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Elementare Zahlentheorie - Elementary Number Theory
WS 2006/07
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/number/
Aufgabenzettel 9.
n
9.1. Zeige: Jede Fermat-Zahl Fn = 22 + 1 , jede Mersenne-Zahl M = 2p − 1
(mit p Primzahl) ist selbst entweder eine Primzahl oder aber Pseudo-Primzahl zur
Basis 2.
9.2. Lineare Codierung (nicht sehr sicher!) Unter einer Codierung der
Zahlen 0 ≤ a < m verstehen wir eine bijektive Abbildung Z/m → Z/m.
(a) Zeige: Sind r, s natürliche Zahlen mit (m, r) = 1, so ist a 7→ ra + s eine
Codierung der Zahlen 0 ≤ a < m (wir nennen dies eine lineare Codierung).
(b) Für vorgegebenes m, wieviele lineare Codierungen gibt es?
(c) Zeige: Die Umkehrabbildung einer linearen Codierung ist wieder eine lineare
Codierung.
(d) Es sei m = 50. Aufgrund von Häufigkeitsanalysen habe man festgestellt,
dass die codierten Zahlen 12 und 31 im Klartext 5 (=e) und 14 (=n) bedeuten. Man
bereche daraus die Codierungszahlen r, s .
9.3. RSA. (a) Alice verschlüsselt die Nachricht m mit dem öffentlichen Schlüssel
[51, 11]. Der verschlüsselte Text sei 31. Bobs privater Schlüssel sei [51, 3]. Bestimme,
falls möglich, den Klartext.
(b) Alice verschlüsselt die Nachricht m mit dem öffentlichen Schlüssel [33, 7].
Der verschlüsselte Text sei 9. Bobs privater Schlüssel sei ebenfalls [33, 7]. Bestimme,
falls möglich, den Klartext.
Achtung: Man überprüfe jeweils, ob der private Schlüssel überhaupt zum öffentlichen Schlüssel passt!
9.4. Sei p eine Primzahl, sei k ∈ N . Zeige:
k
k
k
1 + 2 + · · · + (p − 1) ≡
−1 mod p
0 mod p
falls (p − 1) | k,
andernfalls.
Hinweis: Verwende die Existenz einer Primitivwurzel modulo p (und die Formel
für eine geometrische Summe).
n
9.1. Claim: Any Fermat number Fn = 22 +1 , any Mersenne number M = 2p −1
with p a prime is either itself a prime or else a pseudo prime for the basis 2. Prove
it!
9.2. Linear Codes (not very secure!) We consider bijective maps Z/m →
Z/m.
(a) Show: If r, s are natural numbers with (m, r) = 1, then the map a 7→ ra + s
is bijective. Such a map will be said to be a lineare code.
(b) For given n , how many linear codes Z/m → Z/m do exist?
(c) Show: The inverse of a linear code is again a linear code.
(d) Consider the case m = 50 and assume a linear code has been used. Now
someone has found out (say looking at the distribution of numbers) that the encoded
numbers 12 and 31 correspond to the unencoded numbers 5 (=e) and 14 (=n),
respectively. Show that this is sufficient in order to calculate the numbers r, s .
9.3. RSA. (a) Alice encodes the message m with the public key [51, 11]. Bobs
private key is supposed to be [51, 3] . Assume that the encoded message is 31. Calculate, if possible, m.
(b) Alice encodes the message m with the public key [33, 7]. Bobs private key
is supposed to also [33, 7] . Assume that the encoded message is 31. Calculate, if
possible, m.
Note: Check first, whether the public key and the private key fit to each other!
9.4. Let p be a prime, let k ∈ N . Show:
k
k
k
1 + 2 + · · · + (p − 1) ≡
−1 mod p
0 mod p
if (p − 1) | k,
otherwise.
Hint: Use the existence of a primitive root modulo p (as well as the formula for
a geometric sum).