Klausur 2001 mit Lösungen

Klausur Strömungsmechanik I
Februar 2001
Fragen:
1. Ist die Fluidverdrängung eine notwendige oder hinreichende Bedingung beim Entstehen
der statischen Auftriebskraft? Erläutern Sie Ihre Meinung mittels Skizze!
h
P
Ursache für die statische Auftriebskraft ist die Druckverteilung in der Gas- oder Flüssigkeitssäule. Dabei benötigt der Druck eine Angriffsfläche am Körper. Die Fluidverdrängung ist eine
notwendige aber nicht hinreichende Bedingung.
3 Punkte
2. Welche Bedingungen müssen bei der Anwendung der Ähnlichkeitstheorie erfüllt sein und
wie läßt sich das erreichen?
a) die geometrischeÄhnlichkeit muß gegeben sein – maßstabgerechtes Modell
b) die physikalische oder dynamische Ähnlichkeit muß erfüllt sein – einhalten der
Kennzahlen, die das Verhältnis der dominierenden Kräfte beinhalten.
3 Punkte
3. Rechnen Sie gemessene Strömungsgeschwindigkeiten an den Modellausführungen eines
waagerechten Rohres mit Pumpe und eines senkrechten Rohres ohne Pumpe auf das
jeweilige Original um! Welche Kennzahlen verwenden Sie bei diesen Problemstellungen?
waagerechtes Rohr: Druckkraft und Reibungskraft – Reynoldszahl und Eulerzahl
senkrechtes Rohr:
Schwerkraft und Reibungskraft – Reynoldszahl und Froudezahl
In beiden Fällen wird die Reynoldszahl zur Bestimmung der Strömungsgeschw. am
vO dO
v d
d
í
Original herangezogen
= M M ;
vO = v M M ⋅ O
íO
íM
dO í M
4 Punkte
4. Welche beiden Bedingungen (verbal und formelmäßig) muß eine Potentialströmung
erfüllen?
r
r
Die Strömung muß drehungsfrei (rot v =0) und quell- und senkenfrei (div v = 0) sein.
4 Punkte
5. Wie lassen sich in einem dreidimensionalen Potentialfeld die Geschwindigkeitskomponenten in zylindrischen Koordinaten bestimmen?
vr =
dÖ
;
dr
vϕ =
1 dÖ
;
r dϕ
vz =
dÖ
dz
3 Punkte
6. Was verstehen Sie unter den Begriffen:
a) Newton´sches Fluid, b) turbulent, c) instationär, d) irreversibel, e) kritischer Zustand
(Gasdynamik)?
dv
dn
Der örtlichen mittleren Geschwindigkeit sind Geschwindigkeitsschwankungen
überlagert. Dazu muß die kritische Reynoldszahl überschritten sein.
Der Strömungszustand ist abhängig von der Zeit.
Nicht umkehrbar wegen Entropieerhöhung (Reibung).
Die maximale Massenstromdichte ist erreicht. Das ist der Fall, wenn Ma = Ma* =1,
dñ
dv
wo
= −
.
ñ
v
5 Punkte
a) Fluid unterliegt dem Newton´schen Schubspannungsansatz Ô = ç
b)
c)
d)
e)
7. Welche Parallelen zur Elektrotechnik fallen Ihnen bei der Reihen- und Parallelschaltung
von Druckverlustgliedern ein?
&1 = V
&2 =V
& 3 = ......
V
∆p = ∆p1 + ∆p 2 + ∆ 3 + ....
& =V
&1 + V
&2 +V
& 3 + ...
V
∆p1 = ∆p 2 = ∆p3 = ...
Reihenschaltung:
Parallelschaltung:
I1 = I2 = I3 = ...
U = U1 + U2 + U3 + ...
I = I1 + I2 + I3 + ...
U1 = U2 = U3 ...
4 Punkte
8. Was verstehen Sie unter einem Mach´schen Kegel und unter einem Verdichtungsstoß?
c
α
c
v
Hörbarkeitsbereich eines fliegenden Körpers, der Schallwellen
aussendet.
Verdichtungsstoß:
Eine Störung in der Überschallströmung (z.B. Änderung des Gegendruckes einer Lavaldüse) führt zu einer plötzlichen Änderung der Parameter Druck↑, Dichte↑,
Temperatur↑, Entropie↑ und Geschwindigkeit↓. Dieser plötzliche Vorgang ist möglich, da
genau so viel Wärme zu- wie abgeführt wird.
4 Punkte
v
sin α =
1. Aufgabe
Eine Pumpe fördert über eine Kreisrohrleitung mit dem Innendurchmesser d Wasser (Dichte ρ)
aus einem großen Becken in einen großen offenen Hochbehälter. An der Stelle 3 tritt das Wasser als Freistrahl in den Behälter ein. Die Höhendifferenz H zwischen den beiden Wasserspiegeln sei konstant, der zu fördernde Volumenstrom V& ist gegeben. Mit Hilfe der Stromfadentheorie bestimme man unter Vernachlässigung von Reibungseinflüssen
a) die Geschwindigkeit v, die im Rohr auftritt,
b) die Druckerhöhung ∆p P, die die Pumpe der Strömung zuführen muß, damit sich der geforderte Volumenstrom einstellt.
c) In welcher Höhe z1 über dem unteren Wasserspiegel darf die Pumpe höchstens installiert
werden, wenn der Druck p1 am Eingangsstutzen der Pumpe den Wert 0,4 bar Absolutdruck
nicht unterschreiten soll?
pU
4
Bei Berücksichtigung der Reibungseinflüsse ist ein
zusätzlicher Druckabfall in der Leitung von
insgesamt ∆p V zu beachten.
h*
3
d) Man bestimme die elektrische Leistung Le l,
die der Pumpe zur Förderung des vorgegebenen
Volumenstromes zugeführt werden muß, wenn
ein Reibungsdruckverlust von ∆p V = 0,02 bar
auftritt und der Wirkungsgrad der Pumpe
η= 80% beträgt.
d
z4 = H
2
Gegeben:
z4 = 12 m, d = 0,1 m, V& = 25 l/s, ρ = 103 kg/m3,
pU = 1 bar, ∆p V = 0,02 bar, η = 80%
1
z1
Z
Lösung:
v=
&
&
V
4V
=
= 3,18 m/s
A ð d2
Bernoulli-Gl. reibungsfrei 0→1:
p U = p1 +
ñ 2
v + ñ g z1 ;
2
p1 = p U −
Leistungsbilanz 1→2 (Energiegl.)
& ⋅ ÄpP = Wt = V
& ⋅ ñ  e 2 + p 2 + g ⋅ z 2 −  e1 + p1 + g ⋅ z1 
V



