Höhere Experimentalphysik 2 - Goethe
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Höhere Experimentalphysik 2 Institut für Angewandte Physik Goethe-Universität Frankfurt am Main 15. Vorlesung 26.05.2017 Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Phasendiagramm Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Saha-Eggert-Gleichung und Ionisationsgrad Die Saha-Gleichung beschreibt das Ionisationsgleichgewicht für Elektronen, Ionen und Atome im thermischen Gleichgewicht in Abhängigkeit von der Temperatur und dem „Elektronendruck“ dabei gibt z die Ionisationsstufe an und die g-Faktoren (statistische Gewichte) zählen die Zustände, welche bei gegebenen n jeweils die gleiche Energie besitzen (Entartung der Energieniveaus bei Wasserstoff ). Anstelle des Verhältnisses von ionisierten Atomen zu neutralen Atomen ist es oftmals anschaulicher den jeweiligen Anteil in Bezug auf alle Atome des Elements in einem Gas anzugeben. Im Ionisationsgleichgewicht gilt und I Ionisationsstufe (I neutral, II 1. Ionisationsstufe) Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Saha-Eggert-Gleichung und Ionisationsgrad Der Ionisationsgrad a wird damit definiert zu Dieser Wert ist gleich 1, wenn das Gas vollständig ionisiert ist und gleich 0, wenn da Gas nur aus neutralen Atomen besteht. Es folgt und Damit kann man die Saha-Gleichung auf folgende Form bringen: Der Ionisierungsgleichgewicht bzw. der Ionisationsgrad bestimmt die Dominanz bestimmter Wechselwirkungsprozesse! Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Beispiele für schwach- und hochionisierte Gase • Schwach-ionisiertes Plasma z. B. Gasentladungen • Hoch-ionisiertes Plasma z.B. Sonnenatmosphäre (H-Plasma, Pe=20 Pa), Fusionsplasmen Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Wirkungsquerschnitt, mittlere freie Weglänge und Stoßzeit Es gibt verschiedene Arten von Stößen in Plasmen und in jedem Fall sind Impuls und Energie erhalten. Generell unterscheidet man zwischen 1. elastischen Stößen, bei denen nur kinetische Energie ausgetauscht wird, so dass z.B. ein Atom im selben energetischen Zustand verweilt d.h. die innere Energie ist erhalten 2. inelastische Stößen, bei denen eines oder beide Wechselwirkungspartner ihren energetischen Zustand ändern z.B. bei Anregungs- oder Ionisationsprozessen d.h. die innere Energie ändert sich Ein Wirkungsquerschnitt s d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass die betrachtete Wechselwirkung stattfindet, kann für jeden möglichen Stoßprozess definiert werden. Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Wirkungsquerschnitt, mittlere freie Weglänge und Stoßzeit Stößt eines der Teilchen auf ein Gasmolekül so wird es aus der Menge N0 entfernt. Die Teilchenverluste –dN auf einer Wegstrecke dx ist proportional der Anzahl N(x) der bei x ankommenden Teilchen ist: n Mit N(0)=N0 erhalten wir nach Integration N0 N(x) die Anzahl der Teilchen die die Strecke stoßfrei durchflogen haben. Die Strecke die stoßfrei durchflogen wird, d.h. die mittlere freie Weglänge, ist demnach: Erwartungswert Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Wirkungsquerschnitt, mittlere freie Weglänge und Stoßzeit Die mittlere Zeit zwischen zwei Stößen lässt sich definieren als wobei die mittlere Geschwindigkeit ist. Die Stoßfrequenz d.h. der Kehrwert der Stoßzeit wird normalerweise über den Mittelwert der Geschwindigkeiten innerhalb der Maxwell-Verteilung angegeben, so dass gilt: Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Vergleich von Stoßprozessen im Plasma Der Wirkungsquerschnitt für einen elastischen Stoß zwischen einem Elektron und einem Atom kann grob abgeschätzt werden zu