Experimente zur Physik Jenseits des Standardmodells

Experimente zur Physik
Jenseits des Standardmodells
Notizen zur Vorlesung im Sommersemester 2014
Peter Schleper
3. April 2014
Institut für Experimentalphysik, Universität Hamburg
[email protected]
http://www.desy.de/~schleper/lehre/BSM/SS_2014
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1
Das Standardmodell
1.1
1.2
4
Übersicht . . . . . . . . . . . . . . .
Fundamentale Graphen . . . . . . . .
1.2.1 QED . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 QCD: starke Wechselwirkung
1.2.3 Schwache Wechselwirkung . .
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4
5
5
6
7
10
A Lagrange-Formalismus
11
A.1 Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Schrödinger-Gleichung . . . . . . . .
A.1.2 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . .
A.1.3 Dirac Gleichung . . . . . . . . . . . .
A.2 Lagrange-Formalismus . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Für klassische Teilchen . . . . . . . .
A.2.2 Für die Klein-Gordon Gleichung . . .
A.2.3 Für die Dirac- Gleichung . . . . . . .
A.3 Globale Symmetrien und Noether- Theorem
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B Quanten-Elektrodynamik
B.1
B.2
B.3
B.4
Lokale Eichinvarianz . .
Wechselwirkung . . . . .
Vektorfelder . . . . . . .
QED: Zusammenfassung
11
11
11
12
13
13
13
14
14
15
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C Elektro-schwache Wechselwirkung
C.1 SU(2)L und schwacher Isospin . . . . . . . . . . . .
C.2 SU(2)L × U(1)Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3 Eichbosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3.1 Wechselwirkung von W Bosonen mit Fermionen
C.3.2 Mischung von Photon und Z0 . . . . . . . .
C.3.3 Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . .
C.3.4 Wechselwirkungen des Z0 mit Fermionen . .
C.4 Spontane Symmetrie-Brechung . . . . . . . . . . . .
C.4.1 Der Higgs- Mechanismus im Standard-Modell
C.4.2 Eichboson - Higgs Wechselwirkung . . . . .
C.4.3 Fermion-Higgs Kopplung und Fermion-Massen
D Lagrange-Dichte des Standard-Modells
15
16
16
17
18
18
21
22
22
23
23
24
26
26
29
31
33
3
1.1 Übersicht
1
Das Standardmodell
1.1
Übersicht
Das Standard Modell
lokale Eichtheorien
starke WW
elektro-schwache WW
QED
U(1)e
SU(3)c
U(1)Y
Bo
γ
g
SU(2)L
Wo
Zo
W+-
s
mm pont
etr ane
ie B
rec
h
Sy
un
g
W+Higgs
Leptonen
νe νµ ντ
e µ τ
Quarks
u c t
d s b
Wechselwirkungen
Mesonen: π, K,...
Baryonen: p,n,...
Abb. 1.1 Schema des Standard-Modells mit allen Teilchen. Grüne
Pfeile stellen Wechselwirkungen dar.
Die folgende Lagrange-Dichte beinhaltet, bis auf die Mischung zwischen verschiedenen Generationen von Quarks und von Leptonen,
das komplette Standard-Modell.
− 14 B µν Bµν − 41 Waµν Waµν
L=
− 14 Gµν
a Gaµν
+
P
ψ̄L iγµ (∂ µ + ig σ2a Waµ + ig 0 Y2 B µ )ψL
P
+ ψR ψ̄R iγµ (∂ µ + ig 0 Y2 B µ )ψR
ψL
+
P
q
P
ψ cψ
ψ̄L φ ψR + ψ̄R φ† ψL
−(µ2 |φ|2 + λ|φ|4 )
4
WW mit W ± , γ, Z 0
Quarks: WW mit Gluonen
q̄iγµ (∂ µ + igs λ2a Gµa ) q
+|(∂ µ + ig σ2a Waµ + ig 0 Y2 B µ ) φ |2
−
γ, Z 0 , W ± : Ekin
und Selbstwechselwirkung
Gluon:Ekin
und Selbstwechselwirkung
Fermion:Ekin und
Higgs Ekin
Higgs WW mit Z,W
Z 0 , W ± Masse,
Fermion: Masse, WW mit Higgs
Higgs Masse und Selbst-WW
1.2 Fundamentale Graphen
1.2
Fundamentale Graphen
Aus der Eichtheorie und der Quantenfeldtheorie folgt die Vorhersage fundamentaler Vertizes zwischen Fermionen und Boson beziehungsweise mehrerer Bosonen. Zudem folgt aus der Dirac-Gleichung,
dass einlaufende Teilchen durch auslaufende Anti-Teilchen ersetzt
werden können, und umgekehrt. Zusätzlich werden die erlaubten
Graphen durch Erhaltungssätze für Energie, Impuls und Ladungen
eingeschränkt. Die daraus folgenden Feynman-Graphen zeigen alle
erlaubten Prozesse in der Natur.
1.2.1
QED
Fundamentaler Graph .
Abb. 1.2 fundamentaler Graph
für alle el. geladenen Teilchen,
Teilchen ändert 4-er Impuls, Teilchensorte bleibt unverändert,
Amplitude ∼ el. Ladung
Hieraus lassen sich folgende weitere Graphen ableiten:
Abb. 1.3 Ersetze Teilchen im
Endzustand durch Anti-Teilchen
im Anfangszustand
(Konvention: Anti-Teilchen mit
Pfeil rückwärts)
Abb. 1.4
Zeitumkehr
Reale Prozesse .
Für sich allein sind diese fundamentalen Vertizes als reale Prozesse wegen Energie und Impulserhaltung verboten. Reale Prozesse
setzen sich daher aus 2 oder mehr dieser fundamentalen Vertizes
zusammen.
Abb. 1.5 s-Kanal
Paar-Erzeugung neuer Teilchen
reelle Teilchen im Anfangs- und
Endzustand, virtuelle Teilchen im
Zwischenzustand,
erlaubt, falls pu + pū = pt + pt̄
Schwellenenergie ECM S ≥ 2mt
5
1.2 Fundamentale Graphen
Abb. 1.6 t-Kanal
keine Schwellenenergie
1.2.2
QCD: starke Wechselwirkung
Fundamentale Graphen .
Abb. 1.7 Quark strahlt Gluon ab:
Kopplung = gs , gleich für alle Quarks
Abb. 1.8 3-Gluon Vertex
Gluon tragen selber Farbe: Gluon SelbstWechselwirkung
Kopplung = gs , wie für Quarks
Abb. 1.9 4-Gluon Vertex
Kopplung = gs , wie für Quarks
Reale Graphen .
Abb. 1.10
Abb. 1.11
6
1.2 Fundamentale Graphen
Abb. 1.12
1.2.3
Schwache Wechselwirkung
Fundamentale Graphen .
Abb. 1.13 Lepton strahlt W
ab und ändert seinen Typ
Kopplung = g, gleich für alle
Leptonen
Abb. 1.14 Quark strahlt W
ab und ändert seinen Typ
Kopplung = g, gleich für alle
Quarks
Abb. 1.15 Quark oder Lepton strahlt
Z ab, keine Änderung des Fermion-Typs
Kopplung unterschiedlich für νe , e, d, u
Abb. 1.16 W und Z tragen schwache
Ladung
W, Z Selbstwechselwirkung
Abb. 1.17 W ist elektrische geladen
und strahlt γ ab
Kopplung = e
Abb. 1.18 4-W Vertex, Kopplung = g 2
Fundamentale Graphen mit Higgs .
