Experimentalphysik II Elektromagnetische Schwingungen und Wellen

Experimentalphysik II
Elektromagnetische Schwingungen und
Wellen
Ferienkurs Sommersemester 2009
Martina Stadlmeier
10.09.2009
Inhaltsverzeichnis
1 Elektromagnetische Schwingungen
1.1 Energieumwandlung im Schwingkreis .
1.2 Der LRC-Schwingkreis . . . . . . . . . .
1.3 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . .
1.4 Gekoppelte Schwingkreise . . . . . . . .
1.5 Offene Schwingkreise - Hertzscher Dipol
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2
2
2
4
4
4
2 Elektromagnetische Wellen
2.1 Die Wellengleichung und ihre Lösungen
2.1.1 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Periodische Wellen . . . . . . . . .
2.1.3 kurzer Überblick . . . . . . . . . .
2.2 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Energie- und Impulstransport . . . . . .
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6
6
6
7
7
7
1
1
Elektromagnetische Schwingungen
1.1 Energieumwandlung im Schwingkreis
Obige Abbildung zeigt einen elektromagnetischen Schwingkreis im idealen Fall,
das heißt ohne ohmschen Widerstand (=“Reibungsverluste“). Es findet eine kontinuierliche Umwandlung zwischen magnetischer Energie ( 12 LI 2 ) und elektrischer
Energie ( 21 CU 2 ) statt. Da keine Energie als Joul’sche Wärme in Leitung oder Widerstand verloren geht, würde dieser Schwingkreis für immer schwingen.
1.2 Der LRC-Schwingkreis
Oben beschriebenens Szenario ist natürlich nicht realisierbar, da immer „Reibungsverluste“ in Form von Leitungswiderständen vorhanden sind. So kommt
es ohne äußere Energiezufuhr zu einer gedämpften Schwingung.
Nach einmaliger Anregung von außen erhält man folgende DGL:
LI¨ + RI˙ + C1 I = 0
Mit dem Ansatz I(t) = A · eλt und Einsetzen erhält man schließlich für λ:
q
R
1
R2
λ1/2 = − 2L ± 4L
2 − LC
λ1/2 = −α ± β
Nun sind drei Fälle zu unterscheiden:
• Kriechfall
R2
4L2
>
1
LC
2
⇒ I(t) = A1 eλ1 t + A2 eλ2 t
wobei A1 und A2 reell sind und aus den Anfangswerten berechnet werden
müssen.
• Aperiodischer Grenzfall
R2
4L2
=
1
LC
⇒ λ1 = λ 2 = λ ∈ <
⇒ I(t) = e−λt (A1 + tA2 )
Auch hier sind A1 und A2 wieder aus den Anfangswerten zu bestimmen.
2
1
R
• Gedämpfte Schwingung 4L
2 < LC Dies ist der interessante, aber auch mathematisch aufwendigere der drei Fälle. Man
q erkennt, dass λ1 und λ2 komplex
2
1
R
sind. Nun wählt man β = iω wobei ω = LC
− 4L
2 die Frequenz sein soll, mit
der der Schwingkreis schwingt. Nun gibt es zwei Wege I(t) zu berechnen:
entweder man wählt den komplexen Ansatz oder man bleibt im Reellen.
Meistens wird komplex gerechnet:
I(t) = e−αt [A1 eiωt + A2 e−iωt ]
wobei A1 = a + ib = A2 komplex sind. Dies lässt sich mit A =
tan ϕ = ab umformen zu:
√
a2 + b2 und
I(t) = 2A · e−αt · cos(ωt + ϕ)
Die andere Möglichkeit besteht darin I(t) sofort als Linearkombination reeller Funktionen zu schreiben:
I(t) = a1 e−αt cos ωt + a2 e−αt sin ωt = e−αt [a1 cos ωt + a2 sin ωt]
Mithilfe des Additionstheorems
a cos x + b sin x =
√
a2 + b2 cos(x + ϕ) mit tan ϕ =
b
a
gelangt man letzlich zu der Lösung:
I(t) = e−αt
p
a21 + a22 · cos(ωt + ϕ)
Der Schwingkreis führt also eine gedämpfte Schwingung mit der Resonanzfrequenz ωR aus.