Bohrscher Radius: Bewegt sich das Elektronen allerdings auf ein Ion zu, erfährt es eine anziehende Coulomb-Kraft 𝐹𝑒 = −𝑒 2 /4𝜋𝜀0 𝑟 2 , welche das Elektron in Richtung Ion ablenkt. Diese Vorgang kommt einem Stoß sehr nahe und man spricht daher auch von Coulomb-Stößen. Der Wirkungsquerschnitt für den Coulomb-Stoß des Elektrons mit dem Ion ist ungefähr wobei b die kürzeste mögliche Distanz zwischen Elektron und Ion darstellt. Vergleicht man nun Coulomb-Stöße si und Stöße mit Atomen sn so stellt man schnell fest, dass schon ab einem sehr niedrigen Ionisierungsgrad (>10-3) des Plasmas die Coulomb-Stöße den dominierenden Wechselwirkungsprozess im Plasma darstellen. Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Stoßprozesse in vollständig ionisierten Plasmen Coulomb-Stöße Der Ablenkwinkel eines Elektrons in der Nähe eines deutlich schweren Teilchens ist gegeben durch: Für Winkel von q=90° kann der Wert des Stoßparameters b durch angegeben werden. Also ist der Stoßquerschnitt für die 90° Ablenkung gegeben durch: Allerdings kann man annehmen das der effektive Wirkungsquerschnitt für die CoulombStreuung deutlich größer als der angegebene ist, denn hier sind nur Großwinkelkollisionen berücksichtigt worden. Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Stoßprozesse in vollständig ionisierten Plasmen Coulomb-Stöße Um den kumulativen Effekt von vielen Kleinwinkelstößen zu untersuchen, betrachtet man ein Elektron, dass sich mit einer Geschwindigkeit von v in z-Richtung bewegt und mehrere Kleinwinkelstöße vollzieht. Bei jedem Stoß erfährt das Elektron kleine Änderungen in den Geschwindigkeitskomponenten. Da es allerdings keine Vorzugsrichtung der Streuung gibt, heben diese sich gerade im Mittel auf: Aber die mittleren Quadrate nicht Für großwinkelige Coulomb-Kollisionen gilt . Mithilfe von einigen trigonometrischen Umformungen kann dies umformen zu: Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Stoßprozesse in vollständig ionisierten Plasmen Coulomb-Stöße Wenn ein einzelnes Elektron eine Kleinwinkel-Streuung vollzieht, kann das beschrieben werden durch: Wenn jetzt dieses Elektron in einer bestimmten Zeit dt und Flugstrecke v dt weitere Ablenkung durch Ionen mit Stoßparametern zwischen b und b+db erfährt ( Integration über Stoßparameter), verändert sich seine transversale Geschwindigkeit im Mittel zu (Differentiation nach der Zeit) Integration von b=0 bis bmax und Substitution mit y=1+(b/b0)2 führt zu (falls L bmax/b0>>1) Anzahl der Ionen, an denen Elektronen vorbeifliegen: Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Stoßprozesse in vollständig ionisierten Plasmen Coulomb-Stöße Aufgrund der Energieerhaltung verringert sich nach dem Stoß die longitudinale Geschwindigkeitskomponente und es treten die senkrechten Geschwindigkeitskomponenten auf, so dass gilt bzw. mit Man kann die longitudinale Komponente angeben zu: Mithilfe dieser Beziehung kann man nun eine Stoßrate in Bezug auf den Impulsverlust bei Elektronen-Ionen-Stößen ableiten: Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Stoßprozesse in vollständig ionisierten Plasmen Coulomb-Stöße – Abschätzung für L In einem quasineutralen Plasma ist das Coulombpotential für Stoßparameter, welche größer als die Debye-Länge λD sind, abgeschirmt. Man kann daher in erster Näherung annehmen, dass nur Stoßparameter b λD vorkommen. Deshalb gilt -3 n/m T / eV ln L Sonnenwind 107 10 26 Van Allen Gürtel 109 102 26 Ionosphäre 1011 10-1 14 Sonnenkorona 1013 102 21 Gasentladung 1016 1 12 Fusionsreaktor 1020 104 18 Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Stoßprozesse in vollständig ionisierten Plasmen Coulomb-Stöße – Vergleich Klein-und Großwinkelstöße Der totale Wirkungsquerschnitt für die Elektronenstreuung an massiven Ionen kann nun aus der Beziehung errechnet werden. Deshalb gilt Im Vergleich zum 90° Wirkungsquerschnitt ist der Wirkungsquerschnitt für die kumulierte Kleinwinkelstreuung um den Faktor 4lnL~70 größer. Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Mittlere Stoßfrequenzen Um eine mittlere Stoßfrequenz angeben zu können, ist es sinnvoll eine Reibungskraft, die auf Elektronen wirkt, welche an den als stationär angenommenen Ionen vorbeidriften, zu definieren Es wird über die Geschwindigkeitsverteilung der Elektronen gemittelt, für die man nun einen Ausdruck finden möchte. Man nimmt an, dass die driftenden Elektronen einer relativ zur mittleren Geschwindigkeit u verschobenen Maxwell-Verteilung genügen. Weiterhin nimmt man an, dass sie sich in z-Richtung mit u=uzz bewegen und diese Geschwindigkeit klein gegen ihre thermische Geschwindigkeit ist. Man bekommt dann Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Mittlere Stoßfrequenzen Wenn man nun diese Verteilung in die Gleichung für die Reibungskraft einsetzt erhält man Im letzten Schritt wurde angenommen, dass fe0 kugelsymmetrisch im Geschwindigkeitsraum ist ( ). Durch Einsetzen von uei erhält man nun: Das nun resultierende Integral kann ausgewertet werden zu: Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Mittlere Stoßfrequenzen So bekommt man nun den endgültigen Ausdruck für die Reibungskraft Wobei Da die Coulomb-Kraft in derselben Größenordnung liegt, wird ein Elektron, das mit einem anderen Elektron stößt, um denselben Betrag abgelenkt, so dass man direkt auch die Elektron-Elektron-Stoßfrequenz angeben kann: In einem Wasserstoffplasma (Z=1) stoßen Elektronen mit anderen Elektronen genauso häufig wie mit Ionen. Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Mittlere Stoßfrequenzen Auf ähnliche Weise wie bei der Herleitung Elektron-Ion Stoßfrequenz, wird im Ionen-Ionen Fall die Reibungskraft für Ionen hergeleitet die an statischen Ionen vorbeidriften und daraus die Ionen-Ionen-Stoßfrequenz errechnet: Anmerkung: Auch wenn einzelne Teilchen mit einer Frequenz von uii stoßen, ist es wichtig daran zu denken, dass der Gesamtimpuls und die Gesamtenergie bei Coulomb-Stößen erhalten bleiben. Vergleicht man die Elektronen-Ionen und Ionen-Ionen Stoßfrequenz in einem Plasma mit Te~Ti, so bekommt man d.h. Elektronen stoßen etwa 40mal schneller als Ionen in einem Wasserstoffplasma. Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Energieaustausch und Thermalisierung Die charakteristischen Zeiten damit Elektronen-Elektronen und Ionen-Ionen ins thermische Gleichgewicht gelangen ist durch das Inverse der Stoßfrequenzen uii-1 bzw. uee-1 gegeben, entsprechend gilt: bzw. Die Zeitskalen auf denen die heißeren Elektronen mit den kälteren Ionen thermalisieren sind deutlich größer und sollen nun genauer betrachtet werden. Die Änderung in der Geschwindigkeit des Elektrons ist das Ergebnis einer Coulomb Wechselwirkung mit einem sich in Ruhe befindlichen Ion. Aufgrund der Impulserhaltung muss für die Geschwindigkeitsänderung DV des Ions gelten Auch in diesem Fall mittelt sich der Impulsübertrag des Elektrons auf des Ion über viele Kollisionen heraus. Aber das Ion erfährt bei jedem Stoß eine kleine Energieänderung, gegeben durch Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Energieaustausch und Thermalisierung Da die Geschwindigkeitsänderung des Elektrons nach der Kollision maßgeblich in senkrechter Richtung stattfindet, kann man auch schreiben Aus der zuvor gezeigten Kleinwinkelbetrachtung bei Coulomb-Stöße wissen wir, dass sich die Geschwindigkeit bei vielen Stößen des Elektrons mit dem Ion wie folgt ändert Wenn man nun weiterhin annimmt, dass die Elektronen Maxwell-verteilt sind, kann man den Energieverlust der Elektronen an das Ion wie folgt beschreiben: Dabei ist die Energiedichte der Elektronen. Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Energieaustausch und Thermalisierung Die von dem Ion aus der Elektronenkollisionen gewonnene Energie, wird mit den umgebenen Ionen, die wiederum auch Maxwell-verteilt sind, „geteilt“. Die Erhöhung der Energiedichte der Ionen muss im Gleichgewicht mit dem Energieverlust der Elektronen sein, d.h. Aus den mittleren Energien lässt sich direkt die Temperaturänderung der Ionen ableiten Auch hier lässt sich das Integral auswerten zu Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Energieaustausch und Thermalisierung Für die Temperaturänderung ergibt sich damit wobei teq die Temperaturgleichgewichtsrate angibt. Allerdings ist dieses Ergebnis nur gültig, wenn man annimmt, dass alle Ionen in Ruhe sind also Ti<<Te. Wenn die Ionen allerdings eine Anfangstemperatur haben, wählt man den allgemeinen Ansatz Hier wird deutlich, dass sich die Temperaturen beider Spezies bei gegebener Rate angleichen. Allerdings ist dies ein sehr langsamer Prozess Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Transportprozesse Driftgeschwindigkeit Der Einfachheit halber betrachten wir zunächst die Driftgeschwindigkeit in Gasentladungen. Wir wissen bereits, dass sich in Gasentladungen mit nur einem geringen Ionisierungsgrad Elektronen und Ionen unter dem Einfluss von elektrischen Feldern und Stößen mit Atomen des Restgases bewegen. Die Bewegungsgleichung eines einzelnen Elektrons kann geschrieben werden zu dabei ist meDvk der Impulsverlust bei der k-ten Kollision. Wenn diese Gleichung nun über mehrere Kollisionen mittelt die mittlere Geschwindigkeit Wobei der letzte Term den durchschnittlichen Impulsverlust pro Zeit repräsentiert. erhält man Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Transportprozesse Driftgeschwindigkeit Die elastischen Stöße von Elektronen an Atomen sind fast isotrop und daher verliert das Elektron im Mittel den Impuls , so dass man die Bewegungsgleichung umformulieren kann zu Dies entspricht einer eindimensionalen Bewegung des Elektrons in E-Richtung. Die Lösung der Bewegungsgleichung Dabei entspricht Mobilität me. gerade der Driftgeschwindigkeit mit der Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Transportprozesse Elektrische Leitfähigkeit von Plasmen Die Driftgeschwindigkeit von Ionen und Elektronen kann dazu benutzt werden um die elektrische Stromdichte zu definieren Diese lineare Relation zwischen Stromdichte und elektrischem Feld ist das Äquivalent zum Ohmschen Gesetz. Dabei ist s die elektrische Leitfähigkeit. Ebenso lässt sich die Leitfähigkeit für ein Elektronen und Ionengas bestimmen: Die Stoßzeit τ ist dann hier durch die Abbremszeit der Elektronen an den Ionen gegeben; für vd,e ≪ vt,e ist diese durch die thermische Bewegung bestimmt und man kann τei ≈ τee einsetzen. Damit erhält man Höhere Experimentalphysik 1 IAP Innere Reibung Goethe-Universität Frankfurt am Main Thermodynamik Die innere Reibung versucht die Relativgeschwindigkeit von einander angrenzenden Gasschichten auszugleichen. Sie ist die Kraft F, welche die langsamere Schicht zu beschleunigen und die schnellere zu verzögern versucht. Sie wird durch den Austausch von Molekülen bzw. Atomen zwischen benachbarten, unterschiedlich schnellen Gasschichten hervorgerufen (Diffusion). Dabei nimmt die schnellere Schicht Teilchen aus der langsameren auf und wird dadurch langsamer. Umgekehrt wird die langsamere