7
1.2 Fundamentale Graphen
Abb. 1.19 Lepton oder Quark strahlt
Higgs ab, keine Änderung des Typs
Kopplung ∼ Masse des Fermions
W, Z strahlt Higgs ab
Kopplung ∼ Masse von W, Z
Abb.
kung
1.20 3-Higgs- Selbstwechselwir-
Abb.
kung
1.21 4-Higgs- Selbstwechselwir-
Reale Graphen .
Abb. 1.22 Muon-Zerfall µ− → e− ν̄e νµ
über ein virtuelles W. Das µ strahlt zunächst ein W ab und geht in ein MuonNeutrino über. Das W zerfällt in Elektron
und Elektron-Neutrino.
Abb. 1.23 d-Zerfall d → ue− ν̄e über ein
virtuelles W. Das W zerfällt in Elektron
und Elektron-Neutrino.
 
 
d
u
d → d e− ν̄e
u
u
Abb. 1.24 Neutron-Zerfall n → pe− ν̄e .
Eines der d Quarks zerfällt, die anderen
Quarks nehmen nicht direkt am Zerfall teil.
Quark-Fluss-Diagramm
Abb.
1.25 Z-Austausch (“neutraler
Strom”) in der Neutrino-Quark-Streuung
νµ d → νµ d.
Abb. 1.26 W -Zerfall.
Realer Prozess möglich auch für ein reelles
W , da MW > mτ + mτ̄
8
1.2 Fundamentale Graphen
Abb. 1.27 Z-Zerfall.
Realer Prozess möglich auch für ein reelles
Z, da MZ > 2mb,b̄
9
1.2 Fundamentale Graphen
.
10
A.1 Wellengleichungen
A
A.1
A.1.1
Lagrange-Formalismus
Wellengleichungen
Schrödinger-Gleichung
QM- Wellengleichung für nicht-relativistische Teilchen.
Benutzt wird die nicht-relativistische Energie-Impuls Beziehung für
freie Teilchen:
p~2
E=
2m
Quantisierung: Ersetzt man Energie und Impuls eines Teilchens
durch die Operatoren
E → i∂t ,
p → −i∇
und wendet das Resultat auf eine Wellenfunktion ψ(x, t) an, so folgt
die Schrödinger-Gleichung,
−i∂t ψ =
1 2
∇ψ
2m
(in natürlichen Einheiten, ~ = 1). Lösungen sind ebene Wellen:
ψ = ψ0 ei(Et−~p~r) ,
so dass mit ∂t ψ = iEψ, ∇ψ = −i~pψ und ∇2 ψ = −~p2 ψ die EnergieImpuls Beziehung wieder erfüllt ist:
Eψ =
A.1.2
p~2
ψ
2m
Klein-Gordon-Gleichung
Relativistische Wellengleichung für Spin-0 Teilchen.
Anders als bei der Schrödingergleichung startet man von der relativistischen Energie-Impuls Beziehung
E 2 = p~2 + m2
oder
pµ p µ = m 2
Ersetzt man Energie und Impuls durch die gleichen Operatoren wie
im nicht-relativistischen Fall, so erhält man den relativistischen 4-er
Impulsoperator:
E → i∂t ,
p → −i∇
oder
pµ → i∂ µ .
Dies setzt man in die Energie-Impulsbeziehung ein und wendet die
Operatoren auf eine Wellenfunktion Φ(x, t) an:
−∂t2 Φ = −∇2 Φ + m2 Φ
oder
∂ µ ∂µ + m2 Φ = 0,
11
A.1 Wellengleichungen
denn ∂ µ ∂µ = ∂t2 − ∇2 . Dies ist die Klein-Gordon Gleichung für
relativistische Spin-0 Teilchen. Lösungen sind wieder ebene Wellen,
Φ(x) = Φ0 ei(Et−~p~r) = Φ0 ei p
νx
ν
mit der Lorentz-invarianten Phase pν xν . Da z.B. ∂ t pν xν = p0 = E
ist folgt auch
∂ µ (pν xν ) = pµ ,
∂µ (pν xν ) = pµ
so dass Einsetzen der Wellenfunktion in die Klein-Gordon Gleichung wieder die relativistische Energie-Impuls Beziehung liefert.
A.1.3
Dirac Gleichung
Relativistische Wellengleichung für Spin 1/2 Teilchen.
In relativistischen Wellengleichungen können Ort- und Zeit- Ableitungen nur gleichberechtigt, d.h. in der Form ∂ µ auftreten. Eine
Gleichung linear in den Ableitungen ist die Dirac-Gleichung
(iγ µ ∂µ − m) ψ = 0
Bestimmt man die Größen γ µ so, dass für eine ebene Welle ψ die
relativistische Energie-Impuls Beziehung E 2 = p~2 + m2 erfüllt sein
muß, so folgt:
• Jedes γ µ (µ = 0, 1, 2, 3) ist eine 4x4 Matrix. Hinter m in
der Dirac-Gleichung steht also (nicht ausgeschrieben) eine 4x4
1er-Matrix im Spinor-Raum.
• ψ ist ein 4-Spinor mit den 4 Komponenten ψk = ψ1 , ψ2 , ψ3 , ψ4 .
Hier ist k kein Lorentz-Index sondern der Spinor-Index (Römische Buchstaben). Der Spinor hat also 4 Freiheitsgrade:
(Teilchen, Antiteilchen) x (2 Spineinstellungen)
Die Dirac-Gleichung gilt also für Spin 1/2 Teilchen und sagt
die Existenz von Anti-Materie voraus.
Die 4x4 γ-Matrizen beinhalten nur Zahlen und lassen sich durch die
2x2 Pauli-Matrizen darstellen. In der Dirac-Pauli Notation lauten
sie:


1
 1

I 0
0 σi
0 I
0
i
5


γ =
=
γ =
, γ =
,
0 −I
−1
−σi 0
I 0
−1
Die zusätzliche γ 5 Matrix ist nicht Teil der Dirac-Gleichung, wird
aber später benötigt. Die Pauli-Matrizen ~σ = (σx , σy , σz ) = (σ1 , σ2 , σ3 )
lauten in der Dirac-Darstellung
0 −i
1 0
0 1
σx =
, σy =
, σz =
1 0
i 0
0 −1
12
A.2 Lagrange-Formalismus
A.2
Lagrange-Formalismus
A.2.1
Für klassische Teilchen
Klassisch und nicht-relativistisch ist die Lagrange-Funktion für ein
Teilchen eine Funktion der Ortskoordinaten und deren Zeitableitungen,
L(~x, ∂t~x) = T − V =
1
p~2
− V = m(∂t~x)2 − V (~x)
2m
2
oder mit verallgemeinerten Koordinaten q, ∂t q,
L = L(q, ∂t q)
Aus den Euler-Lagrange-Gleichungen
∂L
∂L
− ∂t
=0
∂q(t)
∂(∂t q(t))
folgen die Bewegungsgleichungen.
