Random Walks

Inhalt
Random Walks
Seminar Extremal Combinatorics
Sommersemester 2004
Dumbiri Gbenoba
30. Juli 2004
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Inhalt
Inhalt:
1
Random Walk
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Inhalt
Inhalt:
1
Random Walk
2
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Inhalt
Inhalt:
1
Random Walk
2
Erfüllbarkeit von 2-KNF
3
Satz von Conway
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Inhalt
Inhalt:
1
Random Walk
2
Erfüllbarkeit von 2-KNF
3
Satz von Conway
4
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Inhalt
Inhalt:
1
Random Walk
2
Erfüllbarkeit von 2-KNF
3
Satz von Conway
4
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
5
Zusammenfassung
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Inhalt
1
Random Walk
2
Erfüllbarkeit von 2-KNF
3
Satz von Conway
4
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
5
Zusammenfassung
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walk
Einführung
Zufallsbewegung oder Irrfahrt
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walk
Einführung
Zufallsbewegung oder Irrfahrt
stochastischer Prozess
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walk
Einführung
Zufallsbewegung oder Irrfahrt
stochastischer Prozess
Veränderung der Position eines Partikels im Verlauf der Zeit
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walk
Einführung
Zufallsbewegung oder Irrfahrt
stochastischer Prozess
Veränderung der Position eines Partikels im Verlauf der Zeit
Zeitpunkt t
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walk
Einführung
Zufallsbewegung oder Irrfahrt
stochastischer Prozess
Veränderung der Position eines Partikels im Verlauf der Zeit
Zeitpunkt t
Bewegung: Zufallsvariable Zt
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walk
Einführung
Zufallsbewegung oder Irrfahrt
stochastischer Prozess
Veränderung der Position eines Partikels im Verlauf der Zeit
Zeitpunkt t
Bewegung: Zufallsvariable Zt
Position: Zufallsvariable Xt
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walk
Einführung
Zufallsbewegung oder Irrfahrt
stochastischer Prozess
Veränderung der Position eines Partikels im Verlauf der Zeit
Zeitpunkt t
Bewegung: Zufallsvariable Zt
Position: Zufallsvariable Xt
Dumbiri Gbenoba
X0 = 0,
Xt = Xt−1 + Zt
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walk
Beispiel
”Desorientierter” läuft in einer Gasse
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walk
Beispiel
”Desorientierter” läuft in einer Gasse
mit Wahrscheinlichkeit p einen Schritt nach vorne
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walk
Beispiel
”Desorientierter” läuft in einer Gasse
mit Wahrscheinlichkeit p einen Schritt nach vorne
mit Wahrscheinlichkeit q = 1 − p einen Schritt zurck
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walk
Beispiel
”Desorientierter” läuft in einer Gasse
mit Wahrscheinlichkeit p einen Schritt nach vorne
mit Wahrscheinlichkeit q = 1 − p einen Schritt zurck
Wahrscheinlichkeit, dass er nach n Schritten eine Strecke X
zurückgelegt hat . . .
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walk
Beispiel
”Desorientierter” läuft in einer Gasse
mit Wahrscheinlichkeit p einen Schritt nach vorne
mit Wahrscheinlichkeit q = 1 − p einen Schritt zurck
Wahrscheinlichkeit, dass er nach n Schritten eine Strecke X
zurückgelegt hat . . .
n k n−k
Prob(X = −n + 2k) =
p q
k
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Inhalt
1
Random Walk
2
Erfüllbarkeit von 2-KNF
3
Satz von Conway
4
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
5
Zusammenfassung
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
k-KNF: (konjunktive Normalform) ist eine ”Und”-Verknüpfung
beliebig vieler Klauseln
Klausel: ”Oder”-Verknüpfung von k Literalen
Literal: eine boolsche Variable xi oder deren Negation x¯i
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
k-KNF: (konjunktive Normalform) ist eine ”Und”-Verknüpfung
beliebig vieler Klauseln
Klausel: ”Oder”-Verknüpfung von k Literalen
Literal: eine boolsche Variable xi oder deren Negation x¯i
k := 2
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
k-KNF: (konjunktive Normalform) ist eine ”Und”-Verknüpfung
beliebig vieler Klauseln
Klausel: ”Oder”-Verknüpfung von k Literalen
Literal: eine boolsche Variable xi oder deren Negation x¯i
k := 2
Für gegebene 2-KNF F suche erfüllende Belegung a.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
k-KNF: (konjunktive Normalform) ist eine ”Und”-Verknüpfung
beliebig vieler Klauseln
Klausel: ”Oder”-Verknüpfung von k Literalen
Literal: eine boolsche Variable xi oder deren Negation x¯i
k := 2
Für gegebene 2-KNF F suche erfüllende Belegung a.
Beispiel
2-KNF F = (x1 ∨ x¯2 ) ∧ (x2 ∨ x3 ) ∧ (x¯1 ∨ x¯3 )
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
k-KNF: (konjunktive Normalform) ist eine ”Und”-Verknüpfung
beliebig vieler Klauseln
Klausel: ”Oder”-Verknüpfung von k Literalen
Literal: eine boolsche Variable xi oder deren Negation x¯i
k := 2
Für gegebene 2-KNF F suche erfüllende Belegung a.
Beispiel
2-KNF F = (x1 ∨ x¯2 ) ∧ (x2 ∨ x3 ) ∧ (x¯1 ∨ x¯3 )
dann ist a = (1, 1, 0) eine erfüllende Belegung für F .
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Satz, Papadimitriou (1991)
Algorithmus
Sei F eine 2-KNF.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Satz, Papadimitriou (1991)
Algorithmus
Sei F eine 2-KNF.
1
Starte mit beliebiger Belegung von a ∈ {0, 1}2
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Satz, Papadimitriou (1991)
Algorithmus
Sei F eine 2-KNF.
1
2
Starte mit beliebiger Belegung von a ∈ {0, 1}2
Wähle aus bisher unerfüllter Klausel (falls vorhanden) von F ein
Literal x und komplementiere Wert von x in a.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Satz, Papadimitriou (1991)
Algorithmus
Sei F eine 2-KNF.
1
Starte mit beliebiger Belegung von a ∈ {0, 1}2
2
Wähle aus bisher unerfüllter Klausel (falls vorhanden) von F ein
Literal x und komplementiere Wert von x in a.
