Thermodynamik Formelsammlung

Thermodynamik
Molmasse
pv
=R
T
 kg 
 mol 
m
M=
n
pV
= mR
T
pv
J
= R = 8314
T
kmol K
Avogadrokonstante
N L = 6,02217 ⋅ 1023
Teilchen
mol
Zustandsänderungen
isochor (V const.)
Massenstrom
.
m=
m
= ρAc = const . c : Geschwindi gkeit
τ
isobar (p const.)
massenspezifisches Volumen (spezifisches Volumen)
V 1
v= =
m ρ
pV m
= R = MR = R
Tn
n
isotherm (T const.)
 m3 
 kg 
 
p1 p 2 p
=
= = const
T1 T2 T
v1 v2 v
=
= = const
T1 T2 T
v1 p1 = v2 p 2 = vp = const
potentielle Energie
E p 2 − E p 1 = mg ( z 2 − z1 )
molspezifisches Volumen (Molvolumen)
v=
V
n
 m3 
 kmol 


kinetische Energie
 c2 c 2 
Ek 2 − Ek 1 = m 2 − 1 
2
2
Rankine Temperatur
9
°R
TR = ⋅ T ⋅
5
K
Volumenänderungsarbeit
V2
Wv12 = − ∫ pdV
Fahrenheit Temperatur
°C zu °F
°F zu °C
ideale Gasgleichung
V1
9 °F
tF = t ⋅ ⋅
+ 32° F
5 °C
5 °C
t = (t F − 32° F ) ⋅ ⋅
9 °F
Christian Schneider MB99A
spezifische Volumenänderungsarbeit
v2
wv12 = − ∫ pdv
v1
1
v2
p
= RT1 ln 2
v1
p1
= − p(v2 − v1 ) = − R(T2 − T1 )
isotherm
wv12 isoth = − RT1 ln
isobar
wv12 isob
BA Mosbach
wv12 isoch = 0
isochor
Reversible adiabate Zustandsänderung
cv
 T2  R
 
 T1 
Gesamtarbeit
v2
w12 = wv12 + wR12 = − ∫ pdv + wR12
+1
R
T2  p 2  c v + R
= 
T1  p1 
p
= 2
p1
κ
v
p
  = 0
p
 v0 
κ −1