A.2.2
Für die Klein-Gordon Gleichung
Felder sind nicht durch einzelne Koordinaten beschrieben, sondern
sind Funktionen vor Ort und Zeit. Man geht daher zur LagrangeDichte L über, die mit der Lagrange-Funktion und der Wirkung
über
Z
Z
L=
d~x L,
S=
d4 x L
zusammenhängt. Da die Wirkung dimensionslos sein soll und Längen die Dimension [GeV−1 ] haben ist die Dimension der LagrangeDichte also [GeV4 ]. Für ein skalares (Spin 0), reelles Feld Φ(x) als
Funktion von Ort und Zeit-Koordinaten ist die Lagrange-Dichte
eine Funktion der Felder Φ und deren Änderungen ∂µ Φ,
L = L(Φ, ∂µ Φ)
Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet dann
∂L
∂L
− ∂µ
=0
∂Φ
∂(∂µ Φ)
Die Klein-Gordon Gleichung lässt sich aus der Lagrange-Dichte
1
1
L = (∂µ Φ)(∂ µ Φ) − m2 Φ2
2
2
ableiten.
13
A.3 Globale Symmetrien und Noether- Theorem
A.2.3
Für die Dirac- Gleichung
Die Dirac- Wellenfunktionen bestehen auc 4 komplexen Feldern ψ.
Anstatt Real- und Imaginär- Teile zu betrachten benutzt man equivalent die Funktionen und ihre komplex konjugierten, ausgedrückt
durch die “adjungierten” Spinoren
ψ̄ = ψ † γ 0 ,
wobei † wie üblich komplex konjugiert und transponiert bedeutet:
 
ψ1
ψ2 

ψ=
ψ † = (ψ1∗ , ψ2∗ , ψ3∗ , ψ4∗ )
ψ3 
ψ4
Bei Variation der Lagrange- Dichte fungieren alle Komponenten von
ψ und ψ̄ und ihre Ableitungen als getrennte Variablen,
L = L(ψ, ∂µ ψ, ψ̄, ∂µ ψ̄)
Die Lagrange- Dichte der Dirac- Gleichung lautet für ein freies Teilchen
L = ψ̄(iγ µ ∂µ − m)ψ .
A.3
Globale Symmetrien und NoetherTheorem
Invarianz unter Translation, Zeit-Verschiebung und Rotation führen zu den Erhaltungssätzen für Impuls, Energie und Drehimpuls.
Im Gegensatz zu diesen “äußeren” Symmetrien geht es im Folgenden
um “innere” Symmetrien, deren Transformationen mit den RaumZeit Transformationen vertauschen. Für eine Wellenfunktion ψ(x)
ist die “globale Phasentransformation” (=Eichtransformation, gauge transformation) definiert durch
ψ → ψ 0 = eiα ψ
Global heist, das der Parameter α nicht von Ort und Zeit abhängen
soll. Solche Transformationen mit reellem Parameter α bilden die
Gruppe U (1) der unitären Transformationen mit einem kontinuierlichen Parameter. Da
∂µ ψ → ∂µ ψ 0 = eiα ∂µ ψ 0
ψ̄ → ψ̄ 0 = e−iα ψ̄
ist die Lagrange- Dichte der Dirac- Gleichung invariant unter globalen Eichtransformationen.
Die Gruppe U (1) ist eine sog. Abel’sche Gruppe, da ihre Elemente
vertauschen, U (α)U (β) = U (β)U (α).
Das Theorem von Noether: Aus Symmetrien folgen Erhaltungssätze. Aus der inneren Symmetrie folgt eine Kontinuitätsgleichung
für einen 4-er Strom und Ladungs- Erhaltung.
14
B.1 Lokale Eichinvarianz
B
B.1
Quanten-Elektrodynamik
Lokale Eichinvarianz
Die Quanten-Elektro-Dynamik (QED) ist die bis jetzt gültige Theorie zur Beschreibung aller elektromagnetischen Prozesse. Theoretisch wird sie motiviert durch eine Verallgemeinerung der globalen
Eichsymmetrie zu einer lokalen Eichsymmetrie.
Während die Schrödinger- Gleichung, die Klein-Gordon- Gleichung und die Dirac-Gleichung bereits invariant unter globalen Eichtransformationen sind (siehe Abschnitt A.3), folgt aus der Forderung
nach lokaler Eichinvarianz
• die Existenz von neuen Vektorfeldern (z.B. dem Photon)
• die Existenz von neuen Wechselwirkungen zwischen diesen
Vektorfeldern und Teilchen mit Ladung.
Im Folgenden wird lokale Eichinvarianz für U(1) Phasentransformationen diskutiert.
Bei der globalen Eichinvarianz war die Phase α eine konstante,
also unabhängig von Ort und Zeit. Observablen wie < Ψ|Ψ > sind
aber auch invariant unter lokalen Eichtransformationen, bei der die
Phase von Ort und Zeit abhängt. Allgemein sollten physikalische
Gesetze vermutlich nicht globalen Symmetrien unterliegen, da deren Transformationen überall gleichzeitig wirken müssten, was dem
Prinzip der Kausalität wiederspricht. Es wird daher postuliert, dass
die Eichsymmetrie U (1) auch lokal gelten soll, d.h. eine kontinuierliche Funktion von Raum und Zeit sein kann:
ψ(x)
ψ̄(x)
→
→
ψ 0 (x) = eiqα(x) ψ(x)
ψ̄ 0 (x) = e−iqα(x) ψ̄(x).
Hier ist q eine zunächst beliebige, reelle Konstante und α(x) =
α(t, x1 , x2 , x3 ) eine reelle Funktion. Für ein freies Spin 1/2 Teilchen
ist damit die transformierte Lagrange- Dichte der Dirac- Gleichung
L0 = ψ̄ 0 iγ µ ∂µ ψ 0 − mψ̄ 0 ψ 0
Der Massenterm ist offenbar eich-invariant.
mψ̄ 0 ψ 0 = mψ̄ψ,
Das gilt aber nicht für die Ableitung
∂µ ψ 0 = eiqα(x) (∂µ ψ + iq ψ ∂µ α(x))
15
B.3 Vektorfelder
B.2
Wechselwirkung
Damit das Postulat erfüllt sein kann muss die Lagrange- Dichte
offenbar verändert werden. Dies kann erreicht werden, wenn man
anstelle der normalen Ableitung ∂µ ψ eine “kovariante” Ableitung
Dµ ψ einführt und die kovariante Ableitung definiert als
Dµ ≡ ∂µ + iqAµ (x),
wobei man ein neues Vektorfeld Aµ (x) einführen muss. Die Lagrangedichte ist dabei invariant genau dann, wenn eine simultane
Transformation
ψ 0 (x) = eiqα(x) ψ(x)
A0µ = Aµ − ∂µ α(x)
durchgeführt wird. Die letzte Gleichung ist bekannt als Eichtransformation des elektromagnetischen Potentials.
