Algorithmus - Lehrstuhl für Informatik der RWTH Aachen

Effiziente Algorithmen (SS2014)
Kapitel 3
Matchings
Walter Unger
Lehrstuhl für Informatik 1
02.07.2014 13:30
Einleitung
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:2)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Inhalt I
1
Einleitung
Definitionen
maximales Matching
2
mit Flüssen
Idee
Transformation
3
Alternierende Pfade
Idee
Aussagen
Algorithmus
4
verbesserte Laufzeit
Idee
Aussagen
Algorithmus
Beispiel
5
mit Kosten
Einleitung
Erster Algorithmus
Zweiter Algorithmus
6
Blüten
Probleme bei ungeraden Kreisen
Algorithmus
Ergebnisse
7
Zwei Anwendungen
Definitionen
Aussagen
Vorgehen
Stabile Paarungen
SS2014
Z
x
Einleitung
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:1)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Motivation und Anwendungen
SS2014
Z
vielfältige Zuordnungsprobleme:
Kunden auf Kundenberater
Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter
Heiratsvermittlung
Jobs auf Maschinen
Schwarzgeld auf Konten
Grundsätzliche Probleme:
Bestimme größtes Matching.
Bestimme nicht erweiterbares Matching.
Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten.
Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter
allen maximum Matchings.
Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, |V | = n, |E | = m
Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend,
|V ∪ W | = n, |E | = m
g
Einleitung
Definitionen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:2)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Definitionen
Z
g
δG (v ) = |NG (v )| NG (v ) = {w ∈ V (G) | {v , w } ∈ E (G)}
Definition (Matching)
Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt Matching:
∀e, f ∈ M : e ∩ f = ∅
D.h. ∀v ∈ V : δG 0 (v ) 6 1 mit G 0 = (V , M).
Definition ((inklusions-)maximales Matching)
Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximales Matching:
∀M 0 : M ( M 0 ⊂ E : M 0 ist kein Matching.
Definition (maximum Matching)
Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximum Matching:
∀M 0 ⊂ E : |M| < |M 0 | : M 0 ist kein Matching.
Einleitung
Definitionen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:3)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Beispiel
Betrachte Graph:
SS2014
Z
f
e
d
a
b
c
{{a, b}} Matching
{{a, b}, {b, c}} kein Matching
{{a, f }, {c, d}} maximales Matching
{{a, f }, {b, c}, {e, d}} maximum
Matching
g
Einleitung
mit Flüssen
maximales Matching
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:4)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Algorithmus (maximales Matching)
Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching.
1
Gegeben G = (V , E )
2
M=∅
3
Solange E nicht leer, mache:
1
2
3
4
Wähle e ∈ E .
Setze M = M ∪ {e}
Setze E = {e 0 ∈ E | e 0 ∩ e = ∅}
Ausgabe: M.
SS2014
Z
g
Einleitung
mit Flüssen
maximales Matching
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:5)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Beispiel
Idee: Greedy Algorithmus:
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Z
g
Einleitung
mit Flüssen
maximales Matching
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:6)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Probleme
Definition (Bipartites Matchingproblem)
Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph.
Gesucht: Maximum Matching auf G.
Definition (Bipartites kostenminimales Matchingproblem)
Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph und Kostenfunktion
l : E 7→ N.
Gesucht: Kostenminimales maximum Matching auf G.
SS2014
Z
g
Einleitung
Idee
(3:7)
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Idee (bipartites Matching und Flüsse)
Matching von V nach W entspricht “Transport”.
Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren.
Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren.
Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph:
Füge Quelle s ein und verbinde s zu jedem Knoten aus V .
Füge Senke t ein und verbinde jeden Knoten aus W zu t.
Diese neuen Kanten können eine Einheit transportieren.
SS2014
Z
s
Einleitung
Idee
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:8)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Bipartites Matching und Flüsse
s
1
6
1
16
1
1
1
6
1
1
6
1
6
1
1
1
16
1
161
1
1
1
16
a6
1
a5
b7
6
16
1
1
b6
1
6
1
−1
16
1
1
1
16
1
1
1
16
t
−1
1
1
1
161
6
1
1
61
1
−1
a4
1
1
16
b5
6
1
1
61
1
−1
16
1
b4
a3
16
1
1
1
6
1
1
a2
6
b3
1
1
16
16
−1
61
a1
b2
1
1
b1
16
161
1
16
1
a7
SS2014
Z
s
Einleitung
mit Flüssen
Transformation
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:9)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Formale Transformation
Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph.
Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) mit:
E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et
E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W }
Es = {(s, v ) | v ∈ V }
Et = {(w , t) | w ∈ W }
Setze c : E 0 7→ N mit ∀e ∈ E 0 : c(e) = 1.
Lemma
Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem
transformiert werden.
G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G 0 ) = α.
Theorem
Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 )
lösbar.
Z
s
Einleitung
mit Flüssen
Transformation
(3:10)
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Formale Transformation mit Kostenfunktion
Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l : E 7→ Z.
Bestimme G 0 = (V ∪ W ∪ {s, t}, E 0 ) und l 0 : E 0 7→ Z mit:
E 0 = E 00 ∪ Es ∪ Et
E 00 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W }
Es = {(s, v ) | v ∈ V } und Et = {(w , t) | w ∈ W }.
∀(v , w ) ∈ E 00 : l 0 (v , w ) = l(v , w ).
∀e ∈ Es ∪ Et : l 0 (e) = 0.
Setze c : E 0 7→ N mit ∀e ∈ E 0 : c(e) = 1.
Lemma
Das bipartite Matchingproblem mit Kosten kann in Zeit O(n + m) auf das
Flussproblem mit Kosten transformiert werden.
Theorem
G hat Matching der Größe α mit Kosten β genau dann, wenn w (G 0 ) = α und
die Kosten des Flusses sind β.
Z
s
Einleitung
Idee
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:11)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Nochmal das Beispiel
Betrachte das Beispiel ohne die Knoten s und t:
Ein Fluss über eine Kante entspricht Matching.
Das Löschen einer Matchingkante entspricht einem Fluss über eine
Rückwärtskante.
Damit ein Fluss über eine Rückwärtskante fließt, muss vorher und
hinterher eine Vorwärtskante sein.
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
SS2014
Z
i
Einleitung
Idee
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:12)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Idee der alternierende Pfade
Damit arbeitet der Flussalgorithmus wie folgt:
Bestimme “erweiternden Pfad”:
Der
Der
Der
Der
Der
Pfad
Pfad
Pfad
Pfad
Pfad
startet an einem “freien” Knoten.
startet mit einer Vorwärtskante.
geht alternierend über Vorwärts- und Rückwärtskanten.
endet mit einer Vorwärtskante.
endet an einem “freien” Knoten.
Damit können wir einen weiteren Algorithmus angeben.
Z
i
Einleitung
Idee
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:13)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Alternierende Pfade
Z
i
A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Sei G = (V , E ) ungerichteter Pfad und M ⊂ E ein Matching.
