UE Statistik (LV

UE Statistik (LV-Nr. 405.163)
Wintersemester 2016/2017, 10. Blatt
1. Erklären Sie den Beweis von Satz 7.3 (Satz von Glivenko-Cantelli).
2. Es sei (Xn )n∈N eine Folge von unabhängigen U(0, 1)-verteilten Zufallsvariablen. Es sei
weiters g : [0, 1] → R eine stetige Funktion. Wir betrachten die Zufallsvariable In =
n
R1
P
1
g(x) dx. Zeigen Sie, dass eine Konstante V ≥ 0
g
◦
X
und
das
Integral
I
=
i
n
k=1
0
existiert, sodass für jedes M > 0 und n ∈ N die folgende Abschätzung gilt:
M
V
P |In − I| ≥ √
≤ 2
M .
n
3. Angenommen ein Affe drückt unendlich oft hintereinander jeweils eine der 30 Tasten einer
Tastatur. Xi bezeichne die im i-ten Schritt gedrückte Taste. Wir nehmen an, dass alle
Tasten gleich wahrscheinlich sind und die Folge (Xn )n∈N i.i.d. ist. Beweisen Sie mit Hilfe
des SLLN, dass der Affe mit Wahrscheinlichkeit eins unendlich oft den kompletten Text
von Romeo & Julia schreibt.
Hinweis: Es ist zwecksmäßig, die Tasten mit 1 bis 30 durchzunummerieren.
4. Ein fairer Würfel wird unendlich oft geworfen. Beweisen Sie:
(a) mit Wahrscheinlichkeit eins kommt unendlich oft eine ’Sechs’.
(b) mit Wahrscheinlichkeit eins kommt jede Zahl unendlich oft. Ist auch die Wahrscheinlichkeit dafür, an unendlich vielen ungeraden Stellen (erster, dritter, fünfter, etc.
Wurf) eine ’Sechs’ zu erhalten, gleich eins?
5. Die Riemann’sche Zeta-Funktion für ein reelles s > 1 ist definiert durch
∞
X
ζ(s) =
k −s .
k=1
Es sei s fest gewählt und X, Y seien zwei Zufallsvariable mit
P(X = k) = P(Y = k) =
k −s
ζ(s)
für k = 1, 2, . . . .
(a) Zeigen Sie, dass die Ereignisse Dp = {X wird von p geteilt} für prime p unabhängig
sind.
(b) Betrachten Sie das Ereignis {X = 1} und zeigen Sie damit die Euler Formel
Y
1
=
(1 − p−s ).
ζ(s)
p
p prim
(c) Zeigen Sie P(G = k) = k −2s /ζ(2s), wobei G = ggT (X, Y ) ist.