Damit ist die neue (noch nicht endgültige) Lagrange- Dichte
L = ψ̄ iγ µ Dµ ψ − mψ̄ψ
mψ̄ψ
= ψ̄ iγ µ ∂µ ψ −
| {z }
| {z }
kin.T erm
M assen−T erm
−
q ψ̄γ µ A ψ
| {z µ }
N eue W echselwirkung
Der letzte Term ist ähnlich wie der für die elektromagnetische WW
in der Schrödinger-Gleichung.
Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz verlangt also ein neues
Vektorfeld und sagt die Form der neuen Wechselwirkung voraus.
• das Vektorfeld Aµ entspricht dem Photon,
• das Dirac- Feld ψ entspricht z.B. einem Elektron (oder Myon,
Tau, Quark),
• die Konstante q entspricht der Kopplung zwischen Photon
und z.B. dem Elektron, d.h. der elektrischen Ladung.
B.3
Vektorfelder
Genau wie das Dirac- Feld ψ(x) muss das Vektorfeld Aµ (x) als neuer
Freiheitsgrad der Theorie aufgefasst werden, kann also auch Energie
aufnehmen und sollte demnach mit Massen- Term und kinetischem
Term in der Lagrange- Dichte auftreten.
Ein Massenterm der Form m2 Aµ Aµ ist jedoch nicht eich- invariant,
m2 A0µ A0µ = m2 (Aµ Aµ + 2Aµ ∂µ α + ∂ µ α∂µ α) .
• Das Vektorfeld muss masselos sein1 .
1
16
In der Tat sind das Photon der U (1) und die Gluonen der SU (3) masselos.
Die schwachen Eichbosonen W ± , Z 0 der SU (2) erhalten jedoch durch die
“spontane” Symmetrie- Brechung im Higgs- Mechanismus eine Masse.
B.4 QED: Zusammenfassung
Ein kinetischer Term für Aµ muss Ableitungen der Form ∂ µ Aν
beinhalten, die einzeln nicht eich- invariant sind. Der FeldstärkeTensor
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ,
ist jedoch eichinvariant.
Eine Lorentz- invariante Lagrange- Dichte für das freie Vektorfeld
ist demnach
1
LA = − F µν Fµν .
4
Aus den Euler- Lagrange Gleichungen für jede einzelne Komponente
des Feldes Aα folgen die Maxwell-Gleichungen.
B.4
QED: Zusammenfassung
Die komplette Lagrange-Dichte der QED lautet damit
L = ψ̄ iγ µ ∂µ ψ −
| {z }
kin.T erm
mψ̄ψ
| {z }
M assen−T erm
−
q ψ̄γ µ A ψ
| {z µ }
N eue W echselwirkung
−
1 µν
F Fµν
|4 {z }
kin.Energie des γ
Insgesamt folgern wir also aus der Lorentz-Invarianz der speziellen Relativitätstheorie und aus der globalen Phaseninvarianz der
Quantenmechanik die Erhaltung einer Ladung und eines TeilchenStroms. Fordert man außerdem lokale Phaseninvarianz, so ergibt
sich die Existenz eines Vektorfeldes, das masselos ist, Spin 1 hat
und mit einer konstanten Ladung an den Vektorstrom des Teilchens koppelt. Man kann jedoch nicht die Existenz des geladenen
Teilchens selber oder die Größe seiner elektrischen Ladung ableiten.
Die Ladung und die Masse des Fermions sind demnach Naturkonstanten. Für jedes weitere Fermionen kann man die entsrechenden
(ersten drei Terme) hinzuaddieren.
17
C.1 SU(2)L und schwacher Isospin
C
Elektro-schwache Wechselwirkung
Im Folgenden wird die Lagrangedichte der elektroschwachen Wechselwirkung abgeleitet und die daraus folgenen Vorhersagen diskutiert. Zugrunde liegt eine Eichtheorie, die auf der SU (2)L × U (1)Y
Symmetrie beruht. Für die U (1)Y ist die Lagrangedichte exakt die
der QED, wobei nur die Kopplungskonstante der QED durch die
Kopplungskonstante g 0 und die elektrische Ladung der Fermionen
durch die Hyperladung Y ersetzt wird. Die SU (2)L hingegen ist
eine nicht-Abel’sche Eichtheorie. Der Formalismus entspricht damit exakt dem der QCD, wobei die Farben der Quarks bei allen
Fermionen durch den schwachen Isospin ersetzt wird und die λa
Matrizen durch die Pauli-Matrizen. Hinzu kommen allerdings Paritätsverletzung in der SU (2)L , Mischung zwischen den Eichbosonen
der SU (2)L und der U (1)Y und die spontane Symmetriebrechung
mit dem Higgs-Feld zur Beschreibung der Masse aller Teilchen.
C.1
SU(2)L und schwacher Isospin
Zur Beschreibung der schwachen WW mit Paritätsverletzung wird
eine SU (2) Symmetrie angenommen, die nur für linkshändige Fermionen gelten soll: SU (2)L .
In einer solchen Theorie sind prinzipiell Massen der Fermionen
verboten, da sie nicht Eichinvariant sind. Die Fermion-Massen können daher erst später durch den Higgs-Mechanismus eingeführt werden.
Betrachtet man zwei freie, linkshändige Dirac-Teilchen mit Masse
m = 0, so lautet die Lagrangedichte
LL = ψ̄1,L (iγ µ ∂µ ) ψ1,L + ψ̄2,L (iγ µ ∂µ ) ψ2,L
Sei
ψ1,L
ψL =
ψ2,L
ein Doublett im Raum des schwachen Isospin. Damit lässt sich die
Lagrangedichte schreiben als
LL = ψ̄L (iγ µ ∂µ ) ψL
Wir betrachten unitäre Transformationen im Isospin-Raum,
ψL0 = U ψL
ψR0 = ψR
wobei U ein Element der Symmetriegruppe SU (2)L ist, das durch
eine 2 × 2 Matrix mit U † U = 1 und det U = 1 dargestellt werden
kann. Die rechtshändigen Singletts ψR werden nicht transformiert.
18
C.1 SU(2)L und schwacher Isospin
Als Konstruktionsprinzip für Naturgesetzte werden im Folgenden
wie in der QED und QCD lokale Eichtransformationen betrachtet,
unter denen die Larangedichte invariant bleiben soll.
Diese Transformationen verändern – ortsabhängig und zeitabhängig - sowohl die Komponenten der Doubletts als auch deren Phasen.
Sie können immer in der Form
ψL → ψL0 = U ψL = eig αa (x) Ta ψL
dargestellt werden. Die 2×2 Matrizen Ta müssen linear unabhängig,
spurlos und hermitesch sein. Es gibt höchstens drei solche Matrizen.
Als Generatoren Ta der SU (2)L können z.B. die
Ta =
σa
2
a = 1, 2, 3.
gewählt werden, wobei die σa die bekannten Pauli-Matrizen sind.
Die αa (x) sind willkürliche relle Funktionen von Ort und Zeit und
Summation über a ist implizit. Die relle und beliebige Konstante
g wird später als Kopplungskonstante der W Bosonen interpretiert
werden. Die Ta befolgen die Kommutator-Relationen
[Ta , Tb ] = ifabc Tc
wobei im Fall der SU (2) gilt: fabc = abc ( = Levi-Chivita Tensor).