3
Falls alle Klauseln erfüllt → fertig, sonst → Schritt 2.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Satz, Papadimitriou (1991)
Algorithmus
Sei F eine 2-KNF.
1
Starte mit beliebiger Belegung von a ∈ {0, 1}2
2
Wähle aus bisher unerfüllter Klausel (falls vorhanden) von F ein
Literal x und komplementiere Wert von x in a.
3
Falls alle Klauseln erfüllt → fertig, sonst → Schritt 2.
Satz, Papadimitriou (1991)
Sei F eine erfüllbare 2-KNF mit n Variablen.
Dann findet der Algorithmus mit einer Wahrscheinlichkeit ≥
erfüllende Belegung in höchstens 2n2 Schritten.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
1
2
eine
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
α ∈ {0, 1}n eine erfüllende Belegung für 2-KNF F .
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
α ∈ {0, 1}n eine erfüllende Belegung für 2-KNF F .
Bezeichne Belegung α als die ”korrekten Werte”.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
α ∈ {0, 1}n eine erfüllende Belegung für 2-KNF F .
Bezeichne Belegung α als die ”korrekten Werte”.
i ∈ {0, . . . , n} Anzahl der inkorrekten Werte für beliebige
Belegung a.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
α ∈ {0, 1}n eine erfüllende Belegung für 2-KNF F .
Bezeichne Belegung α als die ”korrekten Werte”.
i ∈ {0, . . . , n} Anzahl der inkorrekten Werte für beliebige
Belegung a.
Schritt des Algorithmus: i 7→ {i − 1, i + 1} ← Random Walk
0
1
...
i-1
Dumbiri Gbenoba
i
i+1
Random Walks
...
n
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Definition
pi,j Wahrscheinlichkeit, dass sich bei einem Schritt des
Algorithmus die Anzahl von inkorrekten Werten von i auf
j ∈ {i − 1, i + 1} inkorrekte Werte ändert.
0
1
...
i-1
Dumbiri Gbenoba
i
i+1
Random Walks
...
n
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Definition
pi,j Wahrscheinlichkeit, dass sich bei einem Schritt des
Algorithmus die Anzahl von inkorrekten Werten von i auf
j ∈ {i − 1, i + 1} inkorrekte Werte ändert.
0
1
...
i-1
i
i+1
Bemerkungen
pi,i−1 = 1 − pi,i+1 ∀i ∈ {0, . . . , n}
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
...
n
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Definition
pi,j Wahrscheinlichkeit, dass sich bei einem Schritt des
Algorithmus die Anzahl von inkorrekten Werten von i auf
j ∈ {i − 1, i + 1} inkorrekte Werte ändert.
0
1
...
i-1
i
i+1
Bemerkungen
pi,i−1 = 1 − pi,i+1 ∀i ∈ {0, . . . , n}
pi,i−1 ≥
1
2
∀i ∈ {1, . . . , n}
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
...
n
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Definition
t(i) Erwartete Anzahl von Schritten um von i inkorrekten
Werten zu einer erfüllenden Belegung (i = 0) zu kommen.
0
1
...
i-1
Dumbiri Gbenoba
i
i+1
Random Walks
...
n
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Definition
t(i) Erwartete Anzahl von Schritten um von i inkorrekten
Werten zu einer erfüllenden Belegung (i = 0) zu kommen.
0
1
...
i-1
i
i+1
Bemerkungen
t(0) = 0
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
...
n
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Definition
t(i) Erwartete Anzahl von Schritten um von i inkorrekten
Werten zu einer erfüllenden Belegung (i = 0) zu kommen.
0
...
1
i-1
i
i+1
Bemerkungen
t(0) = 0
t(n) ≤ t(n − 1) + 1
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
...
n
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Definition
t(i) Erwartete Anzahl von Schritten um von i inkorrekten
Werten zu einer erfüllenden Belegung (i = 0) zu kommen.
0
...
1
i-1
i
i+1
Bemerkungen
t(0) = 0
t(n) ≤ t(n − 1) + 1
t(i) ?
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
...
n
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Idee
Nach der Markov-Ungleichung kann eine Zufallsvariable einen Wert
≥ das doppelte ihres Erwartungswerts nur mit einer
Wahrscheinlichkeit < 12 annehmen.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Idee
Nach der Markov-Ungleichung kann eine Zufallsvariable einen Wert
≥ das doppelte ihres Erwartungswerts nur mit einer
Wahrscheinlichkeit < 12 annehmen.
⇒ Algorithmus terminiert in mehr als 2t(i) Schritten mit
Wahrscheinlichkeit < 12
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Idee
Nach der Markov-Ungleichung kann eine Zufallsvariable einen Wert
≥ das doppelte ihres Erwartungswerts nur mit einer
Wahrscheinlichkeit < 12 annehmen.
⇒ Algorithmus terminiert in mehr als 2t(i) Schritten mit
Wahrscheinlichkeit < 12
⇒ Algorithmus terminiert in höchstens 2t(i) Schritten mit
Wahrscheinlichkeit ≥ 12 .
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Idee
Nach der Markov-Ungleichung kann eine Zufallsvariable einen Wert
≥ das doppelte ihres Erwartungswerts nur mit einer
Wahrscheinlichkeit < 12 annehmen.
⇒ Algorithmus terminiert in mehr als 2t(i) Schritten mit
Wahrscheinlichkeit < 12
⇒ Algorithmus terminiert in höchstens 2t(i) Schritten mit
Wahrscheinlichkeit ≥ 12 .
Wir werden nun zeigen, dass t(i) ≤ n2 ∀i ∈ {0, . . . , n}
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Idee
Nach der Markov-Ungleichung kann eine Zufallsvariable einen Wert
≥ das doppelte ihres Erwartungswerts nur mit einer
Wahrscheinlichkeit < 12 annehmen.
⇒ Algorithmus terminiert in mehr als 2t(i) Schritten mit
Wahrscheinlichkeit < 12
⇒ Algorithmus terminiert in höchstens 2t(i) Schritten mit
Wahrscheinlichkeit ≥ 12 .
Wir werden nun zeigen, dass t(i) ≤ n2 ∀i ∈ {0, . . . , n}
⇒ Algorithmus terminiert in höchstens 2n2 Schritten mit
Wahrscheinlichkeit ≥ 12 .
