wellen optik

Poisson’scher Punkt
1818, Fresnel presented his theory
explaining diffraction of light.
Wellenoptik
Poisson denied the truth of the
theory, and argued that a
consequence of the theory would be
that there would be a bright spot
right in the middle of the shadow of
a circular object.
EX-II SS2007
The spot was promptly discovered
by Arago.
Arago spot
1
2
Postulate der Wellenoptik (1)
Postulate der Wellenoptik (2)
Im homogenen, durchsichtigen Medium
genügt eine einzige Konstante,
der reelle Brechungsindex n, wobei
!
Superposition von Teilwellen gilt,
da eine lineare Wellengleichung vorliegt.
uph = c/n
!
U(!r, t) = U1 (!r, t) + U2 (!r, t)
Die optische Welle wird
durch eine skalare Funktion U beschrieben.
Diese genügt der linearen Wellengleichung :
!
∆U −
1 ∂2
U
u2ph ∂t2
! =
∆E
=0
3
!
1 ∂2E
2
2
uph ∂t
4
Postulate der Wellenoptik (3)
Postulate der Wellenoptik (4)
An Grenzflächen zwischen unterschiedlichen Medien
ändert sich U gemäß dem Brechungsindex.
Wie diese Änderung ist,
hängt von der spezifischen Bedeutung von U ab.
In inhomogenen Medien kann man n(!r) und uph (!r)
einführen,
wenn die Änderung des Brechungsindex über einen
räumlichen Bereich erfolgt, der viel größer ist als λ.
!
! und H
! sind stetig
• Tangentialkomponenten von E
! und B
! sind stetig.
• Normalkomponenten von D
!
5
monochromatische Wellen
Verbindung der Funktion U zur Realität über
die optische Intensität (W/m2 )
zeitliches Mittel über ein Zeitintervall,
das viel größer ist als die inverse optische Frequenz.
!
6
sind unendlich ausgedehnt in der Zeit,
haben wohldefinierte Frequenz ω,
Amplitude a("r) und Phase ϕ("r)
I(!r, t) = U 2 (!r, t)
U(!r, t) = a(!r) cos (ωt + ϕ(!r))
die optische Leistung (P ), (die über eine Fläche,
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung integrierte Intensität).
!
P (t) = S I(!r, t) dS
Vereinfachung in komplexer Darstellung
!
U(!r, t) = a(!r) eiωt eiϕ(#r)
nach Einführung einer komplexen Amplitude u(!r)
die optische Energie (J)
( die über die Zeit integrierte Leistung).
U(!r, t) = u(!r) eiωt
!
7
8
Helmholtz - Gleichung
ebene Elementarwellen
(einfache Lösungen der Helmholtz-Gleichung)
nach Einführung einer komplexen Amplitude u(!r)
U(!r, t) = u(!r) eiωt
∆U =
!
u(!r) = A e−ik·!r = A e−i(kx x+ky y+kz z)
1 ∂2U
u2ph ∂t2
komplexe Amplitude und Wellenvektor
!k = {kx , ky , kz }
!
∆+k
2
"
k=
u(!r) = 0
ω
c
n
☞
In der komplexen Ebene
rotiert der Zeiger u(!r)
mit der optischen Frequenz.
Sein Argument gibt die Phase,
sein Betrag die Amplitude an.
☞
I(!r) = |u(!r)|2
Intensität der Welle ist überall gleich I = |A|2
Wellenfronten (Flächen konstanter Phase)
sind Ebenen senkrecht zu !k
9
10
sphärische Elementarwellen
parboloidale Elementarwellen
(einfache Lösungen der Helmholtz-Gleichung)
Näherung von Fresnel für paraxiale Strahlen
u(!r) =
A
r
paraboloidale Wellenfronten,
(x2 + y 2 )/z = const.
e
−ikr
r ist Abstand von einer Punktquelle
k = ω/c ist die Wellenzahl.
u(!r) ≈
A
z
!
"
2
+y 2
exp (−ikz) exp −ik x 2z
Ursprung der Welle liegt bei z = 0
Wellenfronten sind konzentrische Kugeln
Amplitude nimmt mit 1/z ab
x
Licht kann sich in Strahlen gebündelt,
scheinbar räumlich lokalisiert, nahezu divergenzfrei ausbreiten.
