Auswahl von Testfragen zur linearen Algebra und Geometrie

UNIVERSITÄT REGENSBURG
NWF I - Mathematik
Auswahl von Testfragen zur
linearen Algebra und Geometrie
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Testfragen 1
Gegeben seien die Matrix


0 s
0
0
A = 0 0 s + 1 1 ∈ M(3 × 4, IR)
0 0
0
1
w
schicken.
und b = t (1 1 1), c = t (0 1 1) ∈ IR3 .
f
a)
Ax = 0 besitzt für s = 1 genau eine Lösung.
b)
Ax = 0 besitzt für s = 1 unendlich viele Lösungen.
c)
Für s = 0 ist L(A, b) = ∅.
d)
Für s = −1 ist L(A, b) = ∅.
e)
L(A, c) 6= ∅ für alle s ∈ IR.
Testfragen 2
Gegeben seien eine Matrix A ∈ M(m × n, IR) und ein b ∈ IRm mit b 6= 0.
Weiter seien u, v ∈ L(A, 0) und w, z ∈ L(A, b).
w f
a) w + z ∈ L(A, b).
b)
2 · w ∈ L(A, b).
c)
w − z ∈ L(A, 0).
d)
w − z ∈ L(A, b).
e)
5 · u − 3 · z ∈ L(A, 0).
f)
5 · u − 3 · v ∈ L(A, 0).
Testfragen 3
w f
a) Jeder Vektorraum hat ein eindeutig bestimmtes Nullelement.
b)
U UVR eines K-VR V ⇒ 0 ∈ U.
c)
U1 , U2 UVR eines K-VR V ⇒ U1 ∩ U2 6= ∅.
d)
V sei ein K-VR und U ⊂ V . Dann gilt:
U UVR von V ⇔ ( α) U 6= ∅ und β) λv + µw ∈ U ∀ λ, µ ∈ K, v, w ∈ U ).
e)
Die Menge U = {t (x1 , x2 ) ∈ IR2 : x21 + x22 ≤ 1} ist ein UVR des IR2 .
Testfragen 4
w f
a) Existieren λ1 , . . . , λn derart, dass λ1 v1 + . . . + λn vn = 0, so sind v1 , . . . , vn
linear unabhängig.
b)
Sei U UVR eines K−Vektorraumes V und sei dim U = 3, dann sind
v1 , v2 , v3 , v4 ∈ V linear abhängig.
c)
Sei dim U = 4 und span(u1 , u2 , u3 , u4 ) = U. Dann ist (u1 , u2 , u3 , u4 ) eine Basis
von U .
d)
Jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge von Vektoren ist linear unabhängig.
e)
Sind die Vektoren v1 , v2 , v3 eines Vektorraumes V linear abhängig, so sind
auch v1 , v2 , v3 , v4 ∈ V linear abhängig.
Testfragen 5
w f
a) U1 , U2 , U3 seien UVR eines K−Vektorraumes. Dann gilt:
dim (U1 + U2 + U3 ) = dim (U1 + U2 ) + dim (U3 ) − dim ((U1 + U2 ) ∩ U3 ).
b)
Der Zeilenraum einer Matrix A ist die Menge aller Zeilen dieser Matrix.
c)
Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Spaltenraum einer Matrix.
d)
Bei einer Matrix in Zeilenstufenform ist die Dimension des Spaltenraumes
gleich der Anzahl der Pivotelemente.
e)
U1 , U2 seien UVR von V mit der Eigenschaft V = U1 + U2 . Dann existiert für
jedes v ∈ V genau eine Darstellung der Form v = u1 + u2 mit ui ∈ Ui , i = 1, 2.
Testfragen 6
w f
a) Eine lineare Abbildung f : V → W heißt Isomorphismus, wenn V = W ist.
b)
Für jede lineare Abbildung f gilt f (0) = 0.
c)
Die Abbildung f : IR3 → IR2 , definiert durch f (t (x, y, z)) = t (x + y, 1 − z), ist
linear.
d)
K sei ein Körper. Die Abbildung f : K 2 → K 2 mit f (t (x, y)) = t (y, x) ist
linear.
e)
Sei K ein Körper und A ∈ M(4 × 3, K). Dann ist f : K 4 → K 3 , definiert durch
f (x) = t Ax, eine lineare Abbildung.
Testfragen
7

a b c
Es sei A = d e f  ∈ M(3, K), K ein Körper.
g h i
w f
d f
a c
d f
a) detA = b · det
+ e · det
+ h · det
g i
g i
a c
g i
b c
a b
b) detA = −e · det
− d · det
− f · det
a c
h i
g h
c)
det((−1) · A) = −detA
d)
detA = det tA
e)
B, C ∈ M(n, K) seien ähnliche Matrizen.
Dann gilt: det tB = detC
Testfragen 8
w f
a) Der Lösungsraum eines homogenen LGS ist ein AUR.
b)
Der Lösungsraum eines inhomogenen LGS ist ein UVR.
c)
Zwei Hyperebenen haben stets einen nicht leeren Durchschnitt.
d)
Der Durchschnitt zweier AUR ist wieder ein AUR.
e)
X = v1 + U1 und Y = v2 + U2 seien AUR. Aus X = Y folgt dann v1 = v2 .
Testfragen 9
X sei der Lösungsraum eines LGS Ax = b über einem Körper K mit A ∈ M(m × n, K).
w f
a) Ist X 6= ∅, so gilt stets dimX = n − RangA.
b)
Aus RangA = m folgt X = K n .
c)
X = ZR(A).
d)
Aus b ∈ SR(A) folgt X 6= ∅.
e)
Aus RangA = Rang(A, b) = m folgt |X| = 1.
Testfragen 10
X sei der Lösungsraum eines LGS Ax = b über einem Körper K mit A ∈ M(m × n, K).
w f
a) Für b = 0 gilt stets RangA = Rang(A, b).
b)
Universell lösbar bedeutet für ein LGS, dass X = K n ist.
c)
Aus RangA = n < m folgt |X| = 1.
d)
Das LGS Ax = b ist genau dann universell lösbar, wenn RangA = m = n ist.
e)
Ist X 6= ∅ und RangA < min{m, n}, so hat X unendlich viele Elemente.
Testfragen 11
Sei V ein K-Vektorraum, λ ∈ K und f ∈ End(V ).
w f
a) λ Eigenwert von f ⇔ f − λidV ist nicht injektiv.
b)
Ist λ ein Eigenwert von f mit algebraischer Vielfachheit 1, so besitzt f genau
einen Eigenvektor.
c)
Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes entspricht der Dimension des
dazugehörigen Eigenraumes.
d)
Die Eigenräume zu zwei verschiedenen Eigenwerten sind disjunkt.
e)
Ist f diagonalisierbar, so ist jede darstellende Matrix von f diagonalisierbar.
f)
Die Eigenräume zu zwei verschiedenen Eigenwerten haben nur den Nullvektor
als gemeinsames Element.
Testfragen 12
Gegeben seien ein K−Vektorraum V , AURe X, Y ⊂ V und ein Punkt p ∈ V \ X.
w f
a) X ∩ Y 6= ∅ ⇒ dim(X ∨ Y ) = dimX + dimY − dim(T(X) ∩ T(Y )).
b)
T(X) ∩ T(Y ) 6= ∅ ⇒ dim(X ∨ Y ) = dimX + dimY − dim(X ∩ Y ).
c)
dim({p}) = 0.
d)
dim({p} ∨ X) = dimX.
e)
X ∩ Y 6= ∅ ⇒ dim(X ∨ Y ) < dimX + dimY .
16. März 2010
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