Institut für Angewandte Mathematik 30.05.2014 Universität

Institut für Angewandte Mathematik
Universität Heidelberg
Prof. Dr. R. Rannacher
30.05.2014
Übungen Nr. 06
zur Vorlesung Lineare Optimierung
(SS 2014)
Aufgabe 6.1 (4 Punkte): Zwei Spieler P1 und P2 spielen Stumme Mora“. Dies ist
”
ein Spiel, bei dem die Spieler gleichzeitig eine gewisse Anzahl von Fingern einer Hand
zeigen (keine Finger ist auch zulässig). Ist die Summe der gezeigten Fingerzahlen gerade,
so gewinnt Spieler P1 , andernfalls P2 .
a) Man gebe die Auszahlungsmatrix für Spieler P1 an.
b) Ist das Spiel fair? Man gebe optimale Strategien für Spieler P1 und P2 an.
(Hinweis: Es ist zur Lösung der Aufgabe nicht notwendig einen Simplexalgorithmus
durchzuführen.)
Aufgabe 6.2 (6 Punkte): Man analysiere das Skin-Spiel ohne Pattregel, d.h.
P1 \ P2 KA P A P 2
KA
1
PA
−1
K2
2
−1 −2
1
1
−1 −2
auf Fairness und gebe optimale Strategien für Spieler P1 und P2 an.
Aufgabe 6.3 (4 Punkte): Ein Matrixspiel heißt symmetrisch“, wenn die Aktionen”
mengen Σ1 , Σ2 der Spieler P1 , P2 identisch sind, und wenn die Auszahlungsmatrix A
schiefsymmetrisch ist, d. h.: A = −AT . Man zeige, dass ein symmetrisches Spiel fair ist,
und dass beide Spieler dieselbe optimale Startegie verwenden können.
(Hinweis: Man argumentiere mit Hilfe des Hauptsatzes der Spieltheorie.)
Aufgabe 6.4 (4 Punkte): Für die Programmierungsaufgabe
cT · x → min!,
Ax = b, x ≥ 0,
sei ein Simplextableau zur Basis B = {ai , i ∈ I 0 } gegeben. Die Einträge x0i (i ∈ I 0 ) der
letzten Spalte und die γk (k 6= I 0 ) in der letzten Zeile brauchen dabei nicht notwendig
nicht-negativ zu sein.
Man zeige, dass für jedes Pivotelement αpq 6= 0, p ∈ I 0 , q 6= I 0 , automatisch B̃ =
{ai , i ∈ I˜0 = (I 0 \ {p}) ∪ {q}} wieder eine Basis ist. Der Austauschschritt des primalen
(für αpq < 0) bzw. des dualen (für αpq > 0) Simplex-Algorithmus führt dann auf ein
Tableau zu dieser neuen Basis B̃.
Abgabe: Freitag, 06.06, in der Vorlesung.