Ebene und sphärische Wellen sind gerade das Gegenteil
von Einengung der Divergenz und von räumlicher Lokalisation.
z
sphärisch
11
paraboloidal
eben !
12
Gauß’sche Strahlen
Gauß’sche Strahlen
In der Praxis wichtige Lösung dieser Näherung für paraxiale Strahlen
I(ρ, z) = I0
idealisierte Beschreibung eines Strahlenbündels
mit gaußförmigem Intensitätsverlauf in der Ebene
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
I(ρ, z) = I0
!
W0
W (z)
"2
2
exp − W2ρ2 (z)
"
W0
W (z)
Divergenz
Θ0 =
!
!
"2
!
"
2
exp − W2ρ2 (z)
Raleigh-Länge
λ
π W0
2z0 =
!
ρ = x2 + y 2
2π W02
λ
ρ=
!
x2 + y 2
Taille
W (z) = W0
!
1+
z2
z02
ρ
ρ
z
z
Raleigh-Range (konfokaler Parameter = Fokustiefe)
13
Gauß’sche Strahlen
14
Hermite - Gauß,
Laguerre - Gauß Strahlen
15
16
Phasenflächen
monochromatische Wellen
sind unendlich ausgedehnt in der Zeit,
haben wohldefinierte Frequenz ω,
Amplitude a("r) und Phase ϕ("r)
U(!r, t) = a(!r) cos (ωt + ϕ(!r))
Vereinfachung in komplexer Darstellung
U(!r, t) = a(!r) eiωt eiϕ(#r)
nach Einführung einer komplexen Amplitude u(!r)
konventionelle
Linse
GRIN-Linse
U(!r, t) = u(!r) eiωt
17
18
Interferenz zweier
monochromatischer Wellen
Interferenz
√
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ϕ
zwei (oder mehrere) Wellen sind gleichzeitig am gleichen Ort:
Die gesamte Wellenfunktion ist gleich
der Summe der einzelnen Wellenfunktionen.
4
3
, 2
1
Interferenzterm
4 S 2 S
u1
u(!r) = u1 (!r) + u2 (!r)
I
2
= |u1 + u2 |
2
2
= |u1 | + |u2 | + u∗1 u2 + u1 u∗2
u1 =
√
u2 =
√
0
M
2S
4S
u2
I1 eiϕ1
u
u2
iϕ2
I2 e
M
√
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ϕ
u1
M2
Interferenzterm
19
M1
u1 =
√
iϕ1
I1 e
u2 =
√
I2 eiϕ2
20
quasi-monochromatisch +
keine feste Phasenbeziehung
Kohärenz
Forderung:
die Phasenbeziehung zwischen den interferierenden Wellen
ändert sich nicht wesentlich über die Beobachtungszeit.
Es ist also eine zeitliche Kohärenz notwendig.
Energieunschärfe
E2
Atom 1
E1
!"
∆ϕ = 2π ∆ν ∆t
u1
keine feste Phasenbeziehung
u2
Kohärenzzeit
∆tcoh = 1/∆ν
u
u2
E2
Atom 2
Kohärenzlänge
∆Lcoh = c · ∆tcoh
M
E1
u1
M2
M1
21
L1
L2
ebene Wellen unter kleinem Winkel
L1
Spiegel
u1
u2
L
L
22
!
I0 e−ikz
!
I0 e−ik(z cos θ+x sin θ)
=
=
x
θ
x
θ
P
z
P
z
Periodizität entlang z=0
Intensität bei z=0 :
räumliche
Kohärenz
|u1 + u2 |2 = 2 I0 [1 + cos(kx sin θ)]
23
Λ=
λ
sin θ
24
→Λ←
Λ=
λ
2 sinθ
Λ=
λ
2 n sinθ
Fluid
J. Vac. Sci Techn. B, 17, 3306-3309 (1999)
http://www.almaden.ibm.com/st/chemistry/lithography/immersion/NEMO/
25
Interferenz an planparalleler Platte
26
Interferenz an planparalleler Platte
Gangunterschied zwischen reflektierten Teilstrahlen
Gangunterschied zwischen reflektierten Teilstrahlen
!
"
!