Ein Knoten v ∈ V heißt frei, falls v 6∈ ∪e∈M e.
Ein Pfad v0 , {v0 , v1 }, v1 , {v1 , v2 }, v2 , {v2 , v3 }, v3 , . . . , vl−1 , {vl−1 , vl }, vl
heißt alternierend, falls {vi−1 , vi } ∈ M ⇔ {vi , vi+1 } 6∈ M (0 < i < l).
v0
v1
v2
v3
v4
v5
v6
Ein alterniernder Pfad
v0 , {v0 , v1 }, v1 , {v1 , v2 }, v2 , {v2 , v3 }, v3 , . . . , vl−1 , {vl−1 , vl }, vl heißt
erweiternd, falls v0 , vl frei sind.
v0
v1
v2
v3
v4
v5
Bemerkung: eine Kante zwischen freien Knoten ist ein verbessernder Pfad.
Damit arbeitet der Algorithmus wie folgt:
1
2
Setze M = ∅.
Solange es erweiternden Pfad P gibt, mache:
1 Erweitere M, d.h. M = M ⊕ E (P).
Einleitung
Idee
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:14)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Beispiel allgemeiner Graph
SS2014
Z
i
A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Versuche verbessernde Pfade auf allgemeinen Graphen:
a1
b1
b2
c1
c2
d1
a0
b0
b3
c0
c3
d0
a2
b4
c4
Ungerade Kreise können Probleme machen
d2
Einleitung
Aussagen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:15)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Aussagen zu verbessernden Pfaden
Z
s
A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Lemma (ein verbessernder Pfad)
Sei G = (V , E ) Graph, M Matching und P verbessernder Pfad. Dann ist
M ⊕ E (P) Matching mit |M ⊕ E (P)| = |M| + 1.
Beweis:
Sei G 0 = (V , M) und G 00 = (V , M ⊕ E (P)).
Sei v der Startknoten von P, dann gilt δG 0 (v ) = 0 und δG 00 (v ) = 1.
Sei w der Endknoten von P, dann gilt δG 0 (w ) = 0 und δG 00 (w ) = 1.
Sei u ein Zwischenknoten auf P, dann gilt δG 0 (u) = δG 00 (u) = 1.
Es wird eine Kante mehr hinzugefügt als entfernt.
Einleitung
Aussagen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:16)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Aussagen zu verbessernden Pfaden
Z
s
δ(G) = ∪v ∈V (G) δG (v )
Lemma (Differenz zweier Matchings)
Sei G = (V , E ) Graph, M, N Matchings mit |M| < |N|. Dann enthält
H = (V , M ⊕ N) mindestens |N| − |M| knotendisjunkte verbessernde Pfade
bezüglich M in G.
Beweis:
Sei GM = (V , M) und GN = (V , N).
Es gilt: δ(GM ) ⊂ {0, 1} und δ(GN ) ⊂ {0, 1}.
Damit folgt: δ(H) ⊂ {0, 1, 2}.
Seien Gi = (V , Ei ) (1 6 i 6 g) die Zusammenhangskomponenten von H.
Wegen δ(Gi ) ⊂ {0, 1, 2} folgt:
Gi
Gi
Gi
Gi
ist
ist
ist
ist
ein
ein
ein
ein
isolierte Knoten oder
Kreis gerader Länge oder
Pfad gerader Länge oder
Pfad ungerader Länge.
Die Kanten in Gi stammen alternierend aus M und N.
Einleitung
Aussagen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:17)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Fortsetzung
Z
s
δ(G) = ∪v ∈V (G) δG (v )
Setze d(Gi ) = |Ei ∩ N| − |Ei ∩ M|.
Damit gilt: d(Gi ) ∈ {−1, 0, 1}.
Damit gilt weiter: d(Gi ) = 1 falls Gi verbessernder Pfad.
Pg
i=1
d(Gi ) = |N \ M| − |M \ N| = |N| − |M|
Damit muss es mindestens |N| − |M| Komponenten Gi geben mit
d(Gi ) = 1.
Zusammengefasst gibt es mindestens |N| − |M| verbessernde Pfade.
Nach Definition der Komponenten sind diese knotendisjunkt.
Lemma
Sei G = (V , E ) und M Matching in G.
M ist maximum Matching genau dann, wenn keinen verbessernden Pfad
bezüglich M gibt.
Einleitung
mit Flüssen
Algorithmus
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:18)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Algorithmus
1
Gegeben G = (V , W , E )
2
M=∅
3
Solange es verbessernden Pfad P gibt, mache:
1
4
Setze M = M ⊕ E (P)
Ausgabe: M.
Theorem
Der obige Algorithmus hat eine Laufzeit von O(n · m).
Beweis:
Wegen |M| 6 bn/2c gibt es höchstens bn/2c Schleifendurchläufe.
Jede Schleife kann in Zeit O(m) ausgeführt werden.
SS2014
Z
s
Einleitung
Algorithmus
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:19)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Beispiel (Schleifendurchlauf)
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
SS2014
Z
s
Einleitung
Algorithmus
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:20)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Schleifendurchlauf
Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und M Matching.
Erzeuge G 0 = (V ∪ W , E 0 ∪ E 00 ) mit:
E 0 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E \ M ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } und
E 00 = {(w , v ) | {v , w } ∈ M ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W }.
Damit wird die Suche nach einem verbessernden Pfad eine Suche in G 0 :
Von einem freien Knoten in V zu
einem freien Knoten in W .
Damit ergibt sich eine Laufzeit von O(m) durch Tiefensuche.
Z
s
Einleitung
Idee
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:21)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Idee
Falls Kanten oft die Rolle (Matching,nicht Matching) wechseln, erhalten
wir eine schlechte Laufzeit.
Am Anfang besteht der verbessernde Pfad aus einer Kante.
Am Anfang sind die kürzesten verbessernden Pfade knotendisjunkt.
Idee: suche kürzeste verbessernde Pfade.
Falls diese knotendisjunkt sind, können diese gleichzeitig gesucht werden.
Beispiel:
g
h
a
b
c
d
e
f
Matching: M = {{b, c}, {d, e}}
Erster kürzester verbessernder Pfad: a, b, c, d, e, f
Zweiter kürzester verbessernder Pfad: g, a, b, c, d, h
Widerspruch, da (g, a) noch kürzerer verbessernder Pfad.
Z
i
Einleitung
Aussagen
mit Flüssen
Altern. Pfade
(3:22)
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Lemma 1
Lemma (kurzer Weg)
Sei M Matching in G = (V , E ) und P kürzester verbessernder Pfad in G
bezüglich M. Sei weiter P 0 verbessernder Pfad bezüglich M ⊕ E (P), dann gilt:
|P 0 | > |P| + |P ∩ P 0 |.
Beweis:
Sei N = (M ⊕ P) ⊕ P 0 . Nach Lemma “ein verbessernder Pfad” gilt:
|N| = |M| + 2.
