Prof. Dr. Joachim Rosenthal 10. Februar 2006 13. Übungsblatt zur Einführung in die Algebra Wintersemester 2005/06 Abgabe: bis zum 8. Februar um 16:00 in den Postkästen der Tutoren Übungen: Donnerstag 16:00–17:45 Uhr in 36-M-08 (Ryan Hutchinson), Freitag 08:30–10:00 Uhr in 36-M-94 (Felix Fontein) (121) Sei K ein Körper und f ∈ K[x] ein Polynom mit deg f ∈ {2, 3}. Zeigen Sie, dass f genau dann unzerlegbar ist, wenn f keine Nullstellen in K hat. Finden Sie weiterhin ein Gegenbeispiel, dass dieses Kriterium für deg f = 4 nicht funktioniert. (122) Finden Sie alle unzerlegbaren Polynome von Grad ≤ 4 über Z3 . (123) Sei p eine Primzahl und n, m ∈ N>0 mit m | n. Zeigen Sie, dass jedes unzerlegbare n Polynom in Zp [x] von Grad m ein Teiler von xp − x ist. n Wenn Sie nun beachten, dass xp − x über seinem Zerfällungskörper keine mehrfachen n Nullstellen hat, erhalten Sie folgendes: Die Zerlegung von xp − x ∈ Zp [x] in unzerlegbare Faktoren liefert (wie üblich bis auf Assoziiertheit) gerade alle unzerlegbaren Polynome in Zp [x], deren Grad ein Teiler von n ist. (124) Finden Sie eine Zerlegung des Polynoms x16 − x ∈ Z2 [x] in irreduzible Faktoren. (125) Weisen Sie explizit nach, dass F∗16 zyklisch ist, indem Sie einen Erzeuger angeben. Q (126) Sei K ein endlicher Körper. Zeigen Sie, dass x = −1 ist. x∈K ∗ Hinweis: Denken Sie an Aufgabe 3 auf Übungsblatt 1. (127) Sei K ein endlicher Körper mit |K| > 2. Zeigen Sie, dass (128) Geben Sie die Minimalpolynome von α := Q an. √ P x = 0 ist. x∈K 2 + 5 ∈ R und β := p √ −1 + 2 ∈ R über √ √ (129) Betrachten Sie die Körpererweiterung L/K mit L := √ √ Q[ 3, 2] ⊆ R und K := Q[ 2] ⊆ R. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von 3 ∈ L über K (und damit den Grad der Körpererweiterung). (130) Sei Fpn ein endlicher Körper mit p einer Primzahl und n ∈ N>0 . Nach Vorlesung ist dann F∗pn zyklisch (als multiplikative Gruppe); sei etwa F∗pn = hαi. Sei weiterhin Fpm ⊆ Fpn ein Unterkörper. (Dies geht genau dann, wenn m ein Teiler von n ist.) (a) Zeigen Sie, dass F∗pm durch αk mit k := pn −1 pm −1 erzeugt wird. (b) Sei ϕ : Fpn → Fpn ein Homomorphismus mit ϕ(1) = 1. (Dann ist ϕ automatisch ein Automorphismus. Wissen Sie, warum dies so ist?) Zeigen Sie, dass ϕ von der Form x 7→ xk für ein k ∈ N>0 ist. (c) Sei ϕ : Fpn → Fpn ein Automorphismus. Zeigen Sie, dass ϕ(Fpm ) ⊆ Fpm gilt. Hinweis: Was wissen Sie über zyklische Gruppen und über die Ordnung von Elementen nach Exponentation? Zu b): Betrachten Sie ϕ(α). Man kann sogar zeigen, dass das k aus b) immer von der Form k = pℓ für ℓ ∈ {0, . . . , n − 1} gewählt werden kann. (Wenn Sie dies selber versuchen wollen: Führen Sie die Annahme ‘k wird nicht durch p geteilt’ zum Widerspruch, und reduzieren dann den allgemeinen Fall durch Verkettung mit einer passenden Potenz des FrobeniusEndomorphismus auf diesen Fall.) ℓ Die Abbildung x 7→ xp ist nun die ℓ-fache Verkettung des Frobeniushomomorphismus (siehe Aufgabe 102) mit sich selber, ist also immer ein Automorphismus von Fpn . Damit ist das folgende Ergebnis gezeigt: Die Gruppe der Automorphismen von Fpn ist zyklisch von der Ordnung n und wird vom Frobeniushomomorphismus erzeugt. (Extra) Sei K ein Körper und R := K n×n der Ring der n × n-Matrizen. Sei I ⊆ R ein Ideal und I 6= {0}. Zeigen Sie, dass I = R ist. Damit ist das Nullideal in R immer ein maximales Ideal. Für n > 1 zeigt dies, dass im nichtkommutativen Fall daraus im Allgemeinen nicht folgt, dass R ein Körper ist! Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass die Matrix E11 = (eij )ij in I liegt, wobei e11 = 1 ist und eij = 0 für (i, j) 6= (1, 1). Folgern Sie damit, dass die Einheitsmatrix in I liegt und somit I = R ist.