An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich

An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung
können Sie sich noch erinnern?
Magnetfeld: Permanentmagnete und Elektromagnete
FB = qv × B
Gekreuzte Felder
Der Hall-Effekt
Geladene Teilchen auf einer Kreisbahn
r=
mv
qB
f =
qB
2π m
Zyklotron und Synchrotron
25.7 Magnetische Kraft auf einen stromdurchflossenen Draht
Der Hall-Effekt: ein Magnetfeld übt eine seitlich gerichtete
Kraft auf die Leitungselektronen in einem
stromdurchflossenen Draht aus.
Da die Leitungselektronen in das Metall eingebunden sind
und den Draht nicht seitlich verlassen können, muss diese
Kraft auf den Draht selbst wirken.
FB = qvD B
q=?
Alle Leitungselektronen im Abschnitt des Drahts
iL
q
=
it
=
durchqueren in der Zeit t = L/vD die Ebene xx. Während
vD
dieses Zeitraums bewegt sich demnach eine Ladung:
iL
FB = qvD B = vD B = iLB
FB = iL × B
vD
L bezeichnet darin einen Längenvektor vom Betrag L, parallel zum betrachteten
Drahtabschnitt und mit einer Orientierung, welche durch die konventionelle
Stromrichtung gegeben ist.
Ist der Draht nicht gerade oder das Magnetfeld nicht homogen, so
können wir uns den Draht
aufgeteilt denken in gerade Segmente der
differenziellen Länge dL
dFB = idL × B
25.8 Drehmoment auf eine stromdurchflossene Drahtschleife
4
1
F1 = −F3
n
1
Wir führen einen
Normalvektor n , der zur
Fläche der Schleife
senkrechten orientiert ist
3
3
F1 = F3 = iaB
2
a

n= A= ab
b
Die resultierende Kraft auf die Schleife ist Vektorsumme der
Kräfte, die auf die Seiten der Schleife wirken => Fges =0
b F sin θ
τ=
τ=
1
3
2
=
τ ges bF
=
sin θ baiB sin θ
 
τ ges= in × B

Betrachten wir eine Spule mit N Windungen ersetzt. Jede Windung hat die gleiche

 
Abmessung hat und alle Windungen in derselben Ebene liegen.
τ= Nin × B
ges
In einem Elektromotor wird der durch die Spule fließende Strom umgekehrt, sobald sich die

Richtung von n der Feldrichtung annähert, so dass auch weiterhin ein Drehmoment auf die
Spule wirkt.
25.9 Magnetisches Dipolmoment

µ
Man kann eine stromdurchflossene

 Spule durch einen Vektor beschreiben, das magnetische
n
µ
Dipolmoment. Die Richtung von
ist identisch mit der Richtung des Normalenvektors
.
Den Betrag µ des magnetischen Moments definiert man zu: µ = NiA
wohin
N die Windungszahl der Spule, i den Strom durch die Spule sowie A die von jeder Windung

 
der Spule umschlossene Fläche bezeichnen. Damit:
τ ges= µ × B
Diese Beziehung hat die gleiche Form wie die entsprechende Gleichung für
das auf einen elektrischen Dipol im elektrischen Feld wirkende Drehmoment:
  
τ= p × E
Ein magnetischer Dipol hat in einem äußeren Magnetfeld eine magnetische potenzielle
Energie, die von der Orientierung des Dipols relativ zum Feld abhängt. Für dieentsprechende

Energie eines elektrischen Dipols haben wir:
U (θ ) =
− pE cos θ =
− pE
Analog dazu kann man die magnetische potenzielle Energie in der

Form
schreiben.
−µ B =
− µ B cos θ
U (θ ) =
Die SI-Einheit für das
magnetische Dipolmoment: J/T
26. Magnetfelder aufgrund von Strömen
26.1 Das Magnetfeld eines Stroms
Wir suchen das Feld В an einem Punkt P in der Nähe eines
beliebig geformten Leiter, der einen Strom i führt.
Dazu zerteilen wir zunächst den Leiter in differenzielle
Längen-Elemente ds und definieren für jedes LängenElement einen Vektor ds, der einen Betrag ds besitzt und
in die Richtung des Stroms i in diesem Längen-Element
zeigt. Dann definieren wir ein differenzielles StromLängen-Element ids und berechnen das Magnetfeld am
Punkt P, das von einem solchen Strom-Längen-Element
hervorgerufen wird.

Die Feldstärke dB des Magnetfelds am Punkt P aufgrund
eines Strom-Längen-Elements i ds ist:
Biot-Savartsches Gesetz
 µ0 ds × r
dB =
i 3
4π
r
µ0 bezeichnet eine Naturkonstante, die Vakuumpermeabilität, deren Wert genau gleich:
−7
µ=
4
π
⋅
10
Tm A
0
Das Magnetfeld eines Stroms in einem langen geraden Leiter
Das magnetische Feld in einem Abstand R von einem unendlich
langen geraden Leiter, der einen Strom i führt ist:
µ 0i
B=
2π R
An jedem Punkt steht das Feld senkrecht auf der
radialen Linie, die den betrachteten Punkt und den Strom verbindet.
µ0 ∞ ds sin θ µ0 ∞ ds sin θ
B ∫=
dB
i∫
i∫
=
=
2
R
4π −∞ r
2π 0 r 2
sin θ =
∞
∞
∞
r

