Staatsexamensklausur Mathematik für L2, L5 und Wahlfach L1

Staatsexamensklausur Mathematik für L2, L5 und Wahlfach L1
18. März 2010
Bitte nehmen Sie für jede Aufgabe gesonderte Blätter. Schreiben Sie Ihren Namen leserlich
auf jedes benutzte Blatt, nummerieren Sie die Blätter sinnvoll, und lassen Sie an beiden
Seiten Ränder zum Abheften bzw. für die Korrektur.
Bedenken Sie bitte, dass Ihre Darstellungs- und Ausdrucksweise mitbewertet wird. Längere Texte sind nicht unbedingt besser!
Es werden nur zwei c-Teile gewertet; bearbeiten Sie nicht unnötig mehr als zwei.
Name:
Aufgabe 1: Zahlen
(a) Schreiben Sie die als Dezimalbruch geschriebene Zahl
13, 375
zunächst als gewöhnli-
chen Bruch und dann in Kommaschreibweise im Binärsystem und im 8ersystem!
(b) Schreiben Sie die als periodischen Dezimalbruch gegebene Zahl
0, 142857 zunächst als
gewöhnlichen Bruch und dann in periodischer Kommaschreibweise im Binärsystem
und im 8ersystem!
(c) Sei
mit
n > 0 eine natürliche Zahl, im Zehnersystem mit m10
m2 Stellen geschrieben. Beweisen Sie
Stellen und im Binärsystem
3m10 − 2 ≤ m2 ≤ 4m10 .
m −1
Tipp: Folgern Sie aus 10 10
≤ n < 10m10 und 2m2 −1
m10
4m10
10
<2
und weiter die behauptete Ungleichung.
≤ n < 2m2
zunächst
2m2 −1 <
Aufgabe 2: Analysis
(a) Die Funktion
f :R→R
sei gegeben durch

 −x2
−x + 1
f (x) :=
 √
2
x
für
für
für
−∞ < x ≤ 0
0<x<1
1 ≤ x < ∞.
Entscheiden Sie, ob f auf ganz R umkehrbar ist und geben Sie ggf. die Umkehrfunk−1
tion f
explizit an (wie oben f ).
(b) Sei
g : R → R eine monoton fallende, bijektive Funktion. Zeigen Sie, dass die Umg −1 streng monoton fallend ist, d.h. g −1 (y1 ) > g −1 (y2 ) für alle y1 < y2 .
kehrfunktion
(c) Sei
g : R → R
nun eine stetige und injektive Funktion. Zeigen Sie, dass
g
streng
monoton ist (also entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend).
Tipp:
Zu (c): Nehmen Sie an, dass
g nicht
monoton ist (also weder monoton wachsend
noch monoton fallend). Dies bedeutet, dass es
g(c) < g(d). Begründen Sie, dass daraus die
g(x) < g(y) > g(z) oder g(x) > g(y) < g(z).
a<b
und
c < d gibt mit g(a) > g(b) und
x < y < z folgt mit entweder
Existenz von
Aufgabe 3: Stochastik
(a) Die Gewichte der Binomialverteilung sind
n k
b(k; n, p) =
p (1 − p)n−k
k
n
für
k = 0, 1, . . . , n .
Woher kommt der Faktor
? Beschreiben Sie eine Situation, in der eine binomialk
verteilte Zufallsvariable auftritt.
p wird unabhängig wiederholt,
Tk , zu dem der k -te Erfolg eintritt. Es gilt
n − 1 k−1
P(Tk = n) =
p (1 − p)n−k p für n = k, k + 1, . . .
k−1
(b) Ein Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit
bis zu
dem zufälligen Zeitpunkt
Begründen Sie das, erst für
k=1
und 2 und dann allgemein.
(c) Ein System kann zwei Zustände 0 und 1 annehmen, das es schrittweise verändert.
Dabei wird in jedem Schritt der Zustand mit Wahrscheinlichkeit
p
gewechselt, und
q = 1 − p beibehalten. Wir starten im Zustand
Wahrscheinlichkeit wn , nach n Schritten in 0 zu sein, durch
mit Wahrscheinlichkeit
dass die
wn =
0. Zeigen Sie,
1 1
+ (q − p)n
2 2
gegeben ist. Stellen Sie dazu Gleichungen für
wn
auf. Begründen Sie weiter:
wn
ist
auch die Wahrscheinlichkeit, dass eine binomial(n, p)-verteilte Zufallsvariable einen
geradzahligen Wert annimmt.
Aufgabe 4: Geometrie
Einem Würfel
W
kann man genau zwei reguläre Tetraeder
41 , 42
einschreiben, deren
Kanten Diagonalen von Würfelseiten sind.
◦
(a) Man zeichne ein 30 -Schrägbild des Sternkörpers
und
42
durch
verschiedene Farben
41 ∩ 4 2
(c) Wie kann man bei gegebenem
Ecken von
42
(und damit
W)
41
wobei die Tetraeder
zu unterscheiden sind und die
berücksichtigt werden soll. (Kantenlänge von
(b) Beschreibe den Durchschnitt
41 ∪ 4 2 ,
W = 10
41
Sichtbarkeit
cm).
und bestimme sein Volumen.
ohne Verwendung des Würfels
W
die Kanten und
rekonstruieren?
Löse damit die Aufgabe, zu einem auf der Grundrissebene stehenden regulären Tetraeder
4ABCD
einen Würfel
W
Diagonalen von Seitenächen von
√
A(5, 0), B(5 + 4 3, 4), C(5, 8)
zu konstruieren, sodass die Kanten von
W
sind
gegeben.
.
Die Grundäche von
4ABCD
4ABCD
sei durch
Abbildung 1: Koordinatensystem zu Aufgabe 5
Aufgabe 5: Didaktik
Im Folgenden seien
diese Aufgabe mit
7
B1 := 12
, B2 := 37 , B3 := ab , B4 := ab , a, b, c, d ∈ N. Auÿerdem werde für
⊕ die falsche Bruchaddition bezeichnet, d. h. Zähler+Zähler durch
Nenner+Nenner.
(a) Tragen Sie bitte
B1
und
B2
in das Koordinatensystem ein, und überlegen Sie, welche
Brüche zu den Bruchzahlen von
B , die zwischen B1
und
B2
B1
und
B2
gehören. Markieren Sie dann alle Brüche
liegen , d.h. für die
B2 < B < B1
gilt. Und beantworten
Sie schlieÿlich die folgende Frage mit einer mathematisch einwandfreien Begründung:
Warum liegt
B3 ⊕ B4
a, b , c
gegeben sind?
und
d
immer zwischen
B3
und
B4 ,
egal wie die positiven natürlichen
(b) Kann man durch geschicktes Kürzen oder Erweitern von
chen, dass beliebige Brüche
B3 ,
die zwischen
B1
und
B2
B1
und/oder
B2
stets errei-
liegen, in der Form
B1 ⊕ B2
darstellbar werden?
(c) In Kontexten, die umgangssprachlich mit ... pro ... ausgedrückt werden, macht die
falsche Bruchaddition oft Sinn. Finden Sie drei Beispiele aus wesentlich verschiedenen Lebens- oder Wissenschaftsbereichen, und erläutern Sie jeweils den positiven
Sinn der falschen Bruchaddition für diesen Anwendungsbereich.