Übungsblatt 13 (geändert am 10.02.)

Prof. Dr. Joachim Rosenthal
10. Februar 2006
13. Übungsblatt zur Einführung in die Algebra
Wintersemester 2005/06
Abgabe:
bis zum 8. Februar um 16:00 in den Postkästen der Tutoren
Übungen:
Donnerstag 16:00–17:45 Uhr in 36-M-08 (Ryan Hutchinson),
Freitag 08:30–10:00 Uhr in 36-M-94 (Felix Fontein)
(121) Sei K ein Körper und f ∈ K[x] ein Polynom mit deg f ∈ {2, 3}. Zeigen Sie, dass f
genau dann unzerlegbar ist, wenn f keine Nullstellen in K hat.
Finden Sie weiterhin ein Gegenbeispiel, dass dieses Kriterium für deg f = 4 nicht
funktioniert.
(122) Finden Sie alle unzerlegbaren Polynome von Grad ≤ 4 über Z3 .
(123) Sei p eine Primzahl und n, m ∈ N>0 mit m | n. Zeigen Sie, dass jedes unzerlegbare
n
Polynom in Zp [x] von Grad m ein Teiler von xp − x ist.
n
Wenn Sie nun beachten, dass xp − x über seinem Zerfällungskörper keine mehrfachen
n
Nullstellen hat, erhalten Sie folgendes: Die Zerlegung von xp − x ∈ Zp [x] in unzerlegbare Faktoren liefert (wie üblich bis auf Assoziiertheit) gerade alle unzerlegbaren
Polynome in Zp [x], deren Grad ein Teiler von n ist.
(124) Finden Sie eine Zerlegung des Polynoms x16 − x ∈ Z2 [x] in irreduzible Faktoren.
(125) Weisen Sie explizit nach, dass F∗16 zyklisch ist, indem Sie einen Erzeuger angeben.
Q
(126) Sei K ein endlicher Körper. Zeigen Sie, dass
x = −1 ist.
x∈K ∗
Hinweis: Denken Sie an Aufgabe 3 auf Übungsblatt 1.
(127) Sei K ein endlicher Körper mit |K| > 2. Zeigen Sie, dass
(128) Geben Sie die Minimalpolynome von α :=
Q an.
√
P
x = 0 ist.
x∈K
2 + 5 ∈ R und β :=
p
√
−1 + 2 ∈ R über
√ √
(129) Betrachten
Sie die Körpererweiterung L/K mit L :=
√
√ Q[ 3, 2] ⊆ R und K :=
Q[ 2] ⊆ R. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von 3 ∈ L über K (und damit den
Grad der Körpererweiterung).
(130) Sei Fpn ein endlicher Körper mit p einer Primzahl und n ∈ N>0 . Nach Vorlesung
ist dann F∗pn zyklisch (als multiplikative Gruppe); sei etwa F∗pn = hαi. Sei weiterhin
Fpm ⊆ Fpn ein Unterkörper. (Dies geht genau dann, wenn m ein Teiler von n ist.)
(a) Zeigen Sie, dass F∗pm durch αk mit k :=
pn −1
pm −1
erzeugt wird.
(b) Sei ϕ : Fpn → Fpn ein Homomorphismus mit ϕ(1) = 1. (Dann ist ϕ automatisch
ein Automorphismus. Wissen Sie, warum dies so ist?) Zeigen Sie, dass ϕ von der
Form x 7→ xk für ein k ∈ N>0 ist.
(c) Sei ϕ : Fpn → Fpn ein Automorphismus. Zeigen Sie, dass ϕ(Fpm ) ⊆ Fpm gilt.
Hinweis: Was wissen Sie über zyklische Gruppen und über die Ordnung von Elementen
nach Exponentation? Zu b): Betrachten Sie ϕ(α).
Man kann sogar zeigen, dass das k aus b) immer von der Form k = pℓ für ℓ ∈
{0, . . . , n − 1} gewählt werden kann. (Wenn Sie dies selber versuchen wollen: Führen
Sie die Annahme ‘k wird nicht durch p geteilt’ zum Widerspruch, und reduzieren dann
den allgemeinen Fall durch Verkettung mit einer passenden Potenz des FrobeniusEndomorphismus auf diesen Fall.)
ℓ
Die Abbildung x 7→ xp ist nun die ℓ-fache Verkettung des Frobeniushomomorphismus
(siehe Aufgabe 102) mit sich selber, ist also immer ein Automorphismus von Fpn .
Damit ist das folgende Ergebnis gezeigt: Die Gruppe der Automorphismen von Fpn
ist zyklisch von der Ordnung n und wird vom Frobeniushomomorphismus erzeugt.
(Extra) Sei K ein Körper und R := K n×n der Ring der n × n-Matrizen. Sei I ⊆ R ein Ideal
und I 6= {0}. Zeigen Sie, dass I = R ist.
Damit ist das Nullideal in R immer ein maximales Ideal. Für n > 1 zeigt dies, dass
im nichtkommutativen Fall daraus im Allgemeinen nicht folgt, dass R ein Körper ist!
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass die Matrix E11 = (eij )ij in I liegt, wobei e11 = 1 ist
und eij = 0 für (i, j) 6= (1, 1). Folgern Sie damit, dass die Einheitsmatrix in I liegt
und somit I = R ist.