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Wellen von bewegten Quellen/Empfängern
Überschall
Stoßfront,
wenn vq=c
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Relativistischer Doppler-Effekt
Unabh. ob Quelle
oder Detektor sich
Bewegt. Nur relative
Geschwindigk. v wichtig
http://www.jgiesen.de/astro/stars/DopplerEffekt/index.htm
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Zwillings-Paradoxon
E
P
Abstand Erde-Planet: 8 Lichtjahre. A bleibt auf der Erde,
B reist mit Geschwindigkeit v0=0,8c zum Planeten und zurück
Sie schicken sich jeden Geburtstag einen Laserpuls.
Wie alt sind die Zwillingsbrüder bei der Rückkehr von B?
Man muss die relativistische Dopplerverschiebung
berücksichtigen: f’=f0√(1-v/c)/(1+v/c)=1/3f0 auf der Hinreise und
3f0 auf der Rückreise. Denn der Laserpuls muss den
Abstand λ’=cT’+vT’ ablegen um B zu erreichen, wobei T’=γT die
dilatierte Zeit eines Jahres ist.
Daher f’ = c/λ’ = c/[(c+v) γT] = f0 √(1-v/c)/(1+v/c)
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Zwillings-Paradoxon
Aus der Sicht von B:
L‘=L/γ=8/(5/3) und t‘=L‘/v=6 J hin und 6 J zurück.
Er empfängt auf der Hinreise 1/3 Signale pro J, d.h.
2 Signale und 3 Signale/J auf der Rückreise, d.h. 18 Signale.
Der Bruder ist also bei der Rückkehr 20 Jahre älter, er nur 12 J.
Aus der Sicht von A:
B reist t= L/v = 8/0,8= 10 Jahre hin und 10 Jahre zurück.
A kann nur wissen, dass B umgekehrt ist, wenn er die erhöhte
Frequenz beobachtet. Das dauert bei L=8Lj 8 Jahre, d.h. A
beobachtet 18 J die 1/3 Signale pro Jahr, insgesamt 6 Signale.
Dann noch 2 Jahre 3 Signale pro Jahr bis B zurück ist, also
6 Signale. A hat beim Rückkehr also 6+6=12 Geburtstage
für B gezählt, weil er selbst 20 Jahre älter geworden ist.
Beide sind sich also einig, dass Reisen jung hält!
Das unterschiedliche Alter kommt durch die endliche
Lichtgewschwindigkeit zu stande, die die Zählung der Geburtstage
“verfälscht”.
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Zwillings-Paradoxon
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Addition von Geschwindigkeiten
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Masse in bewegten Systemen
Daher kann man Teilchen
nie auf Lichtgeschwindigkeit
Beschleunigen (m wird ∞)
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Relativistischer Impuls und rel. Energie
v
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Relativistischer Impuls und rel. Energie
Auswendig:
E2=p2c2+m02c4 = m2c4
p=mv
β=v/c=pc/E
γ=E/m0c2
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Energie kann in Materie umgewandelt werden
oder E=mc2
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Materie kann in Energie umgewandelt werden
Bindungsenergie der Kerne
Otto Hahn 1939:
Bei Uranspaltung verschwindet
Masse und wird Energie freigesetzt
Es gilt: E=mc2 wie von Einstein
vorhergesagt.
http://www-linux.gsi.de/~wolle/TELEKOLLEG/KERN/IMAGES/kernfusion-2.jpg
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http://www-linux.gsi.de/~wolle/TELEKOLLEG/KERN/IMAGES/kernfusion-2.jpg
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http://www-linux.gsi.de/~wolle/TELEKOLLEG/KERN/IMAGES/kernfusion-2.jpg
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http://www-linux.gsi.de/~wolle/TELEKOLLEG/KERN/IMAGES/kernfusion-2.jpg
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E=mc2 macht es möglich
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Entdeckung der Quarks und Leptonen
mit Streu-Experimenten
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Der LEP/LHC Collider
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10 eV Beschleuniger
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Viel höhere Feldstärken bei Mikrowellen
(statt statische Felder)
Mikrowellenkavitäten
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LHC/LEP Tunnel
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LEP Tunnel
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Supraleitender LHC Magnet: zwei Dipole
B
B
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Wirkungsquerschnitt für die e+e- Vernichtung
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Das Standard Modell der Teilchenphysik
MW,MZ
Mτ
Mµ
STABIL
Me
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Mν
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Zum Mitnehmen
Ein ruhender Beobachter sieht in einem bewegten
Bezugssystem, dass
Längen um einen Faktor γ kürzer erscheinen
(Längenkontraktion oder „bewegte Stäbe sind kürzer“)
Zeitmessungen um einen Faktor γ gedehnt werden
(Zeitdilatation oder “bewegte Uhren gehen langsamer“)
Massen um einen Faktor γ größer
γ= 1/√(1-β2) wird gleich 1,
wenn β = v/c gleich 0 wird,
d.h. relativistische Effekte werden
wichtig für β ⇒ 1 Dann geht γ ⇒ ∞ .
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Auswendig:
E2=p2c2+m02c4 = m2c4
p=mv
β=v/c=pc/E
γ=E/m0c2
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