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Beweis.
t(i)
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Beweis.
t(i)
=
1 + pi,i−1 t(i − 1) + pi,i+1 t(i + 1)
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Beweis.
t(i)
=
≤
1 + pi,i−1 t(i − 1) + pi,i+1 t(i + 1)
t(i − 1) + t(i + 1)
+1
2
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Beweis.
t(i)
1 + pi,i−1 t(i − 1) + pi,i+1 t(i + 1)
t(i − 1) + t(i + 1)
≤
+1
2
≤ x(i)
=
x(0) = 0, x(i) =
x(i−1)+x(i+1)
2
Dumbiri Gbenoba
+ 1, x(n) = x(n − 1) + 1
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Beweis.
t(i)
1 + pi,i−1 t(i − 1) + pi,i+1 t(i + 1)
t(i − 1) + t(i + 1)
≤
+1
2
≤ x(i)
=
x(0) = 0, x(i) = x(i−1)+x(i+1)
+ 1, x(n) = x(n − 1) + 1
2
x(i) = 2in − i 2 ⇒ x(n) = n2
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz, Papadimitriou (1991)
Beweis.
t(i)
1 + pi,i−1 t(i − 1) + pi,i+1 t(i + 1)
t(i − 1) + t(i + 1)
≤
+1
2
≤ x(i)
≤ x(n) = n2
=
x(0) = 0, x(i) = x(i−1)+x(i+1)
+ 1, x(n) = x(n − 1) + 1
2
x(i) = 2in − i 2 ⇒ x(n) = n2
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Inhalt
1
Random Walk
2
Erfüllbarkeit von 2-KNF
3
Satz von Conway
4
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
5
Zusammenfassung
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Spiel
∗
Random Walk w ∈ {0, 1} mit p0 = p1 = 12 (simulieren wir durch
unendliches Wiederholen eines fairen Münzwurfs)
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Spiel
∗
Random Walk w ∈ {0, 1} mit p0 = p1 = 12 (simulieren wir durch
unendliches Wiederholen eines fairen Münzwurfs)
Spieler A wählt Wort a der Länge k
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Spiel
∗
Random Walk w ∈ {0, 1} mit p0 = p1 = 12 (simulieren wir durch
unendliches Wiederholen eines fairen Münzwurfs)
Spieler A wählt Wort a der Länge k
Spieler B wählt Wort b der Länge k
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Spiel
∗
Random Walk w ∈ {0, 1} mit p0 = p1 = 12 (simulieren wir durch
unendliches Wiederholen eines fairen Münzwurfs)
Spieler A wählt Wort a der Länge k
Spieler B wählt Wort b der Länge k
Gewonnen hat der Spieler dessen Wort als erstes in w vorkommt
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Spiel
∗
Random Walk w ∈ {0, 1} mit p0 = p1 = 12 (simulieren wir durch
unendliches Wiederholen eines fairen Münzwurfs)
Spieler A wählt Wort a der Länge k
Spieler B wählt Wort b der Länge k
Gewonnen hat der Spieler dessen Wort als erstes in w vorkommt
W(a, b) Chancenverhältnis zwischen Wörtern b und a
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Spiel
∗
Random Walk w ∈ {0, 1} mit p0 = p1 = 12 (simulieren wir durch
unendliches Wiederholen eines fairen Münzwurfs)
Spieler A wählt Wort a der Länge k
Spieler B wählt Wort b der Länge k
Gewonnen hat der Spieler dessen Wort als erstes in w vorkommt
W(a, b) Chancenverhältnis zwischen Wörtern b und a
Beispiel
Sei k := 2: Spieler A wählt Wort a = 00
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Spiel
∗
Random Walk w ∈ {0, 1} mit p0 = p1 = 12 (simulieren wir durch
unendliches Wiederholen eines fairen Münzwurfs)
Spieler A wählt Wort a der Länge k
Spieler B wählt Wort b der Länge k
Gewonnen hat der Spieler dessen Wort als erstes in w vorkommt
W(a, b) Chancenverhältnis zwischen Wörtern b und a
Beispiel
Sei k := 2: Spieler A wählt Wort a = 00
Spieler B wählt Wort b = 10
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Beispiel
Sei k := 2
Spieler A wählt Wort a = 00
Spieler B wählt Wort b = 10
Nach zweimaligem Werfen erhalten wir . . .
W (a, b) ?
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Beispiel
Sei k := 2
Spieler A wählt Wort a = 00
Spieler B wählt Wort b = 10
Nach zweimaligem Werfen erhalten wir . . .
w = 00 = a, d.h. Spieler A gewinnt
W (a, b) ?
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Beispiel
Sei k := 2
Spieler A wählt Wort a = 00
Spieler B wählt Wort b = 10
Nach zweimaligem Werfen erhalten wir . . .
w = 00 = a, d.h. Spieler A gewinnt
w = 10 = b, d.h. Spieler B gewinnt
W (a, b) ?
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Beispiel
Sei k := 2
Spieler A wählt Wort a = 00
Spieler B wählt Wort b = 10
Nach zweimaligem Werfen erhalten wir . . .
w = 00 = a, d.h. Spieler A gewinnt
w = 10 = b, d.h. Spieler B gewinnt
w = 01 Spieler B gewinnt
W (a, b) ?
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Beispiel
Sei k := 2
Spieler A wählt Wort a = 00
Spieler B wählt Wort b = 10
Nach zweimaligem Werfen erhalten wir . . .
w = 00 = a, d.h. Spieler A gewinnt
w = 10 = b, d.h. Spieler B gewinnt
w = 01 Spieler B gewinnt
w = 11 Spieler B gewinnt
W (a, b) ?