durch die Aufnahme von schnelleren Teilchen beschleunigt. Es gilt das Newtonsche Reibungsgesetz mit A als der Berührungsfläche der Gasschichten, und v der Geschwindigkeit von Teilchen längs der x-Ortskoordinate senkrecht zur eigentlichen Fließrichtung. Der Proportionalitätsfaktor η ist die Viskosität: Höhere Experimentalphysik 1 Diffusion IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Thermodynamik Unter Diffusion versteht man den Ausgleich von Konzentrationsunterschieden durch Massenströme. Man nehme eine unterschiedliche Massenverteilung zweier Gase längs eines im Vergleich zur Querausdehnung langen Gaskanals vor. Wir bezeichnen das als eindimensionalen Fall. Die Dichte der ersten sich ausbreitenden Komponente ist eine Funktion des Ortes längs des Gaskanals: ρ = ρ(x). In diesem Fall wird der Diffusionsvorgang durch das Ficksche Gesetz beschrieben Dabei ist dM ein Masseelement der ersten Komponente, das in der Zeit dt die Fläche dA durchdringt. Der Term dρ/dx ist der Dichtegradient entlang des Gaskanals. D ist der Diffusionskoeffizient: D=1/3vdl Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Transportprozesse Ambipolare Diffusion Die Diffusion ist die mittlere Bewegung von Ionen und Elektronen, die durch Dichtegradienten und elektrischen Feldern im Plasma entsteht. Der Teilchenfluss kann dann durch eine Kombination aus Kraftbilanz und Fickschem Gesetz geschrieben werden: Dabei ist D der Diffusionskoeffizient der jeweiligen Teilchensorte und das doppelte Vorzeichen bezieht sich auf Elektronen (-) und Ionen (+). Der Zusammenhang zwischen Diffusionskoeffizient D und Mobilität m ist durch die Einsteinbeziehung gegeben Infolge der höheren Mobilität der Elektronen eilen diese den Ionen voraus und ziehen diese durch das Raumladungsfeld hinter sich her. Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Transportprozesse Ambipolare Diffusion Die eindimensionalen Diffusionsgleichungen sind gegeben durch Dabei wurden bereits die Teilchenströme für Ionen und Elektronen gleichgesetzt und die Profilform ist wegen der Quasineutralität als gleich angenommen worden. Eliminiert man das Raumladungsfeld erhält man den Teilchenstrom der ambipolaren Diffusion: mit Höhere Experimentalphysik 1 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Wärmeleitung Thermodynamik Hat ein Gas in dem ihm zur Verfügung stehenden Volumen an einer Stelle eine andere Temperatur als im übrigen Raum, so erfolgt ein Energietransport von der wärmeren zur kälteren Stelle. Diese Erscheinung wird Wärmeleitung genannt. Es sei ein Temperaturgradient dT/dx längs der Achse gegeben. Unter diesen Bedingungen wird Energie von Stellen höherer Temperatur zu Stellen niedrigerer übertragen. Diese Energieübertragung der Wärmeenergie EW wird durch die Fourier-Gleichung beschrieben: Die Wärmeleitfähigkeit K berechnet sich zu: Die übertragene Energiemenge hängt also vom Temperaturunterschied pro Wegelement, dem Querschnitt des Gaskanals dA und der Zeit dt ab. Höhere Experimentalphysik 2 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main Transportprozesse Wärmeleitung Die Wärmeleitfähigkeit k ist über den Wärmefluss q als Ergebnis des Temperaturgradienten definiert: (1) Die transportierte Größe ist die Wärme, während die pro Teilchen transportierte Menge kT ist. Die verallgemeinerte Kraft als Gradient einer Energie ist durch kT gegeben. Man erhält somit oder durch Vergleich mit der Leitfähigkeit und (1) Diese Relation ist in der Festkörperphysik als Wiedemann-Franzsches Gesetz bekannt. Dort ergibt sich allerdings ein Faktor vor Te. Auch im Plasma ergibt eine genauere Berechnung einen Vorfaktor von ungefähr 2,2 und man erhält