Serie 9 - Universität Basel

Numerische Verfahren zur Wellenausbreitung
Prof. Dr. M. Grote, J. H. Tang
Mathematik, FS 2017
Universität Basel
Serie 9
zur 18. KW (1.05. – 5.05.2017)
Aufgabe 9.1
Für f ∈ C(0, T ; V) sei u ∈ C2 (0, T ; V) eine Lösung der Wellengleichung auf t ∈ (0, T ),
T > 0:
d2
(u(t), v) + a(u(t), v) = ( f (t), v),
∀v ∈ V ,
dt2
u(0) = u0 ,
u0 (0) = v0 ,
mit u0 , v0 ∈ V und a(., .) einer stetigen, symmetrischen und koerziven Bilinearform auf dem
Hilbertraum V. Zeigen Sie, dass u eindeutig ist.
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Energie
E[u](t) :=
1 0 2
ku (t)k + a(u(t), u(t))
2
für f = 0 konstant ist.
Aufgabe 9.2
Zur numerischen Lösung der Differentialgleichung
d2
q + Aq = 0 ,
dt2
d
q(0) = v0 ,
q(0) = q0 ,
dt
M
betrachten Sie das “Leap-Frog”-Verfahren
qm+1 = 2qm − qm−1 − ∆t2 M −1 A qm , m = 1, 2, . . .
mit
q1 = q0 + ∆t v0 −
∆t2 −1
M A q0
2
und das Störmer-Verlet-Verfahren
vm+ 12 = vm− 12 − ∆t M −1 A qm ,
qm+1 = qm + ∆t vm+ 12 ,
m = 0, 1, . . . ,
m = 0, 1, . . . .
Bestimmen Sie v− 12 derart, dass diese beiden Verfahren identisch sind.
1
Aufgabe 9.3
Sei f : R → R, f ∈ C2 . Zeigen Sie, dass
f (t + h) − 2 f (t) + f (t − h) = h
Z
1
2
(1 − |ϑ|) f 00 (t + ϑh)dϑ
−1
für h > 0, t ∈ R beliebig gilt.
Aufgabe 9.4 (P)
Schreiben Sie ein Finite-Elemente-Programm zur Lösung der eindimensionalen Wellengleichung
utt − (c(x)2 u x ) x = f (x, t) (x, t) ∈ (0, 1) × (0, T ] ,
u(x, 0) = u0 (x) ,
ut (x, 0) = v0 (x)
mit periodischen Randbedingungen bei x = 0, 1. Verwenden Sie dazu stückweise lineare
Finite Elemente auf einem äquidistanten Gitter mit Maschenweite h > 0. Benutzen Sie das
“Leap-Frog”-Verfahren für die Zeitdiskretisierung mit Schrittweite ∆t.
(a) Betrachten Sie für f (x, t) = 0 und c = 1 die exakte Lösung u(x, t) = sin(2π(x − t)).
Zeichnen Sie den Fehler bei T = 1 in der L2 -Norm bez. der Maschenweite h auf einer
log-log Skala für h = 0.01, 0.005, 0.0025. Wählen Sie jeweils ∆t = h/2.
Erzeugen Sie einen Matlab-Film um die zeitabhängige Entwicklung der Lösung auf
dem feinsten Gitter zu verfolgen.
(b) Bestimmen Sie für h = 0.1, 0.01, 0.001 jeweils den maximalen Zeitschritt ∆tmax derart,
dass das numerische Verfahren stabil bleibt. Zeichnen Sie ∆tmax bez. h.
Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter befinden sich auf der Webseite
http://tinyurl.com/NumPDEIIFS2017
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