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Beispiel
Sei k := 2
Spieler A wählt Wort a = 00
Spieler B wählt Wort b = 10
Nach zweimaligem Werfen erhalten wir . . .
w = 00 = a, d.h. Spieler A gewinnt
w = 10 = b, d.h. Spieler B gewinnt
w = 01 Spieler B gewinnt
w = 11 Spieler B gewinnt
W (a, b) = W (00, 10) = 3
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
Für zwei Wörter a, b ∈ {0, 1}k mit |a| = |b| sei
∗
Hab := x | a = x · y , b = y · z, |y | > 0, z ∈ {0, 1}
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
Für zwei Wörter a, b ∈ {0, 1}k mit |a| = |b| sei
∗
Hab := x | a = x · y , b = y · z, |y | > 0, z ∈ {0, 1}
Hab ist Menge aller Wörter x, so dass a = xy für ein nichtleeres
Prefix y von b.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
Für zwei Wörter a, b ∈ {0, 1}k mit |a| = |b| sei
∗
Hab := x | a = x · y , b = y · z, |y | > 0, z ∈ {0, 1}
Sei X eine Menge von Wörtern über dem Alphabet {0, 1}, so ist
X
P(X ) :=
2−|x|
x∈X
Hab ist Menge aller Wörter x, so dass a = xy für ein nichtleeres
Prefix y von b.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
Für zwei Wörter a, b ∈ {0, 1}k mit |a| = |b| sei
∗
Hab := x | a = x · y , b = y · z, |y | > 0, z ∈ {0, 1}
Sei X eine Menge von Wörtern über dem Alphabet {0, 1}, so ist
X
P(X ) :=
2−|x|
x∈X
Hab ist Menge aller Wörter x, so dass a = xy für ein nichtleeres
Prefix y von b.
P(X ) ist ”Wahrscheinlichkeit”, dass durch den fairen Münzwurf ein
Wort aus X erzeugt wird.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
Für zwei Wörter a, b ∈ {0, 1}k mit |a| = |b| sei
∗
Hab := x | a = x · y , b = y · z, |y | > 0, z ∈ {0, 1}
Sei X eine Menge von Wörtern über dem Alphabet {0, 1}, so ist
X
P(X ) :=
2−|x|
x∈X
Definiere
Pab := P(Hab )
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Satz von Conway
Satz, Conway
∀a, b Wörter über dem Alphabet {0, 1} mit Länge k ≥ 1 gilt
W (a, b) =
Dumbiri Gbenoba
Paa − Pab
Pbb − Pba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Satz von Conway
Satz, Conway
∀a, b Wörter über dem Alphabet {0, 1} mit Länge k ≥ 1 gilt
W (a, b) =
Paa − Pab
Pbb − Pba
Definition
X , Y Mengen über Wörter: X · Y := {x · y |x ∈ X , y ∈ Y }
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Satz von Conway
Satz, Conway
∀a, b Wörter über dem Alphabet {0, 1} mit Länge k ≥ 1 gilt
W (a, b) =
Paa − Pab
Pbb − Pba
Definition
X , Y Mengen über Wörter: X · Y := {x · y |x ∈ X , y ∈ Y }
Wort s ist A-Sieg wenn es b nicht enthält mit a endet
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Satz von Conway
Satz, Conway
∀a, b Wörter über dem Alphabet {0, 1} mit Länge k ≥ 1 gilt
W (a, b) =
Paa − Pab
Pbb − Pba
Definition
X , Y Mengen über Wörter: X · Y := {x · y |x ∈ X , y ∈ Y }
Wort s ist A-Sieg wenn es b nicht enthält mit a endet
Menge Sa := { s | s · a ist A-Sieg}.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Satz von Conway
Satz, Conway
∀a, b Wörter über dem Alphabet {0, 1} mit Länge k ≥ 1 gilt
W (a, b) =
Paa − Pab
Pbb − Pba
Definition
X , Y Mengen über Wörter: X · Y := {x · y |x ∈ X , y ∈ Y }
Wort s ist A-Sieg wenn es b nicht enthält mit a endet
Menge Sa := { s | s · a ist A-Sieg}.
B-Sieg und Sb analog
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
X , Y Mengen von Wörtern: X · Y := {x · y |x ∈ X , y ∈ Y }
Wort s ist A-Sieg wenn es b nicht enthält mit a endet
Menge Sa := { s | s · a ist A-Sieg}.
B-Sieg und Sb analog
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
X , Y Mengen von Wörtern: X · Y := {x · y |x ∈ X , y ∈ Y }
Wort s ist A-Sieg wenn es b nicht enthält mit a endet
Menge Sa := { s | s · a ist A-Sieg}.
B-Sieg und Sb analog
Prob(A-Sieg) = P(Sa ) · 2−k und Prob(B-Sieg) = P(Sb ) · 2−k
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
X , Y Mengen von Wörtern: X · Y := {x · y |x ∈ X , y ∈ Y }
Wort s ist A-Sieg wenn es b nicht enthält mit a endet
Menge Sa := { s | s · a ist A-Sieg}.
B-Sieg und Sb analog
Prob(A-Sieg) = P(Sa ) · 2−k und Prob(B-Sieg) = P(Sb ) · 2−k
W (a, b) = Prob(B-Sieg)/Prob(A-Sieg)
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
X , Y Mengen von Wörtern: X · Y := {x · y |x ∈ X , y ∈ Y }
Wort s ist A-Sieg wenn es b nicht enthält mit a endet
Menge Sa := { s | s · a ist A-Sieg}.
B-Sieg und Sb analog
Prob(A-Sieg) = P(Sa ) · 2−k und Prob(B-Sieg) = P(Sb ) · 2−k
W (a, b) = Prob(B-Sieg)/Prob(A-Sieg)
⇒ W (a, b) =
Dumbiri Gbenoba
P(Sb ) · 2−k
P(Sa ) · 2−k
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
X , Y Mengen von Wörtern: X · Y := {x · y |x ∈ X , y ∈ Y }
Wort s ist A-Sieg wenn es b nicht enthält mit a endet
Menge Sa := { s | s · a ist A-Sieg}.