ωR =
q
1
LC
−
R2
4L2
Die Schwingungsdauer berechnet sich zu T =
3
2π
ωR
1.3 Erzwungene Schwingung
Wird an einen Serienschwingkreis eine äußere Wechselspannung U = U0 cos ωt
angelegt, so schwingt auch der Strom I(t) = I0 cos(ωt + ϕ) mit konstanter Amplitude I0 = UZ0 . Dabei wird am Widerstand R die elektrische Leistung verbraucht:
P =
2
1 U0 R
2 Z2
U02 R
1
1 2
2
2 R +(Lω− ωC
)
=
Der Leistungsverlust wird für ω = ω0 =
√1
LC
maximal:
2
1 U0
2 R
P =
1.4 Gekoppelte Schwingkreise
Im Alltag Anwendung finden vor allem gekoppelte Schwingkreise. Diese lassen
sich induktiv, ohmsch oder kapazitiv koppeln. In diesem Fall ist eine induktive
Kopplung dargestellt.
Die Differentialgleichungen erhalten dann einen zusätzlichen Term:
L1 I¨1 + R1 I˙1 +
1
I
C1
= −L12 I¨2
L2 I¨2 + R2 I˙2 +
1
I
C2
= −L12 I¨1
1.5 Offene Schwingkreise - Hertzscher Dipol
Das Aufbiegen des Schwingkreises zu einem sogenannten Hertzschen Dipol
führt zu einer Abstrahlung der Energie in den gesamten Raum. In dem Hertzschen Dipol, also einem Stab der Länge l fließt ein Wechselstrom I(z, t) = I0 (z) sin ωt,
der eine stehende Welle im Stab ausbildet. Für die Stabenden gilt deshalb:
I(± 2l ) = 0
4
⇒ λ=
2l
n
wobei n ganzzahlig. Für die minimale Resonanzfrequenz erhält man daher:
ω0 = 2πf = 2π
vph
λ
=
πn
v
l ph
ω0 = πl vph
wobei vph =
√c
µ
die Phasengeschwindigkeit im Stab ist.
Interessant ist vor allem das Fernfeld des Hertzschen Dipols. Es gelten folgende
wichtige Zusammenhänge:
→
−
|E |
→ = c
−
|B |
Damit erhält man für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:
ωem = ωel + ωmag = 12 0 E 2 +
1
B2
2µ0
= 0 E 2
ωem = 0 E 2
Die Energiestromdichte S (=Energie, die pro Zeiteinheit durch eine Flächeneinheit transportiert wird) berechnet sich :
S = c 0 E 2 = c ωem
Für die durch eine Kugelschale im zeitlichen Mittel in den Raum abgestrahlte
Leistung Pem gilt:
Pem =
ω 4 q 2 d20
12π0 c3
wobei p0 = qd0 das elektrische Dipolmoment ist.
5
2
Elektromagnetische Wellen
Die von einem Hertzschen Dipol abgestrahlten Felder bilden sogenannte elektromagnetische Wellen. Diese sollen in diesem Kapitel genauer behandelt werden.
2.1 Die Wellengleichung und ihre Lösungen
Aus den beiden Maxwell-Gleichungen
→
−
→
−
rot E = − ∂∂tB
→
−
rot B =
→
−
1 ∂E
2
c ∂t
erhält man durch Rotationsbildung der ersten Gleichung und anschließendes
Einsetzen der zweiten die Wellengleichung für das elektrische Feld (mit ∆ =
div grad):
→
→
−
2−
∆ E = 0 µ0 ∂∂tE2
Analoges lässt sich auch für das magnetische Feld herleiten.