p κ
wt = c p  2  − 1
 p1 



v1
Gesamtarbeit bei reversiblen Prozessen
v2
w12 rev = − ∫ pdv
technische Arbeit
p2
wt 12 = ∫ vdp + wR12 +
v1
Der 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme
p1
v2
U 2 − U1 = W12 + Q12 = − ∫ pdV + WR12 + Q12
c22 c12
− + g (z 2 − z1 )
2
2
Druckänderungsarbeit
v1
p2
v2
p1
v1
∫ vdp = − ∫ pdv + p v
oder bezogen auf die Systemmasse
2 2
v2
u 2 − u1 = w12 + q12 = − ∫ pdv + wR12 + q12
− p1 v1
Definition des 1. HS für offene Systeme
v1
c12
c22
h1 + + wt 12 + q12 = h2 +
2
2
kalorische Zustandsgleichung
 ∆u 
 ∆u 
du = 
 dT + 
 dv
 ∆T  v
 ∆v T
 ∆u 
cv = 
 = cv (T , v ) 29.11.2000
 ∆T  v
∆u = cv (T2 − T1 ) bzw. ∆u = c p (T2 − T1 )
Enthalpie
h = u + pv = u + RT
h = cp T
Wärmekapazität
q12 rev,isobar = c p (T2 − T1 )
h (T ) = c p (T − T0 ) + h0
innere Arbeit
Wi 12 + p1V1 − p2V2 = U 2 − U1
Mischtemperaturen S.52 ff.
adiabat, geschlossenes System
Dissipation (Reibarbeit), falls vorhanden ist der Vorgang irreversibel
Christian Schneider MB99A
2
BA Mosbach
Rechnen mit Wärmekapazitäten
Kreisprozesse
∑w
c p = cv + R
= −∑ qik = wt
t ik
Nutzarbeit
wR = ∑ wRik
Isentropenexponent
c
κ= p
cv
κR
cp =
κ −1
R
cv =
κ −1
w<0
w>0
thermischer Wirkungsgrad:
ηth =
mittlere spezifische Wärmekapazität
T2
pm T
1
∫ c (T )dT
T1
T2 − T1
[c ] = [c ]
t2
εW P =
p
=
t2
pm 0 °
pm t
1
einatomige Gase:
zweiatomige Gase:
[ ]
⋅ t2 − c pm
t2 − t1
∑q
∑q
ik
=
∑q
zu
Leistungsziffer der Wärmepumpe
T2
[c ]
− wt
=
∑ qzu
t1
0°
∑q
ab
− wt
=
∑q
∑q
ab
=
ik
+ ∑ qab
=1−
∑ qzu
zu
∑q
∑q
ab
ab
+ ∑ q zu
∑q
∑q
ab
zu
1
=
1+
∑q
∑q
zu
ab
⋅ t1
Leistungsziffer der Kältemaschine
εKM =
∑q
zu
wt
3
R
2
5
cv = R
2
cv =
Christian Schneider MB99A
3
BA Mosbach
Ideale Gase
Berechnung der Wärmen polytroper Zustandsänderungen
Polytrope Zustandsänderungen mit idealen Gasen
q12 + w12 = cv
n −κ
(T − T )
n −1 2 1
n −κ
q12 + w12 = c p
(T2 − T1 )
( n − 1)κ
pv n = p0 v0n
n
p  T  n −1
= 
p0  T0 
T  v0 
= 
T0  v 
n −1
Falls die Reibungsarbeit bei einem reversiblen oder die Wärme bei einem adiabaten Prozess
vernachlässigt werden dürfen, kann man Reibungsarbeit und Wärmezufuhr trennen.
Berechnungen der Arbeiten polytroper Zustandsänderungen
wR12ad = q12 rev = cv
n −1


v2
RT1  p2  n
R
  − 1 =
− ∫ pdv =
(T − T ) = w12 − wR12 = wv12
 n −1 2 1
n − 1  p1 
v1


n −1


p2
nRT1  p 2  n
nR
∫p vdp = n − 1  p1  − 1 = n − 1 (T2 − T1 ) = wt12 − wR12
1


n −κ
(T − T2 )
n −1 2
Sonderfälle:
q12 isobar = c p (T2 − T1 ) − wR12
q12 isochor = cv (T2 − T1 ) − wR 12
q12 isotherm = − w12isotherm = RT1 ln
v2
p
− wR 12 = − RT1 ln 2 − wR 12
v1
p1
Gesamtarbeiten
w12isobar = − p (v 2 − v1 ) + wR12
w12isotherm = − RT1 ln
v2
p
+ wR12 = RT1 ln 2 + wR12
v1
p1
w12isochor = wR12
Reibungsarbeiten, adiabat
wR12ad = cv
n −κ
(T2 − T1 ) = w12 ad n − κ
n −1
n −1
Christian Schneider MB99A
4
BA Mosbach
Entropie
Äs
Äs
Äs
=
>
<
0
0
0
Prozesse in offenen Systemen
reversibel, kann von allein in beiden Richtungen ablaufen
irreversibel, kann von allein nur in eine Richtung ablaufen
von allein unmöglich, außer es wird von außen Energie zugeführt
s2 − s1 = cv ln
Adiabate Strömung (wt12 = 0 und q12 = 0)
c22
c12
h2 +
= h1 +
2
2
T2
v
T
p
+ R ln 2 = c p ln 2 − R ln 2
T1
v1
T1
p1
Totalenthalpie
c2
ht = h +
2
polytrope Zustandsänderungen
s2 − s1 = cv ln
s2 − s1 = c p ln
T2 n − κ
T n −κ
= c p ln 2
T1 n − 1
T1 (n − 1)κ
Nichtadiabate Strömung (wt12 = 0)
T2  n(κ − 1)
p  (n − 1)κ 
1−
= R ln 2 
−1