ñ
ñ



∆pP = p 2 – p1
Bernoulli-Gl. 2→3 bzw. 2→4:
ñ 2
ñ 2
p2 + v2 + ñ g z2 = p3 + v 3 + ñ g z3
reibungsfrei
2
2
mit p3 = pU + ρ g h*
z3 = z4 – h*
v2 = v 3
p2 = p U + ρ g h* - ρ g z2 + ρ g z4 - ρ g h* = pU + ρ g (z4 – z2)
ñ 2
v − ñ g z1
2
(1)
e2 = e1 ohne Verluste
z2 = z1
(2)
(3)
Die Gl. (1) und (3) in Gl.(2) eingesetzt ergibt die Druckerhöhung der Pumpe.
ñ
ñ
ÄpP = p U + ñ g (z 4 − z 2 ) − p U + v 2 + ñ g z 1 = ñ g z 4 + v 2 = 122800 Pa = 1,228 bar
2
2
5
Das maximale z1 für p1 = 0,4 ⋅ 10 Pa:
p − p1
1 2
z1 ≤ U
−
v = 5,6 m
ñg
2g
Notwendige Druckerhöhung der Pumpe mit Reibung:
ñ
ÄpP = ñ g z 4 + v 2 + ÄpV = 124800 Pa
2
& = 3,12 kW
Leistung der Pumpe:
LP = ∆p P ⋅ V
L
Leistung des elektr. Antriebs:
L el = P = 3,9 kW
ç
35 Punkte
2. Aufgabe
Ein mit Flüssigkeit der Dichte ρ gefülltes Rohr der Querschnittsfläche A1 mündet in eine Düse
der Querschnittsfläche A 2. Es wird dadurch geleert, daß ein Kolben mit der konstanten
Geschwindigkeit v 1 durch das Rohr geschoben wird. Reibungseinflüsse sind zu
vernachlässigen.
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit v2?
b) Mit welcher Kraft F muß der Kolben verschoben werden?
c) Welche Kräfte FA und F B treten an beiden symmetrischen Lagern auf, in denen das Rohr
festgehalten wird?
Gegeben:
ρ = 1000 kg/m3, A 1 = 0,1 m2,
A2 = 0,01 m2, v1= 4 m/s,
pU = 1 bar
- FA
pU
pU
v1
F + m w1
v2
A1
A2
m w2
y
- FB
x
Kontrollgebiet
Lösung:
p1 +
ñ 2
ñ 2
w1 = p 2 + w 2 ;
2
2
p2 = pU ;
w2 =
w1 A1
= 40 m/s
A2
2
ñ 2A 
ñ 2
p U + w1  1  = p1 + w1
2
2
 A2 
2