Die Lagrangedichte LL soll invariant unter lokalen SU (2)L Transformationen sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn
• ∂ µ durch Dµ = ∂ µ + ig Ta Waµ ersetzt wird,
• die Waµ drei neue Vektorfelder (Eichfelder) sind, eins für jeden
Generator. Diese müssen sich transformieren wie
0
Waµ → Waµ = Waµ − ∂ µ αa (x) − gfabc αb (x)Wcµ
• ein Tensor der Form
Waµν = ∂ µ Waν − ∂ ν Waµ − gfabc Wbµ Wcν
wird definiert um die kinetische Energie der neuen Eichfelder
zu beschreiben.
Damit ergibt sich die gesammte, eich-invariante Lagrange-Dichte
zu
1
LL = ψ̄L (iγµ Dµ ) ψL − Waµν Waµν
4
µ
− g ψ̄L (γµ Ta Waµ ) ψL
= ψ̄L (iγµ ∂ ) ψL
|
{z
}
|
}
{z
ψL − Ekin
ψL = νe
(Propagator)
koppelt
mit
Stärke g an
drei Felder Waµ
−
1
Waµν Waµν
4
| {z }
W 2 =E
ˆ kin
g W 3 =3-fach
ˆ
Vertex
2
4
g W =4-fach
ˆ
Vertex
19
C.1 SU(2)L und schwacher Isospin
Die Vertizes der Theorie umfassen damit (wie in der QCD) neben
dem Fermion- Boson Vertex auch 3-Bosonen und 4-Bosonen Vertizes, alle mit der gleichen Kopplungskonstante g (oder g 2 ).
Erfolge der SU (2)L- Theorie
• Diese SU (2)L Theorie beschreibt die Umwandlung von Teilchen:
e ↔ νe
t↔b
• Sie sagt drei neue Eich-Bosonen voraus: Waµ ,
a = 1, 2, 3
• Sie legt durch Symmetrie die Form der WW zwischen allen
Fermionen und den neuen Bosonen fest und verlangt dafür
nur eine neue Naturkonstante: g.
• Sie sagt Selbst-WW der Bosonen voraus und deren Stärke, g.
Ursache hierfür ist, dass bei einer nicht- Abelschen Symmetrie
die Eichtransformationen nicht kommutieren:
[Ta , Tb ] = ifabc Tc
• Paritätsverletzung wird beschrieben, denn nur die linkshändigen Teilchen, nicht die rechtshändigen, nehmen an der WW
teil.
Probleme der SU (2)L Theorie
Massen der Fermionen können nicht beschrieben werden, wie oben
diskutiert.
Masse der Eichbosonen: Ein Masseterm LmW = −m2W Waµ Waµ ist
nicht eichinvariant und damit wäre die Theorie nicht renormierbar sondern divergent. Daher muss mW = 0 gelten. Experimentell findet man aber zwei verschiedene sehr große Werte,
mW = 80, 4 GeV und mZ = 90 GeV.
Paritätsverletzung und Kopplung beim Z 0 In diesem Modell wür-
den alle drei Eichbosonen mit der gleichen Stärke an alle linkshändigen Fermionen koppeln. Experimentell findet man hingegen, dass das Z 0 zwar linkshändige Fermionen bevorzugt,
aber auch an rechtshändige koppelt. Auch hat das Z 0 andere
Kopplungskonstanten als das W , und diese sind nicht gleich
20
C.2 SU(2)L × U(1)Y
sind für Neutrinos, geladene Leptonen und unterschiedlich geladene Quarks.
C.2
SU(2)L × U(1)Y
Die Kombination (Vereinheitlichung) der beiden Eichtheorien SU (2)L
und U (1)Y soll wieder mit Hilfe der schwachen Isospin-Doubletts
und Singletts formuliert werden. Die U (1)Y wird ganz analog zur
U (1) des Elektromagnetismus formuliert, allerdings tritt anstelle
der elektrischen Kopplung die Kopplung g 0 und für jedes Teilchen
anstelle der elektrischen Ladung Q die sogenannte “Hyperladung”
Y . Die Lagrangedichte wird Paritätsverletzung beschreiben und
masselose W ± , Z 0 und γ beinhalten. Die Lagrangedichte ist zunächst einfach die Summe der Formeln für die SU (2)L und U (1)Y .
X
X
1
1
µ
ψ̄L iγµ DLµ ψL +
ψ̄R iγµ DR
ψR
L = − Wa µν Waµν − B µν Bµν +
4
4
Die Summen laufen hier über alle linkshändigen Doubletts ψL und
rechtshändigen Singletts ψR der Quarks und Leptonen des Standardmodells. Die kovarianten Ableitungen Dµ unterscheiden sich
für die Doubletts und die Singletts, da die Singletts nicht an die
SU (2)L Bosonen koppeln:
für linkshändige ψL :
für rechtshändige ψR :
Y µ
B ) ψL
2
Y
+ ig 0 B µ ) ψR
2
DLµ ψL = (∂ µ + igTa Waµ + ig 0
µ
DR
ψR = (∂ µ
Wie vorher sind
• g, g 0 sind die Kopplungen der SU (2)L , U (1)Y .
• Y ist die U (1)Y Ladung (“Hyperladung”) der Fermionen
• B µ ist das Eichfeld der U (1)Y (nicht das Photon).
• Waµ sind die drei Eichfelder (a = 1, 2, 3) der SU (2)L .
Setzt man in den Ausdruck für DLµ die Generatoren und damit die
Pauli-Matrizen Ta = σa /2 explizit ein, so findet man:
Y
DLµ = ∂ µ + igTa Waµ + ig 0 B µ
2
Y
ig
0 1
0 −i
1 0
µ
µ
µ
µ
= ∂ +
W1 +
W2 +
W3 + ig 0 B µ
1 0
i 0
0 −1
2
2
µ
µ
ig
Y B 0
W3
W1 − iW2
= ∂µ +
+ ig 0
−W3
2 W1 + iW2
2 0 B
In L sind die Wechselwirkungsterme zwischen Eich- Bosonen und
z.B. der ersten Generation der linkshändigen Leptonen gegeben
durch:
µ
µ νe
LL = ψ̄L iγµ DL ψL = (ν̄e , ē)L iγµ DL
e L
21
C.3 Eichbosonen
Offenbar erzeugen in DLµ nur die nicht-diagonalen Elemente der
ersten Matrix eine Wechselwirkung, bei der gleichzeitig e und νe
beteiligt sind. Für solche Flavour- und Ladungs- ändernden WW
macht es daher Sinn entsprechende Eichbosonen W + , W − zu definieren:
1
W ± = √ (W1 ∓ iW2 )
2
In dieser neuen Basis für die Boson-Felder ist die SU (2)L × U (1)Y
Wechselwirkung dann:
µ
µ
1 gW3 + g 0 Y B
g
0 W+
0
µ
µ
+
DL = ∂ + √
−
0
0
−gW3 + g 0 Y B
2
2 W
µ
µ
= ∂µ +
DW
+
DW
3B
Hierbei wurden die Flavour-ändernden nicht-diagonal Elemente der
SU (2)L von den Flavour-erhaltenden Diagonalelementen getrennt.
