¨Ubungen zur Mathematik für Informatiker I
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Übungen zur Mathematik für Informatiker I
Wintersemester 2002/03
Prof. Dr. H. Lenzing
Blatt 14
Abgabe: Bis Mo, 3.2.2003, 24:00 Uhr im Netz
Sei stets Ihre Matrikelnummer M als Ziffernfolge m1 m2 . . . m7 gegeben.
Aufgabe 131 (1 Bonuspunkt): Berechnen Sie folgende Determinante und prüfen Sie, für
welche λ ∈ R diese = 0 ist.
(1 − λ) sin(λ) (1 − λ) cos(λ)
m6
λ5
3
−23
λ
sin(λ)
m
6
2
m1
λ +m1
sin(λ)
(m5 + 1)2
λ
1
1
m2
m7 λ − cos(λ)
0
0
(m2 + 7)λ
1
cos(m4 ) − 17
−m3
1 2
0
0
λ 2 + m7
λ
1
−7
0
1 √
0
0
0
0
m5 − 12
λ2
m5
8 0
0
0
0
m6 + 2
−λ
12
3 0
0
0
0
0
0
λ − m4
λ2 0
0
0
0
0
0
m2 + 3 λ + m3 (Abgabe: Determinante als Ausdruck in λ; die Menge der gesuchten λ in exakter Form.)
Aufgabe 132 (2 Bonuspunkte): Sei a = m1 m4 m5 m6 m7 (die erste und die letzten vier Ziffern
der Matrikelnummer) und b = 19404. Berechnen Sie d = g. g. T.(a, b) mit dem euklidischen
Algorithmus und finden Sie ganze Zahlen x und y mit d = ax + by.
(Abgabe: d, x, y; die Folge r1 > r2 > · · · > rs > rs+1 = 0 der Reste, die beim euklidischen
Algorithmus entsteht; Folge ganzer Zahlen x1 , . . . , xs und y1 , . . . , ys mit ri = xi a + yi b.)
Aufgabe 133 (2 Bonuspunkte): Sei a = m1 m2 m3 m4 die Zahl, die aus den ersten vier Ziffern
Ihrer Matrikelnummer besteht, und sei m = 7001. Berechnen Sie d = g. g. T.(a, m). Entscheiden Sie, ob [a]m im Restklassenring Zm ein (multiplikatives) Inverses besitzt. Falls ja,
berechnen Sie dieses.
(Abgabe: d; die Folge r1 > r2 > · · · > rs > rs+1 = 0 der Reste; Invertierbarkeit Ja/Nein; falls
ja: ganze Zahl x mit [a]m · [x]m = [1]m ; ganze Zahlen x1 , . . . , xs mit [ri ]m = [xi ]m · [a]m .)
Ps
i
∗ : Sei N =
Aufgabe
134
den Ziffern ai ∈ {0, 1, . . . , 9}.
i=0 ai 10 eine natürliche
Ps
PsZahl mit
±
i
Sei Q = i=0 ai die Quersumme von N und Q = i=0 (−1) ai die alternierende Querumme
von N . Zeigen Sie:
a) N ist durch 3 teilbar genau dann, wenn Q durch 3 teilbar ist.
b) N ist durch 9 teilbar genau dann, wenn Q durch 9 teilbar ist.
c) N ist durch 11 teilbar genau dann, wenn Q± durch 11 teilbar ist.
Aufgabe 135∗ : Einem Bauern gehört ein rechteckiges Feld mit den Seitenlängen 200m und
125m. Der Bauer möchte nun in gleichen Abständen Pfähle auf den Seiten seines Feldes setzen,
um dieses zu umzäunen. Wir fordern noch, dass in den Eckpunkten Pfähle gesetzt werden
sollen. Wieviele Pfähle muss der Bauer minimal setzen, und welchen Abstand haben diese
dann voneinander?