Nach Lemma “Differenz zweier Matchings” gibt es in M ⊕ N zwei
knotendisjunkte verbessernde Pfade P1 , P2 .
Wegen |PI | > |P| (l ∈ {1, 2}) gilt: |M ⊕ N| > 2 · |P|.
Nun folgt:
Z
s
Einleitung
Aussagen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:23)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Fortsetzung
Z
s
Zeige: |P 0 | > |P| + |P ∩ P 0 |
0
Sei N = (M ⊕ P) ⊕ P . Nach Lemma “ein verbessernder Pfad” gilt:
|N| = |M| + 2.
Nach Lemma “Differenz zweier Matchings” gibt es in M ⊕ N zwei
knotendisjunkte verbessernde Pfade P1 , P2 .
Wegen |PI | > |P| (l ∈ {1, 2}) gilt: |M ⊕ N| > 2 · |P|.
Nun folgt:
M ⊕N
Damit gilt:
Betrachte:
|P ⊕ P 0 |
|P ⊕ P 0 |
Damit gibt:
2 · |P|
|P| + |P ∩ P 0 |
=
=
=
>
=
6
6
6
M ⊕ ((M ⊕ P) ⊕ P 0 )
(M ⊕ M) ⊕ (P ⊕ P 0 )
P ⊕ P0
2 · |P|
|P ∪ P 0 | − |P ∩ P 0 |
|P| + |P 0 | − |P ∩ P 0 |
|P| + |P 0 | − |P ∩ P 0 |
|P 0 |
Einleitung
Aussagen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:24)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Idee und Situation
Ziel: Suche viele kürzeste verbessernde Pfade.
Starte mit leerem Matching M0 = ∅.
Im Schritt i sei Pi ein kürzester verbessernder Pfad bezüglich Mi−1 .
Setze Mi = Mi−1 ⊕ E (Pi ).
Lemma (disjunkte kürzeste verbessernde Pfade)
Für i, j > 1 gilt:
1
|Pi | 6 |Pi+1 |
2
|Pi | = |Pj | =⇒ Pi und Pj sind knotendisjunkt.
Beweis
1
|Pi | 6 |Pi+1 | folgt aus Lemma “kurzer Weg”.
2
Folgt per Widerspruch:
Z
s
Einleitung
Aussagen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:25)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Beweis (Teil 2)
Sei i < j, |Pi | = |Pj | und V (Pi ) ∩ V (Pj ) 6= ∅.
O.B.d.A.: ∀k : i < k < j : ∀l ∈ {i, j} : V (Pl ) ∩ V (Pk ) = ∅.
Damit folgt: Pj ist ein verbessernder Pfad bezüglich Mi = Mi−1 ⊕ Pi .
Wegen V (Pi ) ∩ V (Pj ) 6= ∅ folgt: E (Pi ) ∩ E (Pj ) 6= ∅.
Sei v ∈ V (Pi ) ∩ V (Pj ), genau die Matchingkante an v ist in
E (Pi ) ∩ E (Pj ).
|E (Pi ) ∩ E (Pj )| > 1.
Aus Lemma “kurzer Weg” folgt: |Pj | > |Pi | + |Pi ∩ Pj | > |Pi | + 1.
Widerspruch.
Z
s
Einleitung
mit Flüssen
Algorithmus
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:26)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Idee und Algorithmus
Suche alle kürzesten verbessernden Pfade.
Je länger diese werden, um so weniger gibt es davon.
Alle knotendisjunkten Pfade nutzen jeweils mindestens eine Kante des
aktuellen Matchings.
Damit erhalten wir eine bessere Laufzeit.
Der Algorithmus bestimmt in Runde i möglichst viele kürzeste
verbessernden Pfade der Länge li .
l1 < l2 < l3 < . . ..
Algorithmus:
1 Gegeben G = (V , W , E ) bipartiter Graph.
2 Setze M = ∅
3
Solange es verbessernde Pfade gibt, mache:
1 Bestimme l als die Länge des kürzesten verbessernden Pfads.
2 Bestimme eine inklusions-maximale Menge von verbessernden
Pfaden P1 , P2 , . . . , Pi der Länge l.
3 M = M ⊕ P1 ⊕ P2 ⊕ P3 ⊕ . . . ⊕ Pi .
Z
s
Einleitung
Algorithmus
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:27)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Anzahl der Schleifendurchläufe
Lemma (Pfadlänge)
Sei M 0 ein maximum Matching mit s = |M 0 |
und M ein nicht maximales Matching, dann gibt es einen M verbessernden
Pfad der Länge höchstens
2·
|M|
s − |M|
+ 1.
Beweis:
Es gibt höchstens s − |M| viele M-verbessernde Pfade.
Diese Pfade enthalten zusammen höchstens |M| Kanten aus M.
|M|
Damit gibt es einen Pfad, der höchstens b s−|M|
c Kanten aus M enthält.
D.h. ein Pfad, der nicht länger ist als die Durchschnittslänge.
Dieser Pfad hat eine Länge von:
2·
|M|
s − |M|
+ 1.
Z
s
Einleitung
Algorithmus
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:28)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Anzahl der Schleifendurchläufe
M 0 maximum Matching s = |M 0 | und 2 ·
Teile in zwei Phasen auf:
√
Phase 1 aktiv, solange |M| 6 bs − sc gilt.
Maximale Pfadlänge dann:
√
√
√
bs − sc
s − d se
√
√
2·
+162·
+162· s +1
s − bs − sc
d se
√
Damit gilt in jeder Runde der ersten Phase: l 6 2√
· s + 1.
Da l in Zweierschritten wächst, gibt es höchsten s
Iterationen in der ersten Phase.
√
Phase 2 aktiv, falls |M| > bs − sc gilt.
√
Es fehlen s viele Kanten.
√
Die Phase endet nach maximal s Iterationen.
Z
|M|
s−|M|
s
+1
Einleitung
Algorithmus
mit Flüssen
(3:29)
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Laufzeit
Lemma
Die Bestimmung einer inklusions-maximalen Menge von kürzesten
verbessernden Pfaden geht in Zeit O(m)
Beweis (Idee wird auch beim gewichteten Matching benutzt.)
Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und M Matching.
Erzeuge G 0 = (V ∪ W , E 0 ∪ E 00 ) mit:
E 0 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E \ M ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } und
E 00 = {(w , v ) | {v , w } ∈ M ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W }.
Damit wird die Suche nach einem verbessernden Pfad eine Suche in G 0 :
Von den freien Knoten in V zu den freien Knoten in W .
Füge Quelle und Senke hinzu, damit entsteht G 00 .
Bestimme durch Breitensuche alle Kanten, die nicht auf einem kürzesten
Pfad liegen.
Damit entsteht ein Schichtennetzwerk G 000 .
Damit ergibt sich eine Laufzeit von O(m) durch Tiefensuche auf G 000 .