Die einzelnen Terme in der Lagrangedichte L = ψ̄iγµ DLµ ψ haben
folgende Bedeutung:
• ψ̄iγµ ∂ µ ψ ist die kinetische Energie der Fermionen. Die Fermionen haben wie diskutiert keinen Masseterm.
µ
• ψ̄iγµ DW
ψ beschreibt die Wechselwirkungen von W ± Bosonen
mit Fermionen.
µ
• ψ̄iγµ DW
ψ beschreibt wie unten gezeigt die Wechselwirkun3B
gen von γ und Z 0 mit Fermionen.
C.3
C.3.1
Eichbosonen
Wechselwirkung von W Bosonen mit
Fermionen
Angewendet auf die linkshändigen Doubletts z.B. der ersten Leptonµ
Generation ergibt sich aus DW
die Lagrangedichte
νe
1
0 W+
µ
LL = √ ig (ν̄e , ē)L iγ
−
W
0 µ e L
2
1
= − √ g (ν̄eL γ µ Wµ+ eL + ēL γ µ Wµ− νeL )
2
Der erste Term beschreibt die Umwandlung eines e−
L in ein νL unter
Abstrahlung eines W − Bosons. Der zweite Term beschreibt den
umgekehrten Prozess.
22
C.3 Eichbosonen
C.3.2
Mischung von Photon und Z0
µ
Der Term mit DW
beschreiben neutrale WW mittels der W3 und
3B
B Eichbosonen, die die Flavour und die Ladung nicht ändern. Zur
obigen Lagrange-Dichte LL für die linkshändigen Fermionen muss
der Term für rechtshändige WW zwischen Fermionen und B hinzu
addiert werden.
Da rechtshändige Fermionen nicht an der SU (2)L WW teilnehmen gilt z.B. für die erste Generation der Leptonen:
T3 |νL >=
1
T3 |eL >= − |eL >
2
1
|νL >,
2
T3 |νR >= 0,
T3 |eR >= 0
Damit lässt sich dieser Teil der Lagrange-Dichte schreiben als
Lγ,Z = LW3 ,B + LR = ψ̄L iγµ i(gT3 W3µ + g 0
X
Y µ
Y
B )ψL +
ψ̄R iγµ i (g 0 B µ ) ψR
2
2
ψ =e ,ν
R
=
X
ψ=eL ,eR ,νL ,νR
R
R
Y
ψ̄iγµ i (gT3 W3µ + g 0 B µ ) ψ
2
Die beiden Eichbosonen W3 und B koppeln in dieser Schreibweise
beide an die gleichen Teilchen. Es ist daher jederzeit möglich auch
hier einen Basis-Wechsel vorzunehmen in der Form
µ µ
W3
Z
cos θW sin θW
=
µ
− sin θW cos θW
B
Aµ
ohne das sich die Physik ändert2 . Dies ist offenbar eine Rotation
um den sogenannten Weinberg-Winkel θW . Damit ergibt sich:
Lγ,Z =
X
eν
Y
iψ̄iγµ (g sin θW T3 + g 0 cos θW ) Aµ ψ
{z 2
}
|
KopplungF ermion−P hoton
Y
+ iψ̄iγµ (g cos θW T3 − g 0 sin θW )Z µ ψ
2}
|
{z
Kopplung Fermion-Z 0
C.3.3
Elektromagnetismus
Verlangen wir nun, dass das Feld Aµ das Photon des Elektromagnetismus ist, ergibt sich für die elektrische Ladung Q eines Teilchens,
eQ = g sin θw T3 + g 0 cos θW
=
2
e
T3 +
e
Y
2
Y
2
Diese Ersetzung wird erst später notwendig, wenn durch den Higgs Mechanismus dem Z- Boson eine Masse zugeordnet wird, dem Photon Aµ aber
nicht.
23
C.3 Eichbosonen
T3 − sin2 θW Q
2cV
2cA
−1
1
2
1
1
−1
− 12 + sin2 θW
−1 + 4 sin2 θW
−1
0
0
0
1
1
−1
0
−2
sin2 θW
−1 + 4 sin2 θW
−1
2
3
− 13
2
3
− 13
1
2
− 12
1
3
1
3
4
3
− 32
− 32 sin2 θW
1 − 83 sin2 θW
1
Q
T3
0
−1
1
2
− 12
νeR
0
eR
uL
νeL
eL
dL
uR
dR
0
0
Y
1
2
− 21
+ 13
− 32
1
3
2
sin θW
2
4
3
8
3
4
3
2
−1
2
−1 + sin θW
sin θW
1 − sin θW
1
sin2 θW
−1 + sin2 θW
−1
Mit der Definition
Q = T3 +
Y
2
erhält man als Beziehung zwischen Weinbergwinkel und den Kopplungskonstanten
e = g sin θW = g 0 cos θW
Die Y Werte in der Tabelle der Quantenzahlen wurden gerade so
gewählt, dass die Gleichung Q = T3 + Y /2 erfüllt ist.
C.3.4
Wechselwirkungen des Z0 mit Fermionen
In der Kopplung der Fermionen an das Z 0
gZ = g cos θW T3 − g 0 sin θW
Y
2
kann man die U (1)Y Konstanten g 0 und Y zugunsten der Parameter
e und Q des Elektromagnetismus eliminieren:
gZ =
e
(T3 − sin2 θW Q)
sin θW cos θW
so dass
µ
DγZ
= ieQAµ + igZ Z µ
Die Lagrange-Dichte ist somit:
Lγ,Z =
X
iψ̄ iγµ (eQAµ + gZ Z µ ) ψ
eν
Da das Z 0 eine Mischung von W3 (linkshändig) und B (links und
rechthändig) ist koppelt es sowohl an links- als auch an rechtshändige Fermionen. Man führt daher die Konstanten cV und cA ein, die
24
C.3 Eichbosonen
die relative Stärke der Vektor und Axialvektor- WW beschreiben
sollen:
1
1
1
(cV − cA γ 5 )ψ =
gL (1 − γ 5 )ψ + gR (1 + γ 5 )ψ = gL ψL + gR ψR
2
2
2
1
(gL + gR ) − (gL − gR )γ 5 ψ
=
2
Damit ist
cV = gL + gR
cA = gL − gR
V ektorkopplung
Axialvektorkopplung
25
C.4 Spontane Symmetrie-Brechung
C.4
Spontane Symmetrie-Brechung
Die bis hier abgeleitete Lagrangedichte beschreibt alle experimentellen Befunde zur elektroschwachen Wechselwirkung mit Ausnahme der Massen von W, Z und γ. Ausserdem verbietet die chirale
Struktur der SU (2)L Massen der Fermionen.
Explizite Brechung der Symmetrien führt zwangsweise zu einer
Theorie, die nicht renormierbar ist und damit in bestimmten Wechselwirkungen unendlich hohe Wirkungsquerschnitte vorhersagt, die
physikalisch nicht sinnvoll sind.
Diese Unzulänglichkeiten der Theorie lassen sich mit neuen SymmetrieArgumenten für die Lagrange-Dichte und die WW nicht beheben.
Im Standard-Modell wird daher angenommen, dass nur der Grundzustand (das Vakuum) die Symmetrie bricht. Dieser Mechanismus
wird spontane Symmetriebrechung genannt. Bei lokalen Eichtheorien entspricht dies dem Higgs Mechanismus.