∆s = 2d n2 − sin2 α
% &' (
ihre Phasendifferenz
!
$
% &' (
#
∆ϕ =
2π
∆s
λ
∆s
Newtonsche Ringe
27
28
Interferenz an dünnem Filmen
Mach-Zehnder Interferometer
"
u1
=
u2
=
!
#
&
'
!
#
I0 e
I0 e−ik(z−d)
−ikz
&
&
'
%
&
"
$
%
!
"
!
2πd
2
)
|u1 + u2 | = 2 I0 1 + cos(
λ
S1, S2 :
50 % Strahlteiler
29
Interferenzringe im
Michelson Interferometer
Michelson Interferometer
'
30
) $ * + , - .$ / / 0 * $ *
& 1 .$ 2 $ %
(
'
(
" # $ %%$
!
&
7
8
9$ + 4$ *
& 1 .$ 2 $ %
3 $ 4$ 5 46 *
31
32
Michelson Interferometer
Jamin Interferometer
% &' ( ) &' **+
$
"
"
#
$
!
% &' ( ) &' **+
33
34
35
36
Sagnac Interferometer
τ+
=
τ−
=
L
c+ − RΩ
L
c− + RΩ
. %/ 0 1 $
" # $ %%$
!
, ,
&
-
c± =
' $ ($ ) (* +
c±v
1 ± v/c
∆τ = τ+ − τ− ≈
∆ϕ = ω∆τ =
4πR2 Ω
c2
2πc 4πR2 Ω
λ
c2
laser gyroscope
Vielstrahlinterferenz (1)
Bragg Reflektion
M Wellen gleicher Amplitude und gleicher Phasendifferenz
"
m= 1
#
$ " 1 − hM
I0 1 + h + h2 + . . . = I0
1−h
!
sin2 M ϕ/2
I = I0
sin2 ϕ/2
0
Π
#
1
M$30
I!900
I!100
M$10
0
!Π
!
1
2Π
3Π
0
!Π
0
Π
#
2Π
3Π
!
M$100
I!10000
1
!
0
!Π
0
Π
#
2Π
!
I0
I0
charakteristischer Abstand
gleichartiger Streuer
I0
I = I0
sin2 M ϕ/2
sin2 ϕ/2
I0
1
I0
1
M$10
1
M$30
M$100
I!10000
um =
Abkürzung : h = eiϕ
I!900
M
!
!
I0 ei(m−1)ϕ
I!100
um =
http://www.bookrags.com/X-ray_crystallography
!
0
!Π
3Π
0
Π
#
2Π
0
!Π
3Π
0
Π
#
2Π
3Π
0
!Π
An X-ray diffraction image
for the protein myoglobin.
Π 2Π 3Π
#
0
37
38
Vielstrahlinterferenz (2)
Fabry - Perot
Interferometer
h = r eiϕ
Wellen progressiv kleinerer Intensität
1
h = r eiϕ
10!3
r$0.2
Reflexionskoeffizient
#
0.6
0.4
0.5
0.2
∞
!
um
m= 1
"
= I0
1
1−h
"
= I0
1
1 − r eiϕ
1
I = I0
1 + (2F/π)2 sin2 ϕ/2
0.7
0.9
0
0
Π
2Π
3Π
4Π
Finesse
0.8
10!2
10!1
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
"
√
π r
F=
1−r
1
I = I0
1 + (2F/π)2 sin2 ϕ/2
Finesse
39
√
π r
F=
1−r
Finesse
40
Mehrschichtsysteme: Spiegel, Filter
Antireflex-Beschichtungen
!
"
Interferenz zweier sphärischer Wellen
L2
4
! 01 0$ 23 3 #
+
' ,$
! #
%
! "
#
! #
*
! "
$ ,+
&
$ ,%
MgF2
MgF2
MgF2
! #
)
(
Flächen, für welche die Differenz des Abstandes
von den Quellen gleich ein Vielfaches von " ist
% & ' ( )*+ )
! $
% $ $
L
TiO2
'
"
# $ $
TiO2
TiO2
! "
$ ,*
& $ $
L1
! "-. /
Substrate
AR-Coating
TiO2 n=2.40
MgF2 n=1.38
P
Chirped Mirror Stack
41
42
phasenkorrelierte Beleuchtung
zweier Spalte
Vielstrahlinterferenz
M Wellen gleicher Amplitude und gleicher Phasendifferenz
einzelne Flächenelemente
emittieren Licht
mit statistisch verteilten Phasen
um =
!