B-Sieg und Sb analog
Prob(A-Sieg) = P(Sa ) · 2−k und Prob(B-Sieg) = P(Sb ) · 2−k
W (a, b) = Prob(B-Sieg)/Prob(A-Sieg)
⇒ W (a, b) =
Dumbiri Gbenoba
P(Sb )
P(Sa )
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
Menge der Nicht-Siege S := { s | s enthält weder a noch b}
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
Menge der Nicht-Siege S := { s | s enthält weder a noch b}
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
Menge der Nicht-Siege S := { s | s enthält weder a noch b}
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
Betrachte Wörter w = s · a, mit s ∈ S
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
Menge der Nicht-Siege S := { s | s enthält weder a noch b}
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
Betrachte Wörter w = s · a, mit s ∈ S
A-Sieg falls a vor b oder b nicht in w vorkommt
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
Menge der Nicht-Siege S := { s | s enthält weder a noch b}
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
s
a
Betrachte Wörter w = s · a, mit s ∈ S b
A-Sieg falls a vor Sbb oder b nicht
Hba in w vorkommt
s
a
a
Sa
Dumbiri Gbenoba
Haa
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
Menge der Nicht-Siege S := { s | s enthält weder a noch b}
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
Betrachte Wörter w = s · a, mit s ∈ S
A-Sieg falls a vor b oder b nicht in w vorkommt
B-Sieg sonst, also wenn b vor a auftritt
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
Menge der Nicht-Siege S := { s | s enthält weder a noch b}
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
Betrachte Wörter w = s · a, mit s ∈ S
A-Sieg falls a vor b oder b nicht in w vorkommt
B-Sieg sonst, also wenn b vor a auftritt
s
a
b
Sb
Dumbiri Gbenoba
Hba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Definition
Menge der Nicht-Siege S := { s | s enthält weder a noch b}
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
S = (Sb · Hbb ) ∪˙ (Sa · Hab )
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Beweis.
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Beweis.
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
⇒ P(S) = P(Sa · Haa ) + P(Sb · Hba )
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Beweis.
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
⇒ P(S) = P(Sa ) · Paa + P(Sb ) · Pba
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
(∗)
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Beweis.
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
⇒ P(S) = P(Sa ) · Paa + P(Sb ) · Pba
S = (Sb · Hbb ) ∪˙ (Sa · Hab )
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
(∗)
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Beweis.
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
⇒ P(S) = P(Sa ) · Paa + P(Sb ) · Pba
(∗)
S = (Sb · Hbb ) ∪˙ (Sa · Hab )
⇒ P(S) = P(Sb ) · Pbb + P(Sa ) · Pab
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
(∗∗)
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Beweis.
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
⇒ P(S) = P(Sa ) · Paa + P(Sb ) · Pba
(∗)
S = (Sb · Hbb ) ∪˙ (Sa · Hab )
⇒ P(S) = P(Sb ) · Pbb + P(Sa ) · Pab
(∗∗)
(∗)(∗∗)
z}|{
⇒ P(Sb ) · (Pbb − Pba ) = P(Sa ) · (Paa − Pab )
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Beweis.
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
⇒ P(S) = P(Sa ) · Paa + P(Sb ) · Pba
(∗)
S = (Sb · Hbb ) ∪˙ (Sa · Hab )
⇒ P(S) = P(Sb ) · Pbb + P(Sa ) · Pab
(∗∗)
(∗)(∗∗)
z}|{
⇒ P(Sb ) · (Pbb − Pba ) = P(Sa ) · (Paa − Pab )
⇒
P(Sb )
Paa − Pab
=
P(Sa )
Pbb − Pba
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis: Satz von Conway
Beweis.
S = (Sa · Haa ) ∪˙ (Sb · Hba )
⇒ P(S) = P(Sa ) · Paa + P(Sb ) · Pba
(∗)
S = (Sb · Hbb ) ∪˙ (Sa · Hab )
⇒ P(S) = P(Sb ) · Pbb + P(Sa ) · Pab
(∗∗)
(∗)(∗∗)
z}|{
⇒ P(Sb ) · (Pbb − Pba ) = P(Sa ) · (Paa − Pab )
⇒
P(Sb )
Paa − Pab
=
= W (a, b)
P(Sa )
Pbb − Pba
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Inhalt
1
Random Walk
2
Erfüllbarkeit von 2-KNF
3
Satz von Conway
4
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
5
Zusammenfassung
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
Sei . . .
G = (V , E ) gerichteter zykelfreier Graph
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
Sei . . .
G = (V , E ) gerichteter zykelfreier Graph
d(v ) Grad eines Knotens v ∈ V (Anzahl der ausgehenden Kanten)
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
Sei . . .
G = (V , E ) gerichteter zykelfreier Graph
d(v ) Grad eines Knotens v ∈ V (Anzahl der ausgehenden Kanten)
Ein Random Walk p über G der Länge k, beginnend in v0 ist . . .
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
Sei . . .
G = (V , E ) gerichteter zykelfreier Graph
d(v ) Grad eines Knotens v ∈ V (Anzahl der ausgehenden Kanten)
Ein Random Walk p über G der Länge k, beginnend in v0 ist . . .
eine Folge von Knoten p = (v0 , v1 , . . . , vk ) . . .
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
Sei . . .
G = (V , E ) gerichteter zykelfreier Graph
d(v ) Grad eines Knotens v ∈ V (Anzahl der ausgehenden Kanten)
Ein Random Walk p über G der Länge k, beginnend in v0 ist . . .
eine Folge von Knoten p = (v0 , v1 , . . . , vk ) . . .
wobei vi+1 zufällig aus den d(vi ) Nachfolgern von vi mit
Wahrscheinlichkeit d(v1 i ) ausgewählt wird.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Einführung
Definition
Sei . . .
G = (V , E ) gerichteter zykelfreier Graph
d(v ) Grad eines Knotens v ∈ V (Anzahl der ausgehenden Kanten)
Ein Random Walk p über G der Länge k, beginnend in v0 ist . . .
eine Folge von Knoten p = (v0 , v1 , . . . , vk ) . . .
wobei vi+1 zufällig aus den d(vi ) Nachfolgern von vi mit
Wahrscheinlichkeit d(v1 i ) ausgewählt wird.
Man sagt p besucht einen Knoten v , falls ein i existiert so das vi = v .
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
G = (V , E ) gerichteter zykelfreier Graph mit Wurzel v0
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
G = (V , E ) gerichteter zykelfreier Graph mit Wurzel v0
∀v ∈ V : d(v ) bekannt
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
G = (V , E ) gerichteter zykelfreier Graph mit Wurzel v0
∀v ∈ V : d(v ) bekannt
Aufgabe: Finden einer unteren Grenze für |V |
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
G = (V , E ) gerichteter zykelfreier Graph mit Wurzel v0
∀v ∈ V : d(v ) bekannt
Aufgabe: Finden einer unteren Grenze für |V |
Anwendung von Razborov, Widgerson und Yao (1997)
Wähle geeignete Untermenge U ⊆ V der Knoten, so dass jeder Pfad
ausgehend von der Wurzel v0 . . .