Z
s
Einleitung
Beispiel
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:30)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
0
Beispiel (Bestimme G )
a7
b7
a7
b7
a6
b6
a6
b6
a5
b5
a5
b5
a4
b4
a4
b4
a3
b3
a3
b3
a2
b2
a2
b2
a1
b1
a1
b1
s
t
SS2014
Z
s
Einleitung
Beispiel
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:31)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Beispiel (Breitensuche)
s
a7
b7
a6
b6
a5
b5
a4
b4
a3
b3
a2
b2
a1
b1
b7
a7
a6
b6
b5
t
s
a5
a4
b4
t
a3
b3
a2
b2
b1
a1
Z
s
Einleitung
Beispiel
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:32)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Beispiel (Tiefensuche)
s
a7
b7
a6
b6
a5
b5
a4
b4
a3
b3
a2
b2
a1
b1
b7
a7
a6
b6
b5
t
s
a5
a4
b4
b3
a2
b1
t
SS2014
Z
s
Einleitung
Beispiel
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:33)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Beispiel (Verbessernde Pfade)
s
a7
b7
a6
b6
a5
b5
a4
b4
a3
b3
a2
b2
a1
b1
b7
a7
a6
b6
b5
t
s
a5
a4
b4
b3
a2
b1
t
SS2014
Z
s
Einleitung
Beispiel
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:34)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Beispiel
a7
b7
a6
b6
a5
b5
a4
b4
a3
b3
a2
b2
a1
b1
b7
a7
a6
b6
b5
s
a5
a4
b4
b3
a2
b1
t
SS2014
Z
s
Einleitung
Beispiel
mit Flüssen
(3:35)
Laufzeit
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Z
Theorem
√
Das Maximum Matchingproblem auf bipartiten Graphen kann in Zeit O(m n)
gelöst werden.
s
Einleitung
mit Flüssen
Einleitung
(3:36)
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Matching mit Kosten
g(E ) =
Definition (maximum Matching)
Sei G = (V , E ) ungerichteter bipatiter Graph mit Kantenkosten g : E 7→ N.
M ⊆ E ist gewichtsmaximales Matching:
∀M 0 ⊂ E : M 0 ist Matching. : g(M 0 ) 6 g(M)
Idee suche erweiternden alternierenden Weg mit maximalen Kosten.
Verwende Idee von der schnellen Wegsuche
Hier werden nun Wege maximalen Gewichts gesucht.
Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und M Matching.
Erzeuge G 0 = (V ∪ W , E 0 ∪ E 00 ) mit:
E 0 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E \ M ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } und
E 00 = {(w , v ) | {v , w } ∈ M ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } und
∀e ∈ E 0 : gM (e) = g(e) und ∀e ∈ E 00 : gM (e) = −g(e).
Füge Quelle und Senke hinzu, damit entsteht G 0 .
Z
P
e∈E
i
g(e)
Einleitung
mit Flüssen
Einleitung
(3:37)
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Idee
g(E ) =
Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph, g : E 7→ N und M Matching.
Erzeuge G 0 = (V ∪ W , E 0 ∪ E 00 ) mit:
E 0 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E \ M ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } und
E 00 = {(w , v ) | {v , w } ∈ M ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } und
∀e ∈ E 0 : gM (e) = g(e) und ∀e ∈ E 00 : gM (e) = −g(e).
Damit wird ein ungerichteter M-verbessender Pfad P bestimmt.
Gewicht von P: gM (P) =
P
e∈P\M
g(e) −
P
g(e) −
X
e∈P∩M
g(e).
Damit haben wir:
g(M ⊕ P) =
X
e∈M
g(e) +
X
e∈P\M
e∈P∩M
Damit ergibt sich der folgende Algorithmus:
g(e) = g(M) + gM (p)
Z
P
e∈E
i
g(e)
Einleitung
mit Flüssen
Erster Algorithmus
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:38)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Algorithmus
g(E ) =
1
Gegeben G = (V , W , E ), g :7→ N
2
M = ∅ und Mopt = ∅
3
Solange es verbessernden Pfad P bezüglich M gibt, mache:
1
2
3
4
4
P
∀e ∈ E 0 : gM (e) = g(e) und ∀e ∈ E 00 : gM (e) = −g(e)
Bestimme verbessernden Pfad P mit maximalen Gewicht bezüglich
M und gM (e):
Setze M = M ⊕ E (P)
Falls g(M) > g(Mopt ), setze Mopt = M.
Ausgabe: Mopt .
Theorem
Der obige Algorithmus bestimmt gewichtsmaximales Matching und hat eine
Laufzeit von O(n2 · m).
Z
e∈E
i
g(e)
Einleitung
mit Flüssen
Erster Algorithmus
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:39)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Beweis
Lemma
Das im i-ten Schritt bestimmte Matching Mi ist das gewichtsmaximale
Matching mit Kardinalität i.
Beweis per Induktion:
Induktionsanfang i = 0 ist klar (M0 = ∅), Induktionsschritt i → i + 1
folgt.
Seien Mi die Machtings, die im i-ten Schritt bestimmt wurden.
Sei M 0 ein Matching mit |M 0 | = i + 1 und maximalem Gewicht.
Sei P ein verbessernde Pfad in Mi ⊕ M 0 .
Betrachte M = M 0 ⊕ P, es gilt |M| = i.
Es gilt damit: P ∩ M = P \ M 0 = P ∩ Mi .
Z
i
Einleitung
mit Flüssen
Erster Algorithmus
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:40)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Beweis
Lemma
Das im i-ten Schritt bestimmte Matching Mi ist das gewichtsmaximale
Matching mit Kardinalität i.
Beweis per Induktion:
Induktionsanfang i = 0 ist klar (M0 = ∅), Induktionsschritt i → i + 1
folgt.
Seien Mi die Machtings, die im i-ten Schritt bestimmt wurden.
Sei M 0 ein Matching mit |M 0 | = i + 1 und maximalem Gewicht.
Sei P ein verbessernde Pfad in Mi ⊕ M 0 .
Betrachte M = M 0 ⊕ P, es gilt |M| = i.
Es gilt damit: P ∩ M = P \ M 0 = P ∩ Mi .
Per Induktion gilt: g(Mi ) > g(M) = g(M 0 ) − gM (P).
Und wir erhalten gM (P) = gMi (P) 6 gMi (P 0 ),
wobei P 0 der Pfad ist, den der Algorithmus bestimmte.
Damit: g(M 0 ) = g(M) + gM (P) 6 g(Mi ) + gMi (P 0 ) = g(Mi+1 ).
Z
i
Einleitung
mit Flüssen
Erster Algorithmus
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:41)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Laufzeit
Z
Der Algorithmus bestimmt bn/2c mal einen verbessernden
kostenmaximalen Weg.
Wir setzen l(e) = −gM (e) für alle Kanten, damit haben wir:
Der Algorithmus bestimmt bn/2c mal einen kürzesten Weg.
