Physik I, FS2008, Prof.Hahnloser, Loesung 4

Physik I
Musterlösung 4
FS 08
Prof. R. Hahnloser
Aufgabe 4.1
Wir legen als Nullpunkt die untere linke Ecke der Eisenhälfte der Metalltafel fest, die
x-Achse entlang der 22cm langen Längskante (online Version: entlang der d1-Kante), die
y-Achse entlang der 13cm langen Tiefenkante (d3-Kante) und die z-Achse entlang der
2.8cm langen Höhenkante (d2-Kante). Aus Symmetriegründen bestimmen sich die y- und
z-Koordinaten des Schwerpunktes der Metalltafel durch
yS = 13.0cm/2 = 6.5cm und zS = 2.80cm/2 = 1.4cm
Die x-Koordinate des Schwerpunktes der Metalltafel errechnet sich mit Gleichung 9-5
xS =
mF e xS,F e + mAl xS,Al
ρF e VF e xS,F e + ρAl VAl xS,Al
=
= 8.3cm
mF e + mAl
ρF e VF e + ρAl VAl
Der Schwerpunkt der Tafel befindet sich somit 2.7cm vom Mittelpunkt der Tafel entfernt
innerhalb der Eisenhälfte.
Aufgabe 4.2
Die Gesamtkraft auf das System Ballon-Person ist null, somit ist der Schwerpunkt dieses
Systems konstant. Da sich die Person und der Ballon anfangs in Ruhe befinden, ist die
Geschwindigkeit des Schwerpunkts vS gleich null.
(a) Sei vb die Geschwindigkeit des Ballons und vp die der Person relativ zur Erde, dann
ist die Geschwindigkeit des Schwerpunkts
vS =
M vb + mvp
,
M +m
wobei M die Masse des Ballons und m die der Person bezeichnet. Wenn vrel die Geschwindigkeit der Person relativ zum Ballon ist, dann gilt vp = vb + vrel und
vS =
M vb + m × (vb + vrel )
= 0.
M +m
Es folgt
m
.
M +m
Die Aufwärtsrichtung der Person wurde positiv gesetzt, also bedeutet das Minuszeichen,
dass sich der Ballon nach unten bewegt, wenn die Person hochklettert.
(b) Wenn die Person aufhört zu klettern, dann ist vrel = 0, also auch vb = 0. Der Ballon
bleibt stationär.
vb = −vrel
1
Aufgabe 4.3
Aus dem Impulserhaltungssatz (Gleichung 9-30) folgt mA~vA + mB ~vB = 0, wobei mA =
2mB . Daraus folgt |~vB | = 2|~vA |. Aus dem Energieerhaltungssatz der Mechanik (Gleichung
v2
8-18 oder 8-35) folgt UF eder = KA + KB , wobei Ki = mi 2i und UF eder = 60J. Mit
mB = mA /2 folgt KB = 2KA und UF eder = 3KA .
(a) KA = 13 UF eder = 20J
(b) KB = 2KA = 32 UF eder = 40J
Aufgabe 4.4
Der Schub der Rakete ist gegeben durch T = Rvrel , wobei R die Rate des Treibstoffverbrauchs und vrel die Geschwindigkeit der Verbrennungsgase relativ zur Rakete ist.
(a) Mit R = 480kg/s und vrel = 3.27 × 103 m/s resultiert T = 1.57 × 106 N.
(b) Die Masse des ausgestossenen Treibstoffs ist gegeben durch MT r = R∆t, wobei das
Zeitintervall der Zündung ∆t ist. Daraus resultiert MT r = 1.2 × 105 kg. Die Masse der
Rakete nach dem Brennvorgang beträgt Mf = Mi − MT r = 1.35 × 105 kg.
(c) Da die Anfangsgeschwindigkeit null ist, ist die Endgeschwindigkeit durch Gl. 9-43
Mi
gegeben: vf = vrel ln M
= 2.08 × 103 m/s.
f
Aufgabe 4.5
Die Verzögerung (negative Beschleunigung) während des Gleitprozesses der beiden Autos
errechnet sich über Gleichung 6-2 zu a = fk /m = µk mg/m = µk g. Kommt ein Auto in der
Distanz d nach dem Zusammenstoss zum Stillstand (v0 = 0), betrug dessen Anfangsgeschwindigkeit
v umittelbar nach dem Zusammenprall (aus Gleichung 2-16 v 2 = v02 + 2ad)
√
v = 2µk gd. Somit resultieren für die Anfangsgeschwindigkeiten
(a) vA = 5.3m/s
(b) vB = 4.1m/s
(c) Aus dem Impulserhaltungssatz folgt mB v = mA vA + mB vB , wobei v die Geschwindigkeit von Auto B unmittelbar vor dem Zusammenstoss ist. Daraus folgt v = 7.9m/s.
2
Aufgabe 4.6
Zum Zeitpunkt des Zusammenstosses der Kugel 1 mit den Kugeln 2 und 3 bilden deren
Zentren ein gleichseitiges Dreieck. Kugel 1 übt auf die ruhenden Kugeln 2 und 3 je einen
Kraftstoss der gleichen Stärke aus in Richtung der Verbindungslinie der Mittelpunkte der
jeweiligen Stosspartner (senkrecht zu den einander berührenden Oberflächen), d.h. die
Kugeln 2 und 3 verlassen die Kollision in einem Winkel θ von ±30◦ (entsprechend der
Hälfte des Winkels eines gleichseitigen Dreiecks) zur x-Achse mit der Geschwindigkeit v.
Kugel 1 rollt nach der Kollision mit der Geschwindigkeit V entlang der x-Achse weiter.
Unter Anwendung des Impulserhaltungsatzes in x-Richtung folgt
mv0 = mV + 2mv cos θ, wobei m der Masse der identischen Kugeln entspricht.
Da alle Bewegungen reibungsfrei verlaufen, bleibt die kinetische Energie des 3-KugelSystems erhalten:
1 2 1
1
mv0 = mV 2 + 2 mv 2
2
2
2
2v0 cos θ
=
(a) Wird Gleichung 1 nach V aufgelöst und in Gleichung 2 eingesetzt folgt v = 1+2
cos2 θ
6.93m/s. Die Kugel 2 verlässt die Kollision mit der Geschwindigkeit 6.93m/s unter 30◦ im
Gegenuhrzeigersinn zur x-Achse.
(b) idem aber 30◦ im Uhrzeigersinn zur x-Achse
(c) aus Gleichung 1 folgt V = v0 − 2v cos θ = −2.0m/s. Das Minuszeichen deutet darauf
hin, dass Kugel 1 nach der Kollision zurückrollt.
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