THEORETISCHE ELEKTRODYNAMIK Blatt 3

THEORETISCHE ELEKTRODYNAMIK
Blatt 3
Sommersemester 2009, Prof. J. Ankerhold
Aufgabe 1: Zylinder- und Kugelkondensator
Ein Zylinderkondensator besteht aus zwei langen, koaxialen Rohren mit Radien r und R (r < R),
auf denen jeweils Ladungen q und −q gespeichert sind.
~ in (und außerhalb) diesem Zylinderkondensator (Hint:
a) Bestimmen Sie das elektrische Feld E
Gauß’scher Satz und fertig). Bestimmen sie dann das Potential U zwischen den Rohren und
damit die Kapazität C des Zylinderkondensators.
(2 Punkte)
~ U und C für einen Kugelkondensator aus zwei konzentrischen Kugeln
b) Berechnen sie ebenso E,
mit Radien r und R. Auch hier hilft der Gauß’sche Satz.
(2 Punkte)
Aufgabe 2: Kartesische Multipolentwicklung
Das Potential einer Ladungsverteilung lässt sich nach Potenzen von ~r entwickeln (siehe Vorlesung); die Koeffizienten sind dann symmetrische, spurfreie Tensoren.
P
a) zeigen Sie durch Taylorentwicklung von 4πǫ0 Φ(~r) = i |~r−qix~i | (wobei |~r| > max |~xi |), dass bei
einer Wolke von Punktladungen qi an Stellen ~xi für das Quadrupolmoment
Qαβ =
X
qi (3xiα xiβ − x2i δαβ )
i
und für das Oktupolmoment
Oαβγ =
X
qi (5xiα xiβ xiγ − xiα x2i δβγ − xiβ x2i δαγ − xiγ x2i δαβ )
i
gilt, wenn
4πǫ0 Φ(~r) =
Oαβγ rα rβ rγ
q
~r · p~ Qαβ rα rβ
+ 3 +
+
.
5
|~r|
|~r|
2|~r|
2|~r|7
Allgemein sind hierbei für das n-te Multipolmoment 2n − 1 Einträge unabhängig.
(2 Punkte)
b) Verschieben sie nun den Koordinatenurprung um einen Vektor R. Wie hängen die neuen Momente
~ ab?
q ′ ,~
p′ , Q′ von den alten Momenten und R
(2 Punkte)
Bestimmen Sie das kleinste nichtverschwindende Moment für folgende Ladungsverteilungen:
c) eine Ladung 2e am Ursprung und jeweils eine Ladung −e an (±1, 0, 0).
(1 Punkt)
d) Zwei Ladungen e an (1, 1, 0), (−1, −1, 0) und zwei Ladungen −e an (1, −1, 0), (−1, 1, 0).(1 Punkt)
e) 4 Ladungen e an (1, 1, 1),(−1, −1, 1),(1, −1, −1),(−1, 1, −1) und 4 Ladungen −e an
(1, 1, −1),(−1, −1, −1),(1, −1, 1),(−1, 1, 1).
(2 Punkte)