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
G = (V , E ) gerichteter zykelfreier Graph mit Wurzel v0
∀v ∈ V : d(v ) bekannt
Aufgabe: Finden einer unteren Grenze für |V |
Anwendung von Razborov, Widgerson und Yao (1997)
Wähle geeignete Untermenge U ⊆ V der Knoten, so dass jeder Pfad
ausgehend von der Wurzel v0 . . .
(∗)
mindestens einen Knoten aus U besucht und . . .
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
G = (V , E ) gerichteter zykelfreier Graph mit Wurzel v0
∀v ∈ V : d(v ) bekannt
Aufgabe: Finden einer unteren Grenze für |V |
Anwendung von Razborov, Widgerson und Yao (1997)
Wähle geeignete Untermenge U ⊆ V der Knoten, so dass jeder Pfad
ausgehend von der Wurzel v0 . . .
(∗)
(∗∗)
mindestens einen Knoten aus U besucht und . . .
k Knoten von einem Grad von mindestens d durchläuft,
bevor er U besucht.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Anwendung von Razborov, Widgerson und Yao (1997)
Wähle geeignete Untermenge U ⊆ V der Knoten, so dass jeder Pfad
ausgehend von der Wurzel v0 . . .
(∗)
(∗∗)
mindestens einen Knoten aus U besucht und . . .
k Knoten von einem Grad von mindestens d durchläuft,
bevor er U besucht.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Anwendung von Razborov, Widgerson und Yao (1997)
Wähle geeignete Untermenge U ⊆ V der Knoten, so dass jeder Pfad
ausgehend von der Wurzel v0 . . .
(∗)
(∗∗)
(∗)
mindestens einen Knoten aus U besucht und . . .
k Knoten von einem Grad von mindestens d durchläuft,
bevor er U besucht.
⇒ p besucht Knoten aus U mit Wahrscheinlichkeit 1
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Anwendung von Razborov, Widgerson und Yao (1997)
Wähle geeignete Untermenge U ⊆ V der Knoten, so dass jeder Pfad
ausgehend von der Wurzel v0 . . .
(∗)
(∗∗)
(∗)
(∗∗)
mindestens einen Knoten aus U besucht und . . .
k Knoten von einem Grad von mindestens d durchläuft,
bevor er U besucht.
⇒ p besucht Knoten aus U mit Wahrscheinlichkeit 1
⇒ ein ausgewähltes u ∈ U wird von p mit einer
Wahrscheinlichkeit ≤ d −k besucht
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Anwendung von Razborov, Widgerson und Yao (1997)
Wähle geeignete Untermenge U ⊆ V der Knoten, so dass jeder Pfad
ausgehend von der Wurzel v0 . . .
(∗)
(∗∗)
(∗)
(∗∗)
mindestens einen Knoten aus U besucht und . . .
k Knoten von einem Grad von mindestens d durchläuft,
bevor er U besucht.
⇒ p besucht Knoten aus U mit Wahrscheinlichkeit 1
⇒ ein ausgewähltes u ∈ U wird von p mit einer
Wahrscheinlichkeit ≤ d −k besucht
⇒ |U| ≥ d k
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Anwendung von Razborov, Widgerson und Yao (1997)
Wähle geeignete Untermenge U ⊆ V der Knoten, so dass jeder Pfad
ausgehend von der Wurzel v0 . . .
(∗)
(∗∗)
(∗)
(∗∗)
mindestens einen Knoten aus U besucht und . . .
k Knoten von einem Grad von mindestens d durchläuft,
bevor er U besucht.
⇒ p besucht Knoten aus U mit Wahrscheinlichkeit 1
⇒ ein ausgewähltes u ∈ U wird von p mit einer
Wahrscheinlichkeit ≤ d −k besucht
⇒ |U| ≥ d k und damit auch |V | ≥ d k
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse eines Wortproblems
Problem W (n, m)
Alphabet A mit |A| = n
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse eines Wortproblems
Problem W (n, m)
Alphabet A mit |A| = n
Wort x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Am Folge von m Buchstaben
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse eines Wortproblems
Problem W (n, m)
Alphabet A mit |A| = n
Wort x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Am Folge von m Buchstaben
m>n
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse eines Wortproblems
Problem W (n, m)
Alphabet A mit |A| = n
Wort x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Am Folge von m Buchstaben
m > n ⇒ x enthält zwei gleiche Buchstaben: ∃i 6= j : xi = xj
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse eines Wortproblems
Problem W (n, m)
Alphabet A mit |A| = n
Wort x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Am Folge von m Buchstaben
m > n ⇒ x enthält zwei gleiche Buchstaben: ∃i 6= j : xi = xj
Aufgabe: Finden eines doppelten Vorkommens in x
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse eines Wortproblems
Problem W (n, m)
Alphabet A mit |A| = n
Wort x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Am Folge von m Buchstaben
m > n ⇒ x enthält zwei gleiche Buchstaben: ∃i 6= j : xi = xj
Aufgabe: Finden eines doppelten Vorkommens in x
Tests der Form xi = a
(1 ≤ i ≤ n, a ∈ A)
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse eines Wortproblems
Problem W (n, m)
Alphabet A mit |A| = n
Wort x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Am Folge von m Buchstaben
m > n ⇒ x enthält zwei gleiche Buchstaben: ∃i 6= j : xi = xj
Aufgabe: Finden eines doppelten Vorkommens in x
Tests der Form xi = a
(1 ≤ i ≤ n, a ∈ A)
Einschränkung: x ist read-once
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse eines Wortproblems
Problem W (n, m)
Alphabet A mit |A| = n
Wort x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Am Folge von m Buchstaben
m > n ⇒ x enthält zwei gleiche Buchstaben: ∃i 6= j : xi = xj
Aufgabe: Finden eines doppelten Vorkommens in x
Tests der Form xi = a
(1 ≤ i ≤ n, a ∈ A)
Einschränkung: x ist read-once
Konstruieren eines Suchgraphen G = (V , E ) für W (n, m)
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse eines Wortproblems