µ0
µ 0i 
µ 0i
ds µ0
ds
s
B =
iR ∫ 3
iR ∫ =
=
=
2π 0 r
2π 0 s 2 + R 2 3 2 2π R  s 2 + R 2 
2π R
(
)
0
Das Magnetfeld eines Stroms in einem Kreisbogen
µ0i ds
µ 0i
µ0i
µ0iφ
=
B ∫=
dB
=
=
ds
=
Rφ
2
2 ∫
2
∫
4π R
4π R
4π R
4π R
Das Feld in der Mitte eines kreisförmigen Stroms (φ=2π):
B=
µ0i
2R
26.2 Die Kraft zwischen parallelen Strömen
Wir berechnen die Kraft auf Leiter b aufgrund des Stroms
in Leiter a.
Der Strom erzeugt ein Magnetfeld Ba, das für die
beobachtete Kraft verantwortlich ist.
µ0ia
=
B
Die Feldstärke von Ba :
a
2π d
Die Kraft Fba auf einen Abschnitt der Länge L eines Leiters b aufgrund eines Felds Ba
µii
Fba = ib L × Ba
Fba ib=
LBa L 0 b a
=
2π d
Die Kraft zwischen zwei Strömen in parallelen Leitern ist die Grundlage für die Definition
der SI-Einheit der Stromstärke, das Ampere.
26.3 Das Amperesche Gesetz
In der Elektrostatik können wir das elektrische Feld einer beliebigen
Ladungsverteilung mithilfe des Coulomb-Gesetzes berechnen. Alternativ gibt es das
Gaußsche Satz, das für die Situationen mit planaren, Zylinder- oder Kugelsymmetrie
anwendbar ist.
Analog des Gaußschen Satzes für Magnetismus ist das Amperesche Gesetz:
 
∫ Bds =µ0ium
Das Skalarprodukt Вds berechnet man entlang einer
geschlossenen Schleife. Der Strom ium ist der von dieser
Schleife umschlossene Strom.
Das Magnetfeld um einen langen stromführenden Leiter
Wir legen, eine kreisförmige Schleife konzentrisch um den Leiter.
Das Magnetfeld В besitzt dann an allen Punkten entlang der
Schleife denselben Betrag B.
 
µ 0i
∫ Bds =B ⋅ ∫ ds =B ⋅ 2π r =
µi
⇒ B=0
2π r
Das Magnetfeld in einen langen stromführenden Leiter
Wir betrachten einen langen geraden Leiters mit Radius R, in
dem ein Strom homogen über die Querschnittsfläche des
Leiters verteilt ist. Hier verwenden wir eine konzentrisch
angeordnete kreisförmige Schleife mit einem Radius r < R
 
µ 0i
π r2 ⇒ B =
r
µ0ium
ium =
i
2
2
∫ Bds =B ⋅ ∫ ds =B ⋅ 2π r =
2π R
πR
Innerhalb des Leiters ist die Feldstärke proportional zu r; sie ist im Zentrum null und an der
Oberfläche des Leiters (für r = R) maximal.
26.4 Zylinder- und Ringspulen
Das Magnetfeld einer Ringspule
Ein Toroid ist eine Ringspule, die man als Zylinderspule
denken kann, deren Enden zu einem schwimmringähnlichen
Gebilde zusammengebogen sind.
 
∫ Bds = B ⋅ ∫ ds = B ⋅ 2π r = µ0 Ni
B=
µ0 Ni
2π r
R1 < r < R2
Wählt man die Schleife außerhalb des Toroides, ist das
Magnetfeld null.
R2
R1
Das Magnetfeld einer Zylinderspule
Eine lange, spiralförmig gewickelte Spule
nennen wir Solenoid oder auch Zylinderspule
Im Grenzfall einer idealen Zylinder spule, die unendlich lang ist und aus dicht
gepackten Windungen eines Leiters mit quadratischem Querschnitt besteht, ist das
Feld im Inneren der Spule homogen und parallel zur Zylinderachse.
Eine unendliche Zylinderspule ist ein Grenzfall eines Toroides: R1 und R2 =>∞. D.h.: das
Magnetfeld außerhalb einer Zylinderspule ist null
  b   c   d   a  
∫ Bds =∫ Bds + ∫ Bds + ∫ Bds + ∫ Bds = Bh
a
b
c
d
Der von der Schleife umschlossene Gesamtstrom ist nicht gleich
dem Strom i durch die Windungen der Spule, da die Windungen
mehrmals durch die Fläche der Schleife hindurchtreten.
Wenn n die Zahl der Windungen der
ium = inh ⇒ B = µ0ni
Zylinderspule pro Längeneinheit ist:
26.5 Eine stromführende Spule als magnetischer Dipol
Jetzt berechnen wir uns das Feld einer einfachen Spule, in der ein
Strom fließt (Kreisstrom).
Eine solche Spule verhält sich
 im Magnetfeld wie ein magnetischer


Dipol:
τ ges= µ × B
Betrachten wir zunächst nur Punkte entlang der zentralen Achse
 µ0 ds × r µ0 ds
der Spule (z-Achse).
dB
=
i
i 2
=
3
4π
4π r
r
Aus Symmetriegründen muss die Vektorsumme aller senkrechten
Komponenten aufgrund aller Längen-Elemente ds der Schleife null sein.
Damit bleiben nur die Komponenten parallel zur Achse der Schleife übrig:
µ ds
µ0 i
µ0 i R
B =
cos
ds
2π R
α
dB = 0 i 2=
cos α
2
2
∫

4
r
4
r
r
π
π
4π r

2

µ
µ
2
µ0i
R
1
0
µ
=
iA
=
i
π
R
B
=
B
=
∝
3
2π z 3
2
2
2 2
z3
(z
+R )
Eine stromdurchflossene Spule verhält sich wie ein magnetischer Dipol:
(1) Auf sie wirkt ein Drehmoment, wenn sie in ein äußeres Magnetfeld В gebracht wird.
(2) Sie erzeugt ihr eigenes Magnetfeld, das für Punkte auf der zentralen Achse der Spule
durch wie ein magnetischer Dipol