¨Ubungen zur Vorlesung Bohmsche Mechanik als Grundlage der

PROF. DR. DETLEF DÜRR
MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
SS 2005
Übungen zur Vorlesung
Bohmsche Mechanik
als Grundlage der Quantenmechanik
Blatt 2
Thema: Relativistische Mechanik
Aufgabe 1: Man nehme an, dass die Bahnen qi (τi ) , i = 1, ..., N zeitartig sind, d.h. je
zwei Punkte auf einer Bahn haben ein positives Minkowski-Abstandsquadrat. Zeigen Sie,
dass
Z∞
X
j µ (x) =
ei c
δ 4 (x − qi )q̇iµ dτi
i
−∞
mit
4
δ (x) =
3
Y
δ(xµ )
µ=0
die Kontinuitätsgleichung erfüllt:
∂ µ
j = 0,
∂xµ
Aufgabe 2: Bestätigen Sie durch eine rein formale Rechnung, dass
0 2
µ
0µ
0
−1
x,x0 = δ((x − x ) ) = δ((x − x )(xµ − xµ ))
eine Inverse zum d’Alembert Operator ist, d.h., dass
4
0
−1
x,x0 = δ (x − x )
gilt. Benutzen Sie dabei, dass
δ(x2 − y 2 ) =
1 δ(x − y) 1 δ(x + y)
+
,
2
y
2
y
gilt, wovon Sie sich ebenfalls überzeugen sollten.
Aufgabe 3: Für Bahnen qiµ (λi ) mit zunächst beliebigem Parameter λi und q̇iµ = dqµi /dλi
hat die Wheeler-Feynman Wirkung1 S dann die Form
"
#
Z
X
X ei e j Z Z
1
µ
µ
S=
−mi c (q̇i q̇iµ ) 2 dλi −
δ (qi − qj )2 q̇i q̇jµ dλi dλj .
c
i
j>i
1
Die Wirkung wurde bereits viele Male vorher unabhängig z.B. von Fokker, Tetrode und Schwarzschild
aufgeschrieben
Berechnen Sie wie in der Lagrange Mechanik die Euler Lagrange Gleichungen für Teilchen
i, wobei Sie die formalen Terme mit Hilfe des Feldes“
”
X Z
Aiµ (x) =
ej δ (x − qj )2 q̇jµ dλj .
j>i
als Lorentzkraft erkennen können. Es ist nicht nötig, in Lienard Wiechard Potentiale umzuformen.