Problem W (n, m)
Alphabet A mit |A| = n
Wort x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Am Folge von m Buchstaben
m > n ⇒ x enthält zwei gleiche Buchstaben: ∃i 6= j : xi = xj
Aufgabe: Finden eines doppelten Vorkommens in x
Tests der Form xi = a
(1 ≤ i ≤ n, a ∈ A)
Einschränkung: x ist read-once
Konstruieren eines Suchgraphen G = (V , E ) für W (n, m)
Abschätzung von |V | mittels der Anwendung von Razborov,
Widgerson und Yao
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Suchgraph G = (V , E )
Jeder Knoten (bis auf Senken) v erhält n ausgehende Kanten
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Suchgraph G = (V , E )
Jeder Knoten (bis auf Senken) v erhält n ausgehende Kanten
diese werden mit den a ∈ A beschriftet
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Suchgraph G = (V , E )
Jeder Knoten (bis auf Senken) v erhält n ausgehende Kanten
diese werden mit den a ∈ A beschriftet
Knoten (bis auf Senken) werden mit i ∈ {1, . . . , m} beschriftet
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Suchgraph G = (V , E )
Jeder Knoten (bis auf Senken) v erhält n ausgehende Kanten
diese werden mit den a ∈ A beschriftet
Knoten (bis auf Senken) werden mit i ∈ {1, . . . , m} beschriftet
Senken werden mit gültiger Lösung (i, j, a) beschriftet
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Suchgraph G = (V , E )
Jeder Knoten (bis auf Senken) v erhält n ausgehende Kanten
diese werden mit den a ∈ A beschriftet
Knoten (bis auf Senken) werden mit i ∈ {1, . . . , m} beschriftet
Senken werden mit gültiger Lösung (i, j, a) beschriftet
read-once: Kein Pfad hat zwei Knoten mit gleicher Beschriftung
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Suchgraph G = (V , E )
Jeder Knoten (bis auf Senken) v erhält n ausgehende Kanten
diese werden mit den a ∈ A beschriftet
Knoten (bis auf Senken) werden mit i ∈ {1, . . . , m} beschriftet
Senken werden mit gültiger Lösung (i, j, a) beschriftet
read-once: Kein Pfad hat zwei Knoten mit gleicher Beschriftung
Jedes Wort beschreibt Pfad in G :
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Suchgraph G = (V , E )
Jeder Knoten (bis auf Senken) v erhält n ausgehende Kanten
diese werden mit den a ∈ A beschriftet
Knoten (bis auf Senken) werden mit i ∈ {1, . . . , m} beschriftet
Senken werden mit gültiger Lösung (i, j, a) beschriftet
read-once: Kein Pfad hat zwei Knoten mit gleicher Beschriftung
Jedes Wort beschreibt Pfad in G :
ist Knoten v mit i beschriftet, so läuft Pfad in entlang der Kante
mit Beschriftung a, falls xi = a (xi wird a zugewiesen)
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Suchgraph G = (V , E )
Jeder Knoten (bis auf Senken) v erhält n ausgehende Kanten
diese werden mit den a ∈ A beschriftet
Knoten (bis auf Senken) werden mit i ∈ {1, . . . , m} beschriftet
Senken werden mit gültiger Lösung (i, j, a) beschriftet
read-once: Kein Pfad hat zwei Knoten mit gleicher Beschriftung
Jedes Wort beschreibt Pfad in G :
ist Knoten v mit i beschriftet, so läuft Pfad in entlang der Kante
mit Beschriftung a, falls xi = a (xi wird a zugewiesen)
G löst W (n, m), falls jedes Wort zu Senke mit gültiger Lösung führt
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Satz
G = (V , E ) löst W (n, m), dann gilt |V | ≥ nΩ(n)
G = (V , E ) Graph der W (n, m) löst
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Satz
G = (V , E ) löst W (n, m), dann gilt |V | ≥ nΩ(n)
G = (V , E ) Graph der W (n, m) löst
Definiere J(v ) := { a ∈ A |∃i ∈ [m] : xi = a wird auf jedem
Pfad von x0 nach v zugewiesen}
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Satz
G = (V , E ) löst W (n, m), dann gilt |V | ≥ nΩ(n)
G = (V , E ) Graph der W (n, m) löst
Definiere J(v ) := { a ∈ A |∃i ∈ [m] : xi = a wird auf jedem
Pfad von x0 nach v zugewiesen}
e = (v , u) ∈ E , dann |J(u)| ≤ |J(v )| + 1
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Satz
G = (V , E ) löst W (n, m), dann gilt |V | ≥ nΩ(n)
G = (V , E ) Graph der W (n, m) löst
Definiere J(v ) := { a ∈ A |∃i ∈ [m] : xi = a wird auf jedem
Pfad von x0 nach v zugewiesen}
e = (v , u) ∈ E , dann |J(u)| ≤ |J(v )| + 1
Bezeichne von v ausgehende Kante als legal, falls a ∈
/ J(v )
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Analyse von W (n, m)
Satz
G = (V , E ) löst W (n, m), dann gilt |V | ≥ nΩ(n)
G = (V , E ) Graph der W (n, m) löst
Definiere J(v ) := { a ∈ A |∃i ∈ [m] : xi = a wird auf jedem
Pfad von x0 nach v zugewiesen}
e = (v , u) ∈ E , dann |J(u)| ≤ |J(v )| + 1
Bezeichne von v ausgehende Kante als legal, falls a ∈
/ J(v )
es ex. kein Pfad nur aus legalen Kanten von v0 zu einer Senke
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
Definition
Random Walk p über G augehend von v0 entlang legaler Kanten.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
Definition
Random Walk p über G augehend von v0 entlang legaler Kanten.
Beweis.
p erreicht mit Wahrscheinlichkeit 0 eine Senke und . . .
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
Definition
Random Walk p über G augehend von v0 entlang legaler Kanten.
Beweis.
p erreicht mit Wahrscheinlichkeit 0 eine Senke und . . .
. . . mit Wahrscheinlichkeit 1 einen Knoten v an dem J(v ) = A gilt
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
Definition
Random Walk p über G augehend von v0 entlang legaler Kanten.
Beweis.
p erreicht mit Wahrscheinlichkeit 0 eine Senke und . . .