I0 ei(m−1)ϕ
Abkürzung : h = eiϕ
,
$
M
!
#
$
inkohärente Quelle
mit der Ausdehnung b
a
∆s = b sin α = b
D
&
'
!
!
#
%
"
m= 1
!
"
um =
#
$ " 1 − hM
I0 1 + h + h2 + . . . = I0
1−h
!
sin2 M ϕ/2
I = I0
sin2 ϕ/2
)* !
! (
!
,
%
Solange diese Schwankungen bei S1 und S2 synchron ankommen,
liegt eine feste Phasenbeziehung vor und die aus S1 und S2
ausgehenden Wellen können miteinander interferieren.
0
!Π
43
0
Π
#
1
M$30
I!900
M$10
I!100
+
1
2Π
3Π
0
!Π
0
Π
#
2Π
3Π
!
M$100
I!10000
1
2a
D
!
λ
b
!
0
!Π
0
Π
#
2Π
!
I0
I0
I0
I0
I0
!
3Π
44
Beugung am Einzelspalt (1)
Beugung am Einzelspalt (2)
m kohärente Quellen im Abstand
M
√ ∆d,
von denen jede die Amplitude I0 /m
M aussendet,
1
0.8
M ∆d sin α
I0 sin λ m
"
!π
2
2
m sin λ ∆d sin α
x=
d=m
M· ∆d
! "# $%
∆d
!
"
"
sinc2 x
I(α) =
!
2 π
!
!
!
π
d sin α
λ
0.6
0.4
0.2
# $ % &' (
0
!3Π !2Π
!
!Π
2
!
!
!
!
!
I0
I0
I(α) =
I0
sin x
I0
2
m sin2 [x/m]
M]
M
lim I(α) = I0
m→∞
2Π
3Π
"
!
!
sin2 x
= I0 sinc2 x
x2
lim I(α) = I0
# $ % &' (
!
Π
!
I0
I0
0
x
sin2 x
= I0 sinc2 x
x2
m→∞
π
d sin α
λ
x=
45
Beugung am Einzelspalt (3)
46
Beugung am Einzelspalt
Erklärung zur Nullstelle :
1
0.8
Wenn es zu jeder Teilwelle
in diesem Gebiet
"
! "# $%
!
sinc2 x
"
!
!
!
!
!
!
!
eine entsprechende in der
anderen Hälft gibt
0.6
0.4
0.2
# $ % &' (
# $ % &' (
0
!3Π !2Π
mit Gangunterschied λ/2
dann bleibt nichts übrig!
lim I(α) = I0 sinc2 x
m→∞
lim I(α) = I0
Gangunterschied λ/2
m→∞
sin2 x
= I0 sinc2 x
x2
!Π
0
x
x=
Π
2Π
3Π
π
d sin α
λ
= Phasendifferenz π
47
48
Besselfunktionen
Beugung an einer Kreisblende (1)
anstelle der Sinusfunktion :
die Besselfunktion erster Ordnung, J1 (x)
(Airy-Muster ).
z#Π
Besselsche Differentialgleichung
dy
d2 y
+x
+ (x2 − n2 )y = 0
2
dx
dx
nliche
gewöh
nung
Ord
Dfgl. 2
0
Besselfunktionen findet man u. A. bei der Untersuchung von Eigenschwingungen einer kreisförmigen
I(ρ) = I0
Membran oder Orgelpfeife, Ausbreitung von Wasserwellen und Diffusion in runden Behältern, Wärmeleitung
in Stäben, der Analyse des Frequenzspektrums von frequenzmodulierten Signalen und der Intensität von
J1 (z)2
z2
2ρ1
Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern.
(−1)n x2n+1
sin(x) =
(2n + 1)!
n=0
3
0
2
4
1
6
z
8
10
12
n!0
n!1
n!2
Jn !x"
α
Blende
0
∞
!
2
πd Π d
z = z"Ρ sinα
λ fΛ
0
∞
!