Dabei treten auch negative Gewichte auf.
Wegen des vorherigen Lemmas haben wir keine negativen Kreise
bezüglich l.
Positive Kreise bezüglich gM widersprächen der Optimalität von Mi :
Damit kann nun mit dem Bellmann-Ford-Algorithmus von einer Quelle
aus gearbeitet werden.
Dieser hat Laufzeit O(nm).
Damit ist die Gesammtlaufzeit O(n2 m).
i
Einleitung
mit Flüssen
Zweiter Algorithmus
Altern. Pfade
(3:42)
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Idee
Z
i
l(e) = −gM (e)
Nutze den Dijkstra-Algorithmus (Laufzeit O(m + n log n)).
Transformiere dazu die Längen, so dass keine negativen Werte auftreten.
Beachte: wir haben keine negativen Kreise.
Verwende dazu eine Potentilafunkion p : V 7→ Z mit:
∀(v , w ) = e ∈ E : l 0 (e) = l(e) − p(w ) + p(v )
Die Berechnung so einer Potentialfunktion p im Rahmen der Suche nach
dem Matching wird die Ungarische Methode genannt.
Einleitung
mit Flüssen
Zweiter Algorithmus
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:43)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Transformation 1
Z
i
l(e) = −gM (e)
Lemma
Sei G = (V , E ) Graph mit Kantengewichten l : E 7→ Z und p : V 7→ Z. Wenn
G enthalte keine negativen Kreise, dann setze:
∀(v , w ) = e ∈ E : l 0 (e) = l(e) − p(w ) + p(v ).
Dann gilt für jeden kürzesten Weg P von a nach b:
distl 0 (a, b) = p(a) − p(b) + distl (a, b).
Beweis:
distl 0 (a, b)
=
=
=
P
0
Pe∈P l (e)
l(e) − p(w ) + p(v )
(v ,w )=e∈P
P
p(a) − p(b) + e∈P l(e)
Damit können die kürzesten Wege auch mit diesen neuen Kantengewichten
bestimmt werden.
Einleitung
mit Flüssen
Zweiter Algorithmus
Altern. Pfade
(3:44)
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Transformation 2
Z
i
l(e) = −gM (e)
Lemma
Sei G = (V , E ) Graph mit Kantengewichten l : E 7→ Z und q ∈ V . Wenn G
enthalte keine negativen Kreise, dann setze weiter p : V 7→ Z mit
p(v ) = distl (q, v ) und
∀(v , w ) = e ∈ E : l 0 (e) = l(e) − p(w ) + p(v ).
Dann gilt:
∀e ∈ E : l 0 (e) > 0.
Beweis:
Für jede Kante e = (v , w ) gilt: distl (q, w ) 6 distl (q, v ) + l(e).
Und damit:
l 0 (e)
=
=
>
l(e) − p(w ) + p(v )
l(e) − distl (q, w ) + distl (q, v )
l(e) − (distl (q, v ) + l(e)) + distl (q, v )
=
0
Einleitung
mit Flüssen
Zweiter Algorithmus
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:45)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Transformation 3
Z
i
l(e) = −gM (e)
Lemma
Sei G = (V , E ) Graph mit Kantengewichten l : E 7→ Z und q ∈ V . Wenn G
enthalte keine negativen Kreise, dann setze weiter p : V 7→ Z mit
p(v ) = distl (q, v ) und
∀(v , w ) = e ∈ E : l 0 (e) = l(e) − p(w ) + p(v ).
Dann gilt für die Kanten e eines kürzsten Weg von q aus:
l 0 (e) = 0.
Beweis:
Wegen l 0 (e) = l(e) − p(w ) + p(v ) gilt für ein Kante e = (q, v ): l 0 (e) = 0.
Sei P ein kürzester Weg von q nach v .
Dieser hat im Vergleich zu den ursprünglichen Kosten den aditiven Term
p(q) − p(v ).
Damit p(q) − p(v ) = distl (q) − distl (v ) = − distl (v ).
Und weiter. distl 0 (v ) = distl (v ) − distl (v ) = 0.
Einleitung
mit Flüssen
Zweiter Algorithmus
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:46)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Ungarische Methode
Z
i
l(e) = −gM (e)
1
Gegeben G = (V , W , E ), g : E 7→ N
2
M = ∅, Mopt = ∅ und für alle v ∈ V setze p(v ) = 0.
3
Für alle w ∈ W setze p(w ) = mine∈E l(e).
4
Wiederhole die folgenden Schritte:
1
2
3
4
5
6
7
Füge Knoten q zu V hinzu und Kanten (q, v ) zu allen Knoten aus
v ∈ V \ V (M).
Bestimme Kantenlängen lM mit Hilfe von g und M.
Bestimme p(v ) = distlM (q, v ) für alle erreichbaren Knoten v .
Setze l 0 (e) = lM (e) + p(v ) − p(w ) für alle Kanten e = (v , w ).
Falls es Pfad P mit l 0 (P) = 0 von q zu einem Knoten aus
W \ V (M) gibt, so setze M = M ⊕ E (P)
Falls es keinen solchen Pfad P gibt, so gebe Mopt aus und
terminiere.
Falls g(M) > g(Mopt ), setze Mopt = M.
Einleitung
mit Flüssen
Zweiter Algorithmus
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:47)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Laufzeit
Z
i
l(e) = −gM (e)
Theorem
Der obige Algorithmus bestimmt gewichtsmaximales Matching und hat eine
Laufzeit von O(n · (m + n log n)).
Bemerkungen dazu (Nach Konstruktion gelten die vorherigen Ausagen):
Beim Übergang von Mi nach Mi+1 werden nur Kanten e mit Kosten
l 0 (e) = 0 gedreht.
Damit vergrößert sich nicht der von q aus erreichbare Teil.
Sei e = (v , w ) so eine Kante vor der Drehung.
Für die gedreht Kante e 0 = (w , v ) gilt:
0
0
(e 0 ) = lMi+1 (e 0 )−p(w )+p(v ) = −lMi (e 0 )−p(w )+p(v ) = −lM
(e) = 0.
lM
i
i+1
Damit können wir im Schritt 5.4 den Dijkstra-Algorithmus anwenden.
Weiterhin können wir die Potentiale in Schritt 5.2 mit Breitesuche
bestimmen.
Damit O(n) Iterationen mit Laufzeit O(m + n log n) plus O(n + m).
Einleitung
mit Flüssen
Altern. Pfade
Probleme bei ungeraden Kreisen
verbesserte Laufzeit
(3:48)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Einleitung
Z
i
l(e) = −gM (e)
Was passiert, wenn der obige Algorithmus auf ungerade Kreise stößt?
Es gibt ggf. mehr Möglichkeiten des Durchlaufs.
Ausblick und Vorgehen:
Untersuche die möglichen Situationen.
Erkenne die Situationen, die kritisch für den Algorithmus sind.
Passe Algorithmus für diese Situationen an.
