UK Stochastische Prozesse:¨Ubungsbeispiele

UK Stochastische Prozesse: Übungsbeispiele
Blatt 1
1. Zeige, dass
(a) Xn → X f.s. ⇒ Xn → X in Wahrscheinlichkeit;
(b) Xn → X f.s. ⇒ Xn → X in Verteilung;
(c) Xn → X in Wahrscheinlichkeit ⇒ es gibt eine Teilfolge (nk ) mit
Xnk → X f.s.
2. Sei X integrierbar und G1 ⊆ G2 . Zeige, dass
E [E[X|G2 ]|G1 ] = E[X|G1 ].
3. Seien X und Y unabhängig.
(a) Zeige, dass E[Y |X] = E[Y ].
(b) Zeige, dass aus (a) folgt, dass E[XY ] = E[X]E[Y ].
(c) Finde ein Beispiel, das zeigt, dass aus (b) weder (a) noch die
Unabhängigkeit von X und Y folgen.
4. Zeige, dass für beschränkte Zufallsvariablen X und Y gilt
E[Y E[X|G]] = E[XE[Y |G]].
5. Sei (X, Y ) bivariat normalverteilt mit Dichte
f (x, y) =
2π
√1
1−ρ2
2
2
1
exp(− 2(1−ρ
2 ) (x − 2ρxy + y )).
(a) Zeige, dass Y die Dichte fY (y) =
√1
2π
2
exp(− y2 ) hat.
(b) Berechne E[X|Y ].
6. Gegeben sei Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 } mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß
P (ω1 ) = a, P (ω2 ) = b, P (ω3 ) = c, P (ω4 ) = d. Weiters sei ein
stochastischer Prozess (St )t=0,1,2 gegeben durch S0 = 0, S1 (ω1 ) =
S1 (ω2 ) = 1, S1 (ω3 ) = S1 (ω4 ) = −1, und S2 (ω1 ) = 2, S2 (ω2 ) = S2 (ω3 ) =
0, S2 (ω4 ) = −2.
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(a) Bestimme die von (St )t=0,1,2 erzeugte Filtration (Ft )t=0,1,2 .
(b) Bestimme a, b, c, d so, dass (St )t=0,1,2 ein Martingal ist.
7. Gegeben seien unabhängige nicht negative Zufallsvariable Xn , n =
1, 2, . . . mit E[Xn ] = 1 für alle n. Sei M0 = 1, F0 = {∅, Ω} und
Mn := X1 X2 · · · Xn ,
Fn := σ(X1 , . . . , Xn ).
Zeige, dass (Mn )n≥0 ein Martingal ist.
8. Gegeben sei eine integrierbare Zufallsvariable X auf (Ω, F, P ) und eine
Filtration (Ft )t≥0 , wobei Ft ⊆ F für alle t. Zeige dass
Mt := E[X|Ft ]
ein Martingal ist.
9. Gegeben seien die Stoppzeiten S und T . Zeige, dass max(S, T ), min(S, T )
und S + T Stoppzeiten sind.
10. Zeige, dass eine zufällige Zeit τ eine Stoppzeit für eine rechtsseitig
stetige Filtration ist, genau dann wenn {τ < t} ∈ Ft für alle t.
11. Gegeben ist eine Stoppzeit τ . Zeige, dass
Fτ = {A ∈ F : für alle t ist A ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft }
eine σ–Algebra ist.
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