(−1)r ( x2 )2r+n
Jn (x) =
Γ(n + r + 1)r!
r=0
1
1
J1 !z" # z
x2
0
2
4
6
x
8
10
erstes Minimum bei
d
12
sin αm = 1.22
λ
d
49
Beugung an einer Kreisblende (2)
50
Beugung an einer Kreisblende (3)
anstelle der Sinusfunktion :
die Besselfunktion erster Ordnung, J1 (x)
(Airy-Muster ).
anstelle der Sinusfunktion :
die Besselfunktion erster Ordnung, J1 (x)
(Airy-Muster ).
z#Π
0
1
2
3
1
J1 (z)2
z2
2ρ1
I(ρ) = I0
2ρ1
gilt ebenso für die Reflexion von
einem kreisförmigen Spiegel
Πd
fΛ
0
Blende
Spiegel
Blende
d
z"Ρ
0
α
α
J1 (z)2
z2
J1 !z" # z
I(ρ) = I0
2
4
6
z
8
10
12
f ·λ
ρ1 = 1.22
d x = 3.83
erste Nullstelle von J1 (x)bei
der Radius der Airy-Scheibe
d
d
fundamentale Grenze für die Schärfe einer Abbildung
51
52
Auflösungsvermögen
Beugung an einer Kante
scharfer Schatten
Abbildung zweier Lichtpunkte (z. B. Sterne)
Kante
die beiden Airy Scheibchen sind noch trennbar,
wenn der Abstand zwischen ihren Zentren
dmin ≥ 2.44
f ·λ
d
on der
nstrukti ung:
Zur Ko
eil
rt
ätsve
Intensit he Spirale
c
Cornu’s
also ihr Winkelabstand
dmin
λ
αmin =
= 1.22
2f
d
53
54
Zonenplatte
Fresnel Linse
Teile sphärische Wellenfront in kreisförmige Zonen,
die entstehen, wenn wir sie mit Kugeln schneiden,
deren Zentrum beim Beobachter P liegt,
und deren Radien sich gerade um von λ/2 unterscheiden.
Quelle im Unendlichen:
ebene Wellenfront in Fresnelzonen einteilen.
!
m λ r0 + m2 λ2 /4
rm =
!
m λ r0
≈
jederPunkt hier hat
einen entsprechenden
in der benachbarten Zone,
dessen Abstand von P
gerade um λ/2 anders ist
Abstand Linsenzentrum zum Fokus
"# $ !
Punktquelle
"# $ ! %&
alternativ :
"
#
!
benachbarte Zonen mit
optischem Gangunterschied von π
Beobachter
Fresnelzonen
55
56
Fresnel Stufen Linsen
Beugungsgitter
kurzbrennweitige Linsen
mit Gewichtsreduktion
N parallele Spalte
Einzelspaltbreite ist d,
Abstand der Spalte ist G.
N geht nicht mehr bis unendlich,
aber kann sehr groß werden !
G
sin2 [N πλG sinα] sin2 x
I(α) = I0
x2
sin2 [ πλG sinα]
α
G sinα
Einzelspalt
Beugungsmuster der N Spalte interferieren
57
Beugungsgitter
Ergebnis für Einzelspalt
Intensity
Einzelspalt $ 64
!2Π
!Π
G#2d
N#8
0
x
Intensity
Einzelspalt $ 256
Π
58
2Π
G#2d
N#16
G
α
G sinα
!2Π
!Π
0
x
Π
2Π
sin2 [N πλG sinα] sin2 x
I(α) = I0
x2
sin2 [ πλG sinα]
Beugungsmuster der N Spalte interferieren
“Linien pro mm”
59
60
Beugungsbilder
Näherungen zur Beugung
Scheibe
rechteckige Öffnung
1787 - 1826
1788 - 1827
Fraunhofer diffraction :
Fresnel diffraction :
"far-field" diffraction
"near-field" diffraction
Plane waves approximation
Ecke
61
Beugung am Doppelspalt
62
Beugung von Materiewellen
) * + ! '
! " # $ %& ' (
&
(
%2
mit Licht, Elektronen,
Neutronen, Atomen,
Molekülen, BECs, ...
G!
3
, - .( " )
( & - /0 "
( 0 /" " 1
!α
!α
! G" # sinα
$% "!
&
'
Mlynek et al. Konstanz 1992
63
64