Einleitung
mit Flüssen
Altern. Pfade
Probleme bei ungeraden Kreisen
verbesserte Laufzeit
(3:49)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Erster unkritischer Fall
Z
i
l(e) = −gM (e)
Die Suche startet an a0 .
Der Kreis C = {b0 , b1 , . . . , b6 } wird bei b0 erreicht.
Wegen {b0 , b1 } ∈ M wird der Kreis in eindeutiger Richtung durchlaufen.
Damit ist die Kante {b0 , b6 } nicht mehr relevant.
Der Fall ist unkritisch.
a2
a1
a0
c6
c5
c4
b6
b5
b4
b1
b2
b3
c1
c2
c3
b0
Einleitung
mit Flüssen
Altern. Pfade
Probleme bei ungeraden Kreisen
verbesserte Laufzeit
(3:50)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Zweiter unkritischer Fall
SS2014
Z
i
l(e) = −gM (e)
Die Suche startet an a1 .
Der Kreis C = {b0 , b1 , . . . , b6 } wird bei b0 erreicht.
Es gibt zwei Möglichkeiten, in den Kreis zu laufen.
Diese sind unabhängig, da b5 frei in G|C ({b5 , b6 } nicht relevant)
Der Fall ist unkritisch.
a2
a1
a0
c6
c5
c4
b6
b5
b4
b1
b2
b3
c1
c2
c3
b0
Einleitung
mit Flüssen
Altern. Pfade
Probleme bei ungeraden Kreisen
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:52)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Beispiel
SS2014
Z
i
l(e) = −gM (e)
c5
Problem mit ungeraden Kreisen.
Wenn wir von a1 starten, dann
gibt es zwei Möglichkeiten.
über b0 und b1
nach c2
nach c6
oder über b0 und b4
nach c3
nach c0
c3
b4
b3
b1
b2
c0
c1
c2
c5
c4
c3
c6
a2
b0
a1
c6
Jeder Knoten aus dem Kreis ist
erreichbar.
a2
Die ausgehende Kante bestimmt
den Durchlauf durch den Kreis.
a1
Daher kann der Kreis durch einen
Knoten ersetzt werden.
c4
Kreis
c0
c1
c2
Einleitung
Algorithmus
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:53)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Situation
SS2014
Z
i
l(e) = −gM (e)
Definition (Blüte)
Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph und M Matching in G.
C = {v0 , v1 , v2 , . . . , vk } heißt Blüte, falls
G|C ist ein ungerader Kreis (d.h. k ist gerade).
{vi , vi+1 } ∈ M für i ∈ {1, 3, 5, . . . , k − 1}.
v0 ist der Startknoten der Blüte C .
Definiere S(G, C ) = (V 0 , E 0 ∪ E 00 ) mit:
˙
V 0 = (V \ C )∪{c}
E 0 = {{v , w } | {v , w } ∈ E ∧ v , w ∈ V 0 }
E 00 = {{v , c} | ∃w ∈ C : {v , w } ∈ E }
Einleitung
mit Flüssen
Algorithmus
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:54)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Aufbau der Idee:
Z
i
l(e) = −gM (e)
Starte mit einer normalen Suche nach verbessernden Pfaden.
Falls eine Blüte C in ihrem Startknoten betreten wird, so mache:
Schrumpfe C zu einem Knoten,
d.h. setze Suche auf S(G, C ) fort.
Falls verbessernder Pfad gefunden wird, so übertrage diesen auf G.
Initialisiere:
1
Eingabe: G = (V , E ) und M Matching.
2
Setze: G 0 = (V , E 0 ) mit E 0 = {(v , w ) | {v , w } ∈ E }.
3
Für alle {v , w } ∈ M setze: P(v ) = w und P(w ) = v .
4
Setze: Z (v ) = even für alle v ∈ V mit v ∩ ∪e∈E e 6= ∅
5
Setze: Z (v ) = away für alle v ∈ V mit v ∩ ∪e∈E e = ∅
Einleitung
Algorithmus
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:55)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Algorithmus (Edmonds)
Z
n
l(e) = −gM (e)
1
0
Wiederhole: Wähle (v , v ) = e ∈ E
mit: Z (v ) = even und e ist noch
nicht betrachtet worden.
1
2
3
4
2
0
Falls Z (v 0 ) = odd, führe nichts
aus (Fall 0).
Falls Z (v 0 ) = away, führe Fall 1
aus.
Falls Z (v 0 ) = even und v und
v 0 im selben Baum, führe Fall 2
aus.
Falls Z (v 0 ) = even und v und
v 0 nicht im selben Baum, führe
Fall 3 aus.
bis Fall 3 eingetreten oder es gibt
keine zu untersuchenden Kanten
mehr.
Fall 1:
1
2
Z (v 0 ) = odd und
Z (P(v 0 )) = even.
p(v 0 ) = v und
p(P(v 0 )) = v 0 .
Fall 2:
1
2
3
v 00 sei nächster
gemeinsamer Vorfahr.
Schrumpfe Blüte
v , v 0 , . . . , v 00 , . . . , v .
Passe dabei Daten p an.
Fall 3:
1
2
Verbinde v und v 0 .
Verbessernder Pfad ist
gefunden.
Einleitung
Algorithmus
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:56)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Beispiel
SS2014
Z
n
l(e) = −gM (e)
even
odd
v4
v5
v6
v7
v0
v1
v2
v3
v4
v5
Wähle Kante v0 , v4 .
Fall 2, Weg: v0 , v4
Wähle Kante v4 , v1 .
Fall 2, Weg: v0 , v4 , v1
Wähle Kante v1 , v2 .
Fall 2, Weg: v0 , v4 , v1 , v2
Wähle Kante v2 , v3 .
Fall 2, Weg: v0 , v4 , v1 , v2 , v3
Wähle Kante v3 , v7 .
Fall 0, v3 , v7 ist betrachtet
worden.
v0
Wähle Kante v3 , v6 .
Fall 2, es wird geschrumpft.
v7
v0
v1
Einleitung
mit Flüssen
Ergebnisse
(3:57)
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Ergebnisse
Z
i
l(e) = −gM (e)
Theorem
√
Auf allgemeinen Graphen ist das Matchingproblem in Zeit O(m n) lösbar.
Beweisidee:
Kombiniere obigen Algorithmus mit der Suche nach kurzen verbessernden
Pfaden.
D.h. adaptiere obigen Algorithmus in eine Breitensuche.
Verwalte dabei die Pfadlängen korrekt, d.h. beachte die Länge in den
Blüten mit.
Die Pfadlänge in den Blüten ist abhängig von den Kanten, die wir zum
Betreten und Verlassen nutzen.
Einleitung
mit Flüssen
Ergebnisse
(3:58)
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Ergebnisse
Z
i
l(e) = −gM (e)
Theorem
Auf allgemeinen Graphen ist das gewichtete Matchingproblem in Zeit O(n3 )
lösbar.