Als anschauliches Beispiel für eine spontane Symmtriebrechung
dient ein senkrecht stehender Stab. Dieser Zustand ist invariant unter Rotationen um die Stabachse. Setzt man nun den Stab mit einer
Kraft von oben unter Spannung (Potential), so wird er sich spontan
in eine beliebige Richtung biegen. Für diesen neuen Grundzustand
ist die Symmetrie gebrochen und die Auslenkung des Stabs hat
einen Wert, der von Null verschieden ist.
Ein weiteres Beispiel ist ein Ferromagnet, der zunächst ungeordnete
Ausrichtungen der Spins enthält. Dieser Zustand hat keine ausgezeichnete Richtung, ist also Rotations-invariant. Spontan können
sich jedoch Weis’sche Bezike ausbilden und damit der Ferromagnet
insgesamt seinen Grundzustand ändern, so dass eine von Null verschiedene Magnetisierung entsteht.
C.4.1
Der Higgs- Mechanismus im StandardModell
Im Standard-Modell wird zur Beschreibung der Masse aller Fermionen und der Masse der SU (2)L Eichbosonen ein neues, komplexes
skalares Feld postuliert. Dieses soll ein SU (2)L Doublett sein und
26
C.4 Spontane Symmetrie-Brechung
Hyperladung Y = 1 haben3 . Aus Q = T3 + Y2 folgt die elektrische
Ladung der beiden Komponenten wie angegeben.
+
φ
φ=
φ0
T3
φ+
φ0
1
2
− 12
Y
1
1
Q
1
0
Tatsächlich wurde Y hier so gewählt, dass eine Komponente keine
Ladung hat, so dass später das Vakuum auch elektrisch neutral sein
kann. Dieses Higgs Doublett ist das einzige elementare Spin-0 Feld
im Standard-Modell. Da φ0 und φ+ komplex sein sollen hat dieses
Doublett 4 Freiheitsgrade,
+ φ1 + iφ2
φ
=
φ=
φ0
φ3 + iφ4
Für Ausdrücke, die symmetrisch in allen vier Komponenten sein
sollen, ist eine einfache Notation z.B.
+
2
†
+
0 ∗ φ
|φ| = φ φ = (φ , φ )
= |φ+ |2 + |φ0 |2 = φ21 + φ22 + φ23 + φ24
0
φ
(Hier sind + und † zu unterscheiden.)
Die gesamte Lagrangedichte dieses Spin-0 Doubletts gehorcht der
Klein-Gordon Gleichung
Lφ = |Dµ φ|2 − V (φ) ≡ (Dµ φ)† (Dµ φ) − V (φ)
wobei Dµ die bekannte kovariate Ableitung der SU (2)L ×U (1)Y ist,
Dµ = ∂ µ + igTa Waµ + ig 0
Y µ
B
2
Das Potential V (φ) wird hier ebenfalls neu postuliert und nicht wie
die anderen Wechselwirkungen aus einer Eichsymmetrie abgeleitet.
Es soll ebenfalls invariant unter Eichtransformationen sein, d.h. invariant unter Änderungen der komplexen Phase und invariant unter
Rotationen zwischen φ+ und φ0 . Das Potential muss daher symmetrisch in allen vier Komponenten sein und kann daher nur von |φ|2
abhängen. Als Ansatz für das Potential wird gewählt:
V (φ) = µ2 |φ|2 + λ |φ|4
Es gilt:
• µ2 und λ sind neue, reelle Naturkonstanten. µ hat die Dimension einer Masse. Der |φ|4 Term beinhaltet eine Selbstwechselwirkung des Higgs-Feldes. Dabei muss λ > 0 sein, damit das
Potential im limes großer Felder |φ| positiv ist, das Vakuum
also nicht instabil ist.
3
Diese Wahl ist die einfachste, mit der man alle Massen erklären kann. Auch
komplexere Modelle z.B. mit zwei Higgs-Doubletts sind in Erweiterungen
des Standard-Modells möglich.
27
C.4 Spontane Symmetrie-Brechung
• Terme |φ|n mit n > 4 sind nicht möglich, da die Theorie sonst
nicht renormierbar wäre.
• Terme mit |φ|3 lassen sich immer durch eine Umdefinierung
von φ wegtransformieren.
• Terme mit |φ|1 sind nicht physikalisch.
Damit ist die angegebene Form von V die allgemeinst mögliche
Wahl. Frei ist noch das Vorzeichen von µ2 . Für µ2 > 0 bleibt der
Grundzustand bei |φ| = 0, die Symmetrie ist nicht spontan gebrochen. Anders ist es bei µ2 < 0. Die Graphik zeigt das entprechende
Potential als Funktion von zwei der vier Komponenten von φ.
Das Potential ist nicht minimal bei |φ|min = 0, sondern entwickelt
ein Minimum bei |φ| = v mit dem Vakuums-Erwartungswert
r
v=
−µ2
λ
Tatsächlich gibt es in vier Dimensionen ein Kontinuum von entarteten Grundzuständen und die Lagrangedichte ist ungebrochen.
Spontane Symmetriebrechung wird durch die Wahl eines bestimmten Zustands als Vakuum eingeführt. Da experimentell das Vakuum
natürlich elektrisch neutral ist wählen wir als Grunzustand:
1 0
φV ak = √
2 v
d.h. nur die relle Komponnete φ3 des neutralen Feldes bleibt. Hierzu
wird eine Eichung durchgeführt
φ(x) → eigαa (x)Ta φ(x)
bei der die drei beliebigen Funktionen α(x) in der Eichtransformation so gewählt werden, dass die drei anderen Komponenten
φ1 , φ2 und φ4 Null sind. Da die Lagrangedichte invariant unter diesen Transformation ist ändert sich dadurch die Bewegungsgleichung
nicht.
Zur Quantisierung entwickelt man das Potential um das Minimum v,
1
0
φ= √
2 v + H(x)
28
C.4 Spontane Symmetrie-Brechung
Hier stellt H(x) das Feld des physikalischen Higgs-Teilchens dar.
Setzt man dies in das Potential ein, so ergibt sich
1 2
1
µ (v + H)2 + λ(v + H)4
2
4
1 2
1
= (µ2 + λv 2 )vH +
µ + 3λv 2 H 2 + λvH 3 + λH 4
2
4
p
so dass mit v = −µ2 /λ:
V (φ) =
1
V (φ) = −µ2 H 2 + λvH 3 + λH 4
4
gilt. Dies kann wie folgt interpretiert werden:
• Der Term mit H 2 beschreibt die Masse des Higgs:
mH =
p
−2µ2
• Die Terme mit H 3 und H 4 beschreiben die Selbstwechselwirkung des Higgs, also einen 3er- und einen 4er- Vertex.
C.4.2
Eichboson - Higgs Wechselwirkung
Die Terme in der Lagrange-Dichte, in denen das Higgs-Feld und die
Eichbosonen gemeinsam auftreten, sind gegeben durch:
Lφ = |Dµ φ|2 − V (φ)
µ
µ
= |(∂ µ + DW
+ DγZ
) φ|2 − V (φ)
= | ∂ µ + ig(T + W + + T − W − )µ + ieQAµ + igZ Z µ φ|2 − V (φ)
Da das Higgs elektrisch neutral ist, Qφ = 0, entfallen alle Terme
mit dem Photon Feld Aµ , d.h. das Photon koppelt nicht an das
Higgs und das Photon wird masselos bleiben.