2.1.1
Ebene Wellen
Die einfachsten und am häufigsten verwendeten Lösungen sind die ebenen Wellen. Bei ihnen hängt die Ausbreitungsrichtung nur von einer Koordinate (z.B. z)
ab, wodurch sich ergibt:
→
−
∂2 E
∂z 2
=
→
−
1 ∂2 E
2
c ∂t2
→
−
Fordert man nun noch einen ladungsfreien Raum (div E = 0), so erhält man
ebene, transversale Wellen:
→−
−
→
−
E (→
r , t) = E (z, t)
Ex (z, t) = fx (z − ct) + gx (z + ct)
Ey (z, t) = fy (z − ct) + gy (z + ct)
2.1.2
Periodische Wellen
Nicht jede Welle muss peridoisch sein! Auch ein elektromagnetischer Puls kann
als Welle bezeichnet werden. Allerdings trifft man in der Physik meistens auf
den Spezialfall ebener, periodischer Wellen. Sie lassen sich duch sin- oder cosFunktionen darstellen:
→ −
−
→
E = E0 · sin(kz − ωt)
Dabei ist k die sogenannte Wellenzahl mit k = 2π
, z die Ausbreitungsrichtung
λ
2πc
und ω = λ die Kreisfrequenz der Welle. Allgemeiner, also für beliebige Ausbreitungsrichtungen, erhält man:
→ →
−
→ −
−
→
E = E0 · sin( k · −
r − ωt)
→
−
→
−
mit k als Wellenvektor ( k = k = 2π
), der die Ausbreitungsrichtung der Welle
λ
beschreibt. Manchmal wird auch die komplexe Schreibweise verwendet:
→−
−
→ −
−
→
→
E = A0 · ei( k · r −ωt)
6
2.1.3
kurzer Überblick
Eine elektromagnetische Welle ist ganz allgemein eine beliebige
Lösung der Maxwell-Gleichungen im Vakuum.
Das bedeutet:
• die Erfüllung der Wellengleichung allein genügt nicht
→ →
→
→ −
−
− −
− −
→
→
• es muss außerdem gelten: E ⊥ k , B ⊥ k und E ⊥ B
→
−
Das B -Feld wird beschrieben durch:
→ −
−
→
−
→
B = ω1 ( k × E )
bisher eingeführte Begriffe:
ebene Welle
transversale Welle
periodische Welle
2.2
Ebenen z = const. sind Flächen konstanter Phase
→
−
−
→
→
−
E und B stehen senkrecht auf k
f (z + λ − ct) = f (z − ct)
Polarisation
Die Polarisation einer elektromagnetischen Welle ist per Definition die Richtung
→
−
des elektrischen Feldvektors E .
−
→
E0x
Man unterscheidet zwischen linearer Polarisation (E0 = (E
) = const), zirkula0y
◦
rer Polarisation (E0x = E0y , jedoch um 90 phasenverschoben) und elliptischer
Polarisation.
2.3
Energie- und Impulstransport
Bereits bekannt ist die Energiedichte ωem des elektromagnetischen Feldes:
ωem = ωel + ωmag = 0 E 2
Eine elektromagnetische Welle transportiert diese Energiedichte mit Ausbrei→
−
tungsgeschwindigkeit c in Ausbreitungsrichtung k . Die Energie, die pro Zeit
→
−
durch die Flächeneinheit senkrecht zu k transportiert wird, heißt Energiestromdichte oder Intensität I
I = c 0 E 2
→ −
−
→
−
E0x
• bei linearer Polarisation ( E = (E
)
·
cos(ωt
−
k ·→
r )) ergibt sich für den zeitli0y
chen Mittelwert:
I = 12 c 0 E 2
→→
−
→
−
cos(ωt− k ·−
r)
• bei zirkularer Polarisation ( E = E0 (
)) ergibt sich für den zeitlichen
→−
−
sin(ωt− k ·→
r)
Mittelwert:
I = c 0 E 2
7
→
−
Der Poynting Vektor S beschreibt die Richtung des Energieflusses.
−
→
→ −
−
→
S = E ×H
−
→
→ −
−
→
S = 0 c2 ( E × B )
−
→
W
S = I und [S] = 1 m
2
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