. . . mit Wahrscheinlichkeit 1 einen Knoten v an dem J(v ) = A gilt
Wert |J(v )| erhöht sich bei jedem Schritt von p um 0 oder 1
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
Definition
Random Walk p über G augehend von v0 entlang legaler Kanten.
Beweis.
p erreicht mit Wahrscheinlichkeit 0 eine Senke und . . .
. . . mit Wahrscheinlichkeit 1 einen Knoten v an dem J(v ) = A gilt
Wert |J(v )| erhöht sich bei jedem Schritt von p um 0 oder 1
n
⇒ p besucht Knoten v mit |J(v )| = k := d |A|
2 e = d2e
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
Definition
Random Walk p über G augehend von v0 entlang legaler Kanten.
Beweis.
p erreicht mit Wahrscheinlichkeit 0 eine Senke und . . .
. . . mit Wahrscheinlichkeit 1 einen Knoten v an dem J(v ) = A gilt
Wert |J(v )| erhöht sich bei jedem Schritt von p um 0 oder 1
n
⇒ p besucht Knoten v mit |J(v )| = k := d |A|
2 e = d2e
Bezeichne mit v ersten Knoten v in p mit |J(v )| = k
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
Definition
Random Walk p über G augehend von v0 entlang legaler Kanten.
Beweis.
p erreicht mit Wahrscheinlichkeit 0 eine Senke und . . .
. . . mit Wahrscheinlichkeit 1 einen Knoten v an dem J(v ) = A gilt
Wert |J(v )| erhöht sich bei jedem Schritt von p um 0 oder 1
n
⇒ p besucht Knoten v mit |J(v )| = k := d |A|
2 e = d2e
Bezeichne mit v ersten Knoten v in p mit |J(v )| = k
bleibt zu zeigen: ∀v mit |J(v )| = k gilt Prob(v = v ) ≤ n−Ω(n)
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
es bleibt zu zeigen: ∀v mit |J(v )| = k gilt Prob(v = v ) ≤ n−Ω(n)
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
es bleibt zu zeigen: ∀v mit |J(v )| = k gilt Prob(v = v ) ≤ n−Ω(n)
Beweis.
Sei J(v ) = {a1 , . . . , ak }
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
es bleibt zu zeigen: ∀v mit |J(v )| = k gilt Prob(v = v ) ≤ n−Ω(n)
Beweis.
Sei J(v ) = {a1 , . . . , ak }
Wähle i1 , . . . , ik so, dass alle Pfade von v0 nach v die Zuweisungen
xi1 = a1 , . . . , xik = ak vornehmen.
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
es bleibt zu zeigen: ∀v mit |J(v )| = k gilt Prob(v = v ) ≤ n−Ω(n)
Beweis.
Sei J(v ) = {a1 , . . . , ak }
Wähle i1 , . . . , ik so, dass alle Pfade von v0 nach v die Zuweisungen
xi1 = a1 , . . . , xik = ak vornehmen.
Gilt v = v
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
es bleibt zu zeigen: ∀v mit |J(v )| = k gilt Prob(v = v ) ≤ n−Ω(n)
Beweis.
Sei J(v ) = {a1 , . . . , ak }
Wähle i1 , . . . , ik so, dass alle Pfade von v0 nach v die Zuweisungen
xi1 = a1 , . . . , xik = ak vornehmen.
Gilt v = v
⇒ p hat alle Buchstaben xi1 , . . . , xik getestet bevor er v erreicht
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
es bleibt zu zeigen: ∀v mit |J(v )| = k gilt Prob(v = v ) ≤ n−Ω(n)
Beweis.
Sei J(v ) = {a1 , . . . , ak }
Wähle i1 , . . . , ik so, dass alle Pfade von v0 nach v die Zuweisungen
xi1 = a1 , . . . , xik = ak vornehmen.
Gilt v = v
⇒ p hat alle Buchstaben xi1 , . . . , xik getestet bevor er v erreicht
⇒ p muss immer richtig getestet haben
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
es bleibt zu zeigen: ∀v mit |J(v )| = k gilt Prob(v = v ) ≤ n−Ω(n)
Beweis.
Sei J(v ) = {a1 , . . . , ak }
Wähle i1 , . . . , ik so, dass alle Pfade von v0 nach v die Zuweisungen
xi1 = a1 , . . . , xik = ak vornehmen.
Gilt v = v
⇒ p hat alle Buchstaben xi1 , . . . , xik getestet bevor er v erreicht
⇒ p muss immer richtig getestet haben
⇒ p hat k-mal aus min. k legalen Kanten die ”richtige” ausgewählt
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
es bleibt zu zeigen: ∀v mit |J(v )| = k gilt Prob(v = v ) ≤ n−Ω(n)
Beweis.
Sei J(v ) = {a1 , . . . , ak }
Wähle i1 , . . . , ik so, dass alle Pfade von v0 nach v die Zuweisungen
xi1 = a1 , . . . , xik = ak vornehmen.
Gilt v = v
⇒ p hat alle Buchstaben xi1 , . . . , xik getestet bevor er v erreicht
⇒ p muss immer richtig getestet haben
⇒ p hat k-mal aus min. k legalen Kanten die ”richtige” ausgewählt
⇒ Prob(v = v ) ≤ k −k
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Beweis
es bleibt zu zeigen: ∀v mit |J(v )| = k gilt Prob(v = v ) ≤ n−Ω(n)
Beweis.
Sei J(v ) = {a1 , . . . , ak }
Wähle i1 , . . . , ik so, dass alle Pfade von v0 nach v die Zuweisungen
xi1 = a1 , . . . , xik = ak vornehmen.
Gilt v = v
⇒ p hat alle Buchstaben xi1 , . . . , xik getestet bevor er v erreicht
⇒ p muss immer richtig getestet haben
⇒ p hat k-mal aus min. k legalen Kanten die ”richtige” ausgewählt
⇒ Prob(v = v ) ≤ k −k ≤ n−Ω(n)
Dumbiri Gbenoba
Random Walks
Random Walk
Erfüllbarkeit von 2-KNF
Satz von Conway
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
Zusammenfassung
Inhalt
1
Random Walk
2
Erfüllbarkeit von 2-KNF
3
Satz von Conway
4
Random Walks zur Analyse von Suchproblemen
5
Zusammenfassung
Dumbiri Gbenoba
Random Walks