T1  (n − 1)κ 
p1  (κ − 1)n 
q12 = h2 − h1 +
c22 c12
− = ht 2 − ht1
2 2
Adiabate Strömung
Isotherme, isobare und isochore Zustandsänderungen
c2 = 2(h1 − h2 ) + c12
(s 2 − s1 )isotherm = R ln v2
Adiabate Arbeitsprozesse (q12 = 0)
v1
(s 2 − s1 )isobar = c p ln T2
T1
(s 2 − s1 )isochor = cv ln T2
T1
= − R ln
p2
p1
wt 12ad = h2 − h1 +
c22 c12
− = ht 2 − ht 1
2 2
wt 12ad = c p (T2 − T1 )
für ideale Gase
adiabate polytrope Arbeit
Der Carnot-Kreisprozeß
wt 12ad
Der thermische Wirkungsgrad
T − T0
T
ηth C =
=1− 0
T
T
n −1


κR  p2  n


=
T1   − 1

κ − 1  p1 


adiabate, reversible, polytrope Arbeit
Leistungsziffer einer Wärmepumpe
εW PC
T
=
T − T0
Christian Schneider MB99A
wt 12rev,ad
5
κ −1


κR  p2  κ
= wt12isentrop =
T   − 1 = c p T2 is − T1

κ − 1 1  p1 


(
)
BA Mosbach
Isentroper Wirkungsgrad, Verdichter- und Turbinenarbeit
für Verdichter
Für Verdichter ηV
=
wt 12V
is
wt 12V
und Turbinen ηT
=
wt12T
is
κ −1


κR T1  p2  κ
  − 1
=

κ −1 ηV  p1 


Isotherm:
κ −1




κR
p2 κ

=
T1ηT   − 1
 p1 

κ −1


T
=
κ(n − 1)
n(κ − 1)
c22 c12
−
= ht 2 − ht 1
2
2
c 22 c12
wt12isoth + q12 isoth =
−
2
2
wt12isoth = −q12isoth = w12isoth
s2
Reversibel
wt12 rev,isoth = − q12 rev,isoth = ∫ Tds = T (s 2 − s1 ) = wv12rev,isoth
s1
Reibungsarbeit, Mehraufwand bei Kompression und Verlust bei Expansion, Polytroper Wirkungsgrad
Adiabate Reibungsarbeit
wR12ad
für Turbine ηpoly
wt12 + q12 = h2 − h1 +
Expansion bei der Turbine
wt12T
n(κ −1)
κ(n −1)
Nichtadiabate Arbeitsprozesse
wt 12T
Aufwand für die Kompression im Verdichter
wt12V
ηpolyV =
 n(κ −1)
= wt 12ad 1 −

 κ(n −1)
wt12isoch = v ( p2 − p1 ) + wR12 +
Reversibel
wt12rev,isoch
Isobar
wt12isob = wR12 +
Reversibel
wt12rev,isob = 0
Mehraufwand gegenüber isentroper Kompression
∆wt 12V = h2 − h2 is = wt 12V − wt 12V
is
c22 c12
−
2
2
= v( p 2 − p1 ) = R(T2 − T1 )
Isochor:
c22 c12
−
2
2
Verlust gegenüber isentroper Expansion
∆wt 12T = h2 − h2 is = wt12T − wt12T
is
Wirkungsgrad
Verdichter ηV
= 1−
∆wt12V
wt12
und Turbine ηT
=1 −
∆wt 12T
wt12
Polytroper Wirkungsgrad
ηpoly = 1 −
wR 12
wt 12
Christian Schneider MB99A
6
BA Mosbach