Beweisidee:
Suche verbessernde Pfade und
Suche kostenverbessernde alternierende Kreise.
Vorgehen wie bei kostenminimalen Flüssen.
Einleitung
Definitionen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:59)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Claw-free
Z
n
N(v ) = {w | {w , v } ∈ E }, N[v ] = N(v ) ∪ {v }
Klaue
a
klauenfrei
z
b
c
a
z
b
c
d
Definition (Claw-free (klauenfrei))
G heißt klauenfrei, falls kein knoteninduzierter Teilgraph eine Klaue ist.
Ziel: Bestimme die größte stabile Menge (independent set) auf
klauenfreien Graphen.
Dazu betrachten wir eine Teilklasse der klauenfreien Graphen.
Auf Kantengraphen entspricht das Bestimmen einer stabilen Menge einem
Matching.
Dann übertragen wir das Vorgehen “verbessernde Pfade” auf klauenfreie
Graphen.
Einleitung
Definitionen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:60)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Kantengraphen
SS2014
Z
n
N(v ) = {w | {w , v } ∈ E }, N[v ] = N(v ) ∪ {v }
Definition (Kantengraph)
Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. L(G) = (E , E 0 ) heißt Kantengraph von G,
falls
E 0 = {{e, e 0 } | e, e 0 ∈ E ∧ e ∩ e 0 6= ∅}.
Ein Graph H heißt Kantengraph, falls es einen Graphen G gibt, mit L(G) = H.
a
c
b
x
y
b
c
Lemma
Kantengraphen sind klauenfrei.
e
a
d
Einleitung
Definitionen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:62)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Beispiel 1
c
d
z
a
b
dz
cz
az
bz
SS2014
Z
n
Einleitung
Definitionen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:64)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Beispiel 2
d
c
cd
da
a
b
bc
ab
Z
n
Einleitung
Definitionen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:66)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Beispiel 3
g
f
e
fg
h
i
j
hi
ah
a
b
c
d
ef
gj
gh
bh
ab
Z
fj
ij
ce
bc
cd
bi
de
n
Einleitung
Aussagen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:67)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Aussagen
Lemma
Für Kantengraphen G kann,
√ falls H mit L(H) = G bekannt ist, eine größte
stabile Menge in Zeit O(m n) bestimmt werden.
(Das Erkennungsproblem für Kantengraphen ist in P.)
Beweis: Übung.
e
d
de
ea
a
b
c
be
bd
ab
bc
cd
Z
n
Einleitung
Aussagen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:68)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Aussagen
SS2014
Z
n
G|W = (W , {e | e ∈ E ∧ e \ W = ∅})
Definition (Independent Set (Stabile Menge))
Sei G = (V , E ). Die Größe der größten stabilen Menge wird mit α(G)
bezeichnet:
α(G) =
max
|I|
I⊂V ∧E (G|I)=∅
Lemma (Claw-free (klauenfrei))
G = (V , E ) ist klauenfrei, falls ∀v ∈ V : α(G|N[V ]) 6 2.
Beweis: Übung:
Theorem
Für klauenfreie Graphen G ist das Bestimmen von α(G) in P.
Einleitung
Vorgehen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:69)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Idee
Gegeben sei G = (V , E ) und S stabile Menge auf G.
Vergrößere schrittweise S durch eine “alternierende Menge (Pfad)”
Die Knoten aus S nennen wir “rote Knoten”, alle anderen sind “weiß”.
Erste Klassifizierung der weißen Knoten
v2
v3
v5
x
v1
v4
gebunden: benachbart mit zwei roten Knoten.
beweglich: benachbart mit einem roten Knoten.
frei: benachbart mit keinem roten Knoten.
Knoten die frei sind, können wir sofort in die stabile Menge aufnehmen.
D.h. im Folgenden keine freien Knoten.
Nun definieren wir das Analogon zu den alternierenden Pfaden.
Z
n
Einleitung
Vorgehen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:70)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Alternierende Mengen
Z
Definition
Gegeben sei G = (V , E ) klauenfrei und S ⊂ V stabile Menge. Eine
Knotenmenge P ⊂ V heißt alternierende Menge, falls die weißen Knoten von P
eine stabile Menge in G|P sind.
Lemma
Eine alternierende Menge P auf einem klauenfreien Graphen ist ein Pfad oder
ein Kreis. D.h. δ(G|V (P)) 6 2.
Beweis: V (P) ∪ S und V (P) ∪ (V \ S) sind stabile Mengen. Mit
∀v ∈ V : α(G|N[V ]) 6 2 folgt die Behauptung.
a
b
c
d
e
f
g
n
Einleitung
Vorgehen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:71)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Verbessernde Pfade
Definition (Verbessernder Pfad)
Falls eine alternierende Menge ein Pfad P ist, mit:
Die Endpunkte sind weiss.
Die Endpunkte sind nicht verbunden.
Es gibt keine Kanten zwischen weissen Knoten auf dem Pfad.
Hier reicht es aus zu fordern: Keine Kanten zwischen weissen
Knoten, die einen Abstand von zwei haben auf P.
a
b
c
d
e
f
g
Z
n
Einleitung
Vorgehen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:72)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Einige hilfreiche Strukturen
x1
x2
x3
x4
x0
x5
x7
x6
Sei x0 beweglicher Knoten.
Dann ist x1 eindeutig bestimmt.
Das kann ggf. eindeutig weiter gehen.
Aufteilung geht nur an einem roten
Knoten (x5 ).
x0
y1
y0
Dann gibt es Kante in N(x5 ).
Dann geht der Weg eindeutig weiter:
x6 , x7 .
y2
z0
Andere Aufteilung an x7 .
Jede Alternative ist möglich.
Algorithmisch ergibt sich aber eine
einfache Verzweigungsstruktur.
z3
z2
z1
Z
n
Einleitung
Vorgehen
mit Flüssen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:73)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Algorithmus
Eine vollständige Untersuchung ergibt, dass das Suchen nach den
verbessernden Pfaden möglich ist.
Wird hier nicht vorgeführt.
Ist Graphentheorie.
Am Ende ergibt sich aber ein ähnlicher Algorithmus:
1
Gegeben G = (V , E ) klauenfreier Graph
2
S=∅
3
Solange es verbessernden Pfad P gibt, mache:
1
4
Setze S = S ⊕ V (P)
Ausgabe: S.
SS2014
Z
n
Einleitung
mit Flüssen
Stabile Paarungen
Altern. Pfade
(3:74)
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Definition
SS2014
Z
Gegeben vollständiger bipartiter Graph (A, B, E ) mit |A| = |B|.
Eine Sympathieliste L(A) ist eine totale Ordnung auf A: a1 < a2 < . . . an .
Für jedes a ∈ A gibt es Sympathieliste La (B)
Für jedes b ∈ B gibt es Sympathieliste Lb (A)
Ziel: Bestimme stabile Paarung (perfektes Matching), mit:
Kein Paar a, b ist unzufrieden, d.h.
(a, b) 6∈ M und (a, b 0 ) ∈ M, (a0 , b) ∈ M mit:
b <La (B) b 0 , d.h. a bevorzugt b vor b 0 und
a <Lb (A) a0 , d.h. b bevorzugt a vor a0
n
Einleitung
mit Flüssen
Stabile Paarungen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:75)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Beispiel
La1 (B)
La2 (B)
La3 (B)
La4 (B)
La5 (B)
=
=
=
=
=
(b2 , b5 , b1 , b3 , b4 )
(b1 , b2 , b3 , b4 , b5 )
(b2 , b3 , b5 , b4 , b1 )
(b1 , b3 , b2 , b4 , b5 )
(b5 , b3 , b2 , b1 , b4 )
Lb1 (A)
Lb2 (A)
Lb3 (A)
Lb4 (A)
Lb5 (A)
=
=
=
=
=
(a5 , a1 , a4 , a2 , a3 )
(a4 , a5 , a2 , a1 , a3 )
(a1 , a4 , a2 , a3 , a5 )
(a3 , a2 , a4 , a1 , a5 )
(a4 , a2 , a3 , a5 , a1 )
Paarung A: (a1 , b1 )(a2 , b3 )(a3 , b2 )(a4 , b4 )(a5 , b5 )
Paarung B: (a1 , b1 )(a2 , b4 )(a3 , b5 )(a4 , b3 )(a5 , b2 )
Paarung A ist nicht stabil: (a1 , b2 ) sind unzufrieden.
Paarung B ist stabil.
Z
n
Einleitung
mit Flüssen
Stabile Paarungen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:76)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Algorithmus (Gale und Shapley)
1
Setze M = ∅
2
Solange es noch einen ai ∈ A gibt, mit ai 6∈ ∪e∈M e, mache
1
2
3
4
Z
Sei bj erstes Element in Lai (B).
Lösche bj aus Lai (B).
Falls bj 6∈ ∪e∈M e gilt, so setze: M = M ∪ {ai , bj }.
Falls bj ∈ ∪e∈M e und sei {ak , bj } ∈ M dann mache:
1 Falls ai <L (A) ak , dann setze: M = (M \ {{ak , bj }}) ∪ {ai , bj }.
bj
Theorem (Gale und Shapley)
Der Algorithmus terminert nach O(n2 ) Runden mit einer stabilen Paarung.
n
Einleitung
mit Flüssen
Stabile Paarungen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:77)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Beispiel
La1 (B)
La2 (B)
La3 (B)
La4 (B)
La5 (B)
=
=
=
=
=
(b2 , b5 , b1 , b3 , b4 )
(b1 , b2 , b3 , b4 , b5 )
(b2 , b3 , b5 , b4 , b1 )
(b1 , b3 , b2 , b4 , b5 )
(b5 , b3 , b2 , b1 , b4 )
Lb1 (A)
Lb2 (A)
Lb3 (A)
Lb4 (A)
Lb5 (A)
=
=
=
=
=
(a5 , a1 , a4 , a2 , a3 )
(a4 , a5 , a2 , a1 , a3 )
(a1 , a4 , a2 , a3 , a5 )
(a3 , a2 , a4 , a1 , a5 )
(a4 , a2 , a3 , a5 , a1 )
Ablauf des Verfahrens:
Mx (y ): in Runde x wird Matching mit y aufgenommen.
Fx (y ): in Runde x wird Matching mit y angefragt.
Sx (y ): in Runde x wird Matching mit y gelöst.
Partner(a1 )
Partner(a2 )
Partner(a3 )
Partner(a4 )
Partner(a5 )
=
=
=
=
=
M2 (b2 ), S7 (b2 ), M8 (b5 ), S9 (b5 ), M10 (b1 ), b3 , b4
M3 (b1 ), S6 (b1 ), M7 (b2 ), S14 (b2 ), F15 (b3 ), M16 (b4 ), b5
F4 (b2 ), M5 (b3 ), S11 (b3 ), M12 (b5 ), b4 , b1
M6 (b1 ), S10 (b1 ), M11 (b3 ), b2 , b4 , b5
M9 (b5 ), S12 (b5 ), F13 (b3 ), M14 (b2 ), b1 , b4
Z
n
Einleitung
mit Flüssen
Stabile Paarungen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
(3:78)
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Beweis
Laufzeit:
Für jedes Paar a, b ∈ A × B wird höchstens eine Anfrage gemacht.
Korrektheit (Matching ist perfekt):
Jedes Element aus B bleibt in ∪e∈M e, wenn es einmal
aufgenommen wurde.
Falls am Ende ein Paar a, b 6∈ ∪e∈M e, dann hat a nie eine Anfrage
an b gemacht, Widerspruch.
Korrektheit (Matching ist stabil):
Angenommen (a, b) sind unzufrieden: (a, b) 6∈ M und
(a, b 0 ) ∈ M, (a0 , b) ∈ M mit: b <La (B) b 0 und a <Lb (A) a0 .
Falls a nie bei b angefragt hat (aber wohl bei b 0 ), gilt b 0 <La (B) b
(Widerspruch).
Falls a vor a0 bei b angefragt hat, gilt a =Lb (B) a0 (Widerspruch).
Falls a nach a0 bei b angefragt hat, hätte a a0 verdrängt
(Widerspruch).
Z
n
Einleitung
mit Flüssen
Stabile Paarungen
Altern. Pfade
(3:79)
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Literatur
Cormen, Leiserson, Rives: Introduction to Algorithms, First Edition, MIT
Press, 1990.
Cormen, Leiserson, Rives: Introduction to Algorithms, Second Edition,
MIT Press, 2001.
Ottmann, Widmayer: Algorithmen und Datenstrukturen. BI-Wiss.-Verl.
1990.
Z
n
Einleitung
mit Flüssen
Stabile Paarungen
Altern. Pfade
(3:80)
verbesserte Laufzeit
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
SS2014
Fragen(Matching)
Wie kann man das bipartite Matching mit Flussalgorithmen lösen?
Welche Laufzeiten haben die verschiedenen Matchingprobleme?
Welcher Zusammenhang besteht zwischen verbessernden Pfaden und
einem maximum Matching?
√
Wie ist die Vorgehensweise, um eine Laufzeit von O(m n) für das
Matchingproblem zu erhalten?
Wie ist die Vorgehensweise, um das Matching auf allgemeinen Graphen
zu bestimmen?
Z
x
Einleitung
mit Flüssen
Stabile Paarungen
Altern. Pfade
verbesserte Laufzeit
(3:81)
mit Kosten
Blüten
Zwei Anwendungen
<> Walter Unger 17.1.2015 17:56
Legende
n : Nicht relevant
g : Grundlagen, die implizit genutzt werden
i : Idee des Beweises oder des Vorgehens
s : Struktur des Beweises oder des Vorgehens
w : Vollständiges Wissen
SS2014
Z
x