Bildet man für den Rest |Dµ φ|2 , so bleiben Realteil und Imaginärteil separat. Da außerdem bei obiger Entwicklung φ+ = 0 ist
gibt es auch keine Mischterme zwischen W ± und Z 0 . Daher gilt
mit ∂ µ (v + H(x)) = ∂ µ H(x):
µ
φ|2 + |DZµ φ|2 − V (φ)
Lφ = |∂ µ φ|2 + |DW
1
1
1
=
(∂µ H)(∂ µ H) + g 2 Wµ+ W −µ (v + H)2 + gZ2 Zµ Z µ (v + H)2 − V (φ)
2
4
2
Die einzelnen Terme können wie folgt interpretiert werden:
•
1
(∂ H)(∂ µ H)
2 µ
Dies ist die kinetische Energie für ein einzelnes reelles, skalares Feld H. Das Anregungsquant dieses Feldes ist das HiggsTeilchen.
• m2W W + W − + 12 m2Z Zµ Z µ
Da g und v konstant sind können die entsprechenden Terme
mit v 2 als Massenterme interpretiert werden. Der Zahlenwert
29
C.4 Spontane Symmetrie-Brechung
der Massen wird demnach nur von der schwachen Kopplungskonstanten und dem Higgs-Potential festgelegt und ist
1
mW = gv
2
1 p
mZ = v g 2 + g 0 2
2
•
+ gZ2 vZZH
Dies sind WW zwischen Higgs und W, Z. Mit den obigen Massentermen folgt, dass die Kopplungen an das Higgs proportional zu den W, Z massen sind.
•
1 2
g W + W − HH
4
1 2
g vW + W − H
2
+ 21 gZ2 ZZHH
Dies sind 4-er Vertizes zwischen den Bsonen mit jeweils zwei
Higgs-Teilchen.
• Das Higgs Potential ergibt die Higgs-Masse und Selbstwechselwirkungen
p
mH = −2µ2
Die Masse des Higgs ist also nicht vorhergesagt.
Ausserdem ergibt sich
MW
1
MZ = gZ v =
2
cos θW
v = 246GeV
cos θW =
80, 4
MW
=
MZ
91, 2
tan θW =
g0
g
Wechselwirkungen des Higgs
30
C.4 Spontane Symmetrie-Brechung
C.4.3
Fermion-Higgs Kopplung und FermionMassen
Die Lagrangedichte für freie Fermionen
L = ψ̄(iγµ ∂ µ − m)ψ
beinhaltet wie beschrieben Massen-Term
Lm = −mψ̄ψ = −mψ̄ (PL + PR ) ψ = −m(ψ̄R ψL + ψ̄L ψR )
die linkshändige Doublett -Komponenten ψL und rechtshändige Singletts
ψR kombinieren. Diese transformieren sich unterschiedlich, so dass
die Massenterme die SU (2)L Symmetrie verletzen. Mit dem Higgs
steht jedoch ein Doublett zur Verfügung, dass mit den FermionDoubletts und Singlettts so verbunden werden kann, dass das Resultat eichinvariant ist. Für das Beispiel der Quarks der ersten Generation
uL
ψL = QL =
;
uR ,
dR
dL
und dem Higgs-Doublett φ lässt sich z.B. für das d Quark schreiben:
L = −cd Q̄L φ dR + d¯R φ† QL
Setzt man das Higgs-Feld nach spontaner Symmetrie-Brechung
0
1
φ= √
2 v + H(x)
ein so ergibt dies
1
L = −cd √ d¯L (v + H) dR + d¯R (v + H)dL
2
v
1
= −cd √ d¯L dR + d¯R dL − cd √ H d¯L dR + d¯R dL
2
2
so dass
md
L = −md d¯d −
H d¯d
v
mit der Masse des d-Quarks
v
m d = cd √
2
Man beachte,
• Die Masse der Fermionen wird somit als Kopplungskonstante zwischen Fermionen und Higgs erklärt. Diese Kopplung
selber ist aber nicht vorhergesagt, so dass auch die Massen
unbekannt sind.
31
C.4 Spontane Symmetrie-Brechung
• Alle Massen im Standard-Modell skalieren mit dem Vakuumserwartungswert des Higgs. Dies ist der einzige Parameter im
SM mit der Dimension [GeV].
• Das Higgs koppelt vornehmlich an die schwersten Teilchen
• Der letzte Term entspricht den Prozessen
dR + H → dL
dL → dR + H
In diesen Prozessen ist sowohl T3 als auch Y erhalten.
• Im Gegensatz zu den γ µ Kopplungen der Eichwechselwirkungen ändert sich bei diesen sogenannten Yukawa-Kopplungen
cd die Chiralität der Fermionen.
Für ähnliche Prozesse mit dem u- Quark wird ein Higgs-Doublett
mit Y = −1 benötigt. Dies lässt sich als ladungskonjugierter Zustand erzeugen,
0 † (φ )
∗
φC = −iσ2 φ =
−(φ+ )†
Damit kann man schreiben:
L = −cu Q̄L φC uR + ūR φ†C QL
Nach spontaner Symmetrie-Brechung
1 v + H(x)
φ= √
0
2
erhält man
L = −mu ū u −
mu
H ū u
v
mit der Masse des u-Quarks
v
mu = cu √
2
Der letzte Term entspricht den Prozessen
uR + H → uL
uL → uR + H
Für die anderen Quark-Generationen und die Lepton-Generationen
ergeben sich ganz ähnliche Ausdrücke.
32
C.4 Spontane Symmetrie-Brechung
D
Lagrange-Dichte des StandardModells
Insgesamt ergibt sich nun als Formel für das Standard-Modell
− 41 B µν Bµν − 14 Waµν Waµν
L=
− 14 Gµν
a Gaµν
+
P
ψ̄L iγµ (∂ µ + ig σ2a Waµ + ig 0 Y2 B µ )ψL
P
+ ψR ψ̄R iγµ (∂ µ + ig 0 Y2 B µ )ψR
ψL
+
P
q
P
ψ cψ
ψ̄L φ ψR + ψ̄R φ† ψL
−(µ2 |φ|2 + λ|φ|4 )
WW mit W ± , γ, Z 0
Quarks: WW mit Gluonen
q̄iγµ (∂ µ + igs λ2a Gµa ) q
+|(∂ µ + ig σ2a Waµ + ig 0 Y2 B µ ) φ |2
−
γ, Z 0 , W ± : Ekin
und Selbstwechselwirkung
Gluon:Ekin
und Selbstwechselwirkung
Fermion:Ekin und
Higgs Ekin
Higgs WW mit Z,W
Z 0 , W ± Masse,
Fermion: Masse und WW mit Higgs
Higgs Masse und Selbst-WW
Diese Lagrange-Dichte beinhaltet, bis auf die Mischung zwischen
verschiedenen Generationen von Quarks und von Leptonen, das
komplette Standard-Modell.
33