ñ 2  A 1 
 − 1  = 7,92 bar
p1 rel = p1 − p U = w1 
2

 A 2 
Der Umgebungsdruck wirkt auf die
gesamte Fläche von beiden Seiten, außer A 1
Kolbenkraft:
FK = F = A1 ⋅p1 rel = 79200 N
Kräfte interessieren nur in x-Richtung
& w1 = 80800 N
F+ m
& = ρ w2 A2
m
Kräftegleichgewicht:
& w1 + FA + F B = m
& w2
F+ m
& w2 - F - m
& w1 = - 64800 N
Haltekraft FA + F B = m
20 Punkte
3. Aufgabe
Ein großer Druckluftkessel (Kesseldruck p 0, Kesseltemperatur T0) besitzt eine Ablaßöffnung
mit der Austrittsquerschnittsfläche A 1. Die Luft ist als ideales Gas mit der spezif.
Gaskonstanten R und dem Isentropenexponent κ anzusehen.
a) Unter Voraussetzung stationärer, isentroper Strömung im reibungsfreien Kernbereich soll
der sekündlich in die Atmosphäre (Atmosphärendruck pU) austretende Massenstrom m&
berechnet werden.
b) Wie ändert sich der austretende Massenstrom, wenn an die Ablaßöffnung ein
Erweiterungsstück mit dem Austrittsquerschnitt A 2 > A 1 angesetzt wird?
Gegeben:
P0 = 3,7 bar, pU = 1 bar, T0 = 300 K,
A1 = 17 cm2, R = 287 m2/(s2 K), κ = 1,4,
A2 > A1
A2
A1
P0
T0
pU
pU
Lösung:
pU
1
=
= 0,27 ≤
p0
3,7
p*
= 0,527
p0
überkritisch
1
& = ñ * c * A1
m
→
 2  ê −1
ñ * = ñ 0 
 = 0,634 ⋅ ñ 0
 ê +1 
p0
ñ0 =
= 4,3 kg/m 3
ρ* =2,72 kg/m3
R ⋅ T0
c* =
& = 1,47 kg/s
m
2ê
R T0 = 316,9 m/s
ê +1
A1 = 0,0017 m 2
Der Massendurchsatz ändert sich nicht, wenn die Öffnung durch eine Lavaldüse erweitert wird.
15 Punkte
Zusatzaufgabe
Zwischen einem inneren Zylinder mit dem Radius R und der Länge L und einem koaxialen
äußeren Zylinder befindet sich ein schmaler Spalt von der Breite s, der mit einem newtonschen
Fluid (dyn. Viskosität η) gefüllt ist.
Welches Moment muß am inneren Zylinder angreifen, wenn dieser in Ruhe bleiben soll,
während sich der äußere Zylinder mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω dreht?
Hinweis:
Wegen s << R und s<< L kann angenommen werden, daß die Strömung im
gekrümmten Spalt über die ganze Länge L der Couette-Strömung zwischen zwei
geraden Platten gleich ist.
Gegeben:
R = 5 cm, s = 0,2 cm,
L = 20 cm, ω = π/2 s-1,
η = 5 ⋅ 10-2 Pa s
R
L
s
ω
Lösung:
Wegen s<<R:
vu = ω R
Newton´scher Schubspannungsansatz:
dv
v
ùR
= ç U =ç
dr
s
s
lineares Geschwindigkeitsprofil
Ô= ç
F=ΤA=Τ2πR L
Md = F R = η ω 2π R3 L/s = η π2 R 3 L/s
= 0,0061685 Nm
10 Punkte