Punktprozessmodelle

Stochastische Geometrie und ihre
Anwendungen
Thema 4: Punktprozessmodelle
Martin Weinberger | 02. November 2009 | Uni Ulm
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Stochastik Seminar - Martin Weinberger |
Überblick
Einführung
Fundamentale Operationen
Cox-Prozesse
Neyman-Scott Prozesse
Hard-Core Prozesse
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Überblick
Einführung
Fundamentale Operationen
Cox-Prozesse
Neyman-Scott Prozesse
Hard-Core Prozesse
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Einführung
Φb : Basis-Punktprozess (auch Vater-Prozess) in Rd
Φ : Modellierter Punktprozess in Rd
Λ : Intensitätsmaß des Punktprozesses
λ : Intensität (falls Φ stationär)
λ(x) : Intensitätsfunktion (falls Φ nicht stationär)
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Einführung
Fundamentale Operationen
Cox-Prozesse
Neyman-Scott Prozesse
Hard-Core Prozesse
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Einführung
I
Ausgangspunkt: Es wurde ein (Basis-)Punktprozess
erzeugt
I
Ziel: darauf neue Prozesse generieren
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Einführung
I
Ausgangspunkt: Es wurde ein (Basis-)Punktprozess
erzeugt
I
Ziel: darauf neue Prozesse generieren
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Fundamentale Operationen
I
Ausdünnung (thinning)
I
Clustering
I
Überlagerung (superposition)
I
Komprimieren (pressing)
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Fundamentale Operationen
I
Ausdünnung (thinning)
I
Clustering
I
Überlagerung (superposition)
I
Komprimieren (pressing)
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Ausdünnung
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Ausdünnung
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Ausdünnung
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Ausdünnung
I
Punkte des Basisprozesses Φb werden nach gewissen
Regeln ausgedünnt, so dass gilt: Φ ⊂ Φb
I
einfachste Variante: p-Ausdünnung
I
I
I
Jeder Punkt wird mit Wahrscheinlichkeit 1 − p
(bzw. 1 − p(x)) ’gelöscht’
p kann von x abhängen und auch selbst zufällig sein
Unabhängige Ausdünnung (da keine ’Interaktionen’
zwischen den Punkten)
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Ausdünnung
I
Punkte des Basisprozesses Φb werden nach gewissen
Regeln ausgedünnt, so dass gilt: Φ ⊂ Φb
I
einfachste Variante: p-Ausdünnung
I
I
I
Jeder Punkt wird mit Wahrscheinlichkeit 1 − p
(bzw. 1 − p(x)) ’gelöscht’
p kann von x abhängen und auch selbst zufällig sein
Unabhängige Ausdünnung (da keine ’Interaktionen’
zwischen den Punkten)
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Ausdünnung
I
p(x)-Ausdünnung:
I
I
I
R
Intensitätsmaß: Λ(Y ) = Y p(x)Λb (dx)
erzeugendes Funktional: G(v ) = Gb (vp )
( mit vp (x) = v (x)p(x) + 1 − p(x) )
Abhängige Ausdünnung
I
z.B. Ausdünnung abhängig von der Distanz zum nächsten
Nachbarn → Matérn-Hardcore-Prozess
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Ausdünnung
I
p(x)-Ausdünnung:
I
I
I
R
Intensitätsmaß: Λ(Y ) = Y p(x)Λb (dx)
erzeugendes Funktional: G(v ) = Gb (vp )
( mit vp (x) = v (x)p(x) + 1 − p(x) )
Abhängige Ausdünnung
I
z.B. Ausdünnung abhängig von der Distanz zum nächsten
Nachbarn → Matérn-Hardcore-Prozess
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Clustering
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Clustering
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Clustering
I
Idee: Auf Mutterprozess Φb wird nach einem stoch.
Mechanismus einen Nachkommen-Prozess Φ erzeugt
I
Jeder ursprüngliche Punkt x wird zu einem ’Cluster’ von N x
Punkten
I
Es wird angenommen, dass die Punkte verschiedener
Cluster disjunkt sind: N x ∩ N y = ∅ für x 6= y , x, y ∈ Φb
Definition
Der gesamte Prozess kann
dargestellt werden:
S wie folgt
x
Φ = x∈Φb N
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Clustering
I
Idee: Auf Mutterprozess Φb wird nach einem stoch.
Mechanismus einen Nachkommen-Prozess Φ erzeugt
I
Jeder ursprüngliche Punkt x wird zu einem ’Cluster’ von N x
Punkten
I
Es wird angenommen, dass die Punkte verschiedener
Cluster disjunkt sind: N x ∩ N y = ∅ für x 6= y , x, y ∈ Φb
Definition
Der gesamte Prozess kann
dargestellt werden:
S wie folgt
x
Φ = x∈Φb N
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Clustering
I
Jedes Cluster ist für sich selbst ein Punktprozess mit nur
endlich vielen Punkten
I
Ausdünnung kann als Spezialfall von Clustering gesehen
werden
I
viele Naturphänomene kann man durch Clustering
modellieren
I
wichtiger Cluster-Prozess: Neyman-Scott-Prozess
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Clustering - Beispiel
I
Beispiel: Poisson-Clusterprozess:
I
I
I
I
1. Mutterprozess ist (inhomogener) Poisson-Prozess mit
Intensität λ(x)
2. Zu jedem Punkt x des Mutterprozesses werden zufällige
Anzahl N an Nachkommen erzeugt
3. Die Positionen der Nachkommen relativ zum Mutterpunkt
sind gemäß einer eindim. Randdichte f (x) zufällig verteilt
4. Die Lokationen der Nachkommen bilden den finalen PCP
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Beispiel: Clusterprozess mit R
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Beispiel: Clusterprozess mit R
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Überlagerung (superposition)
Definition
Vereinigung zweier Punktprozesse Φ1 und Φ2 mit:
Φ = Φ1 ∪ Φ2
I
Es wird dabei angenommen, dass sich die Punktmengen
nicht überschneiden: Φ1 ∩ Φ2 = ∅
I
Intensitätsmaß Λ = Λ1 + Λ2
I
Intensität λ = λ1 + λ2
I
Falls Φ1 und Φ2 unabhängig sind:
G(v ) = G1 (v ) ∗ G2 (v ) ∀v ∈ V
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Überlagerung (superposition)
Definition
Vereinigung zweier Punktprozesse Φ1 und Φ2 mit:
Φ = Φ1 ∪ Φ2
I
Es wird dabei angenommen, dass sich die Punktmengen
nicht überschneiden: Φ1 ∩ Φ2 = ∅
I
Intensitätsmaß Λ = Λ1 + Λ2
I
Intensität λ = λ1 + λ2
I
Falls Φ1 und Φ2 unabhängig sind:
G(v ) = G1 (v ) ∗ G2 (v ) ∀v ∈ V
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Komprimieren (pressing)
Definition
0
0
Pressing: Φb → Φ : (ξ, η) → (ξ , η )
0
0
wobei ξ = ξ, η = cη ; mit c, ξ, η ∈ R und 0 < c < 1 fest
I
Intensität: λ = λb /c
I
Falls Φb stationär ⇒ Φ stationär
I
aber: i.A. ist Φ nicht isotrop, falls Φb es ist
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Komprimieren (pressing)
Definition
0
0
Pressing: Φb → Φ : (ξ, η) → (ξ , η )
0
0
wobei ξ = ξ, η = cη ; mit c, ξ, η ∈ R und 0 < c < 1 fest
I
Intensität: λ = λb /c
I
Falls Φb stationär ⇒ Φ stationär
I
aber: i.A. ist Φ nicht isotrop, falls Φb es ist
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Überblick
Einführung
Fundamentale Operationen
Cox-Prozesse
Neyman-Scott Prozesse
Hard-Core Prozesse
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Cox-Prozesse (Doppelt stochastische Prozesse)
Definition
Ein PP Φ heißtRCox-Prozess, falls die Verteilung PΦ durch
PΦ (Y ) = PΛ (Y )Q(dΛ) für Y ∈ N gegeben ist.
I
Ein CPP ist eine 2-stufige Simulation:
I
I
I
1. Generiere ein Maß Λ auf Rd (mit Verteilung Q)
2. Generiere einen Poisson-Prozess mit Intensitätsmaß Λ
Anwendungen v.a. in der Physik;
erste Anwendungen auch bei Orten zweier verschiedener
Baumarten
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Cox-Prozesse (Doppelt stochastische Prozesse)
Definition
Ein PP Φ heißtRCox-Prozess, falls die Verteilung PΦ durch
PΦ (Y ) = PΛ (Y )Q(dΛ) für Y ∈ N gegeben ist.
I
Ein CPP ist eine 2-stufige Simulation:
I
I
I
1. Generiere ein Maß Λ auf Rd (mit Verteilung Q)
2. Generiere einen Poisson-Prozess mit Intensitätsmaß Λ
Anwendungen v.a. in der Physik;
erste Anwendungen auch bei Orten zweier verschiedener
Baumarten
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Beispiele von Cox-Prozessen
1. gemischter Poisson-Prozess
I
I
stationärer Poisson-Prozess mit zufälliger Intensität
Zufallsmaß: Λ = χvd χ nicht-neg. ZV
2. π(x)-Ausdünnung (für Poisson-Prozesse):
I
Zufallsmaß: Λ(Y ) =
R
Y
π(x)Λb (dx) Y ∈ B
3. Punktstreuung entlang Fasern
I
Zufallsmaß: Λ(Y ) = NL h1 (χ ∩ Y ) für Y ∈ B
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Beispiele von Cox-Prozessen
1. gemischter Poisson-Prozess
I
I
stationärer Poisson-Prozess mit zufälliger Intensität
Zufallsmaß: Λ = χvd χ nicht-neg. ZV
2. π(x)-Ausdünnung (für Poisson-Prozesse):
I
Zufallsmaß: Λ(Y ) =
R
Y
π(x)Λb (dx) Y ∈ B
3. Punktstreuung entlang Fasern
I
Zufallsmaß: Λ(Y ) = NL h1 (χ ∩ Y ) für Y ∈ B
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Beispiele von Cox-Prozessen
1. gemischter Poisson-Prozess
I
I
stationärer Poisson-Prozess mit zufälliger Intensität
Zufallsmaß: Λ = χvd χ nicht-neg. ZV
2. π(x)-Ausdünnung (für Poisson-Prozesse):
I
Zufallsmaß: Λ(Y ) =
R
Y
π(x)Λb (dx) Y ∈ B
3. Punktstreuung entlang Fasern
I
Zufallsmaß: Λ(Y ) = NL h1 (χ ∩ Y ) für Y ∈ B
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Cox-Prozesse
I
erzeugendes Funktional:
G(v ) = LQ (1 − v ) für v ∈ V
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Einführung
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Cox-Prozesse
Neyman-Scott Prozesse
Hard-Core Prozesse
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Neyman-Scott Prozesse
I
I
spezielle Art eines Cox-Prozesses
entsteht durch homogenes, unabhängiges Clustering auf
stationärem Poisson-Prozess
I
I
I
parent-Punkte: stationärer Poisson-Prozess
offspring-Punkte: bilden zufällige, unabhängige Cluster
mit jeweils identischer Verteilung relativ zum Elternpunkt
(parent-Punkt)
Intensität: λ = λb c
c : Mittelwert der Anzahl der Tochterpunkte pro Elternpunkt
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Neyman-Scott Prozesse
I
Modell: (ähnlich Poisson-PP)
I
I
I
1. Mutter-Prozess ist Poisson-Prozess
2. Cluster-Muster der Nachkommen relativ zur Mutter i.i.d.
verteilt
3. Die Lokationen der Nachkommen bilden den finalen NSP
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Cox-Prozesse
Neyman-Scott Prozesse
Hard-Core Prozesse
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Hard-Core Prozesse
Definition
Gegeben sei ein markierter PP Φb mit Marken m(x) ∀x ∈ Φb .
Dann heißt
Φ = {x ∈ Φb : m(x) < m(y ) ∀y ∈ Φb ∩ b(x, h) \ {x}}
Hardcore-Prozess.
I
Punkte haben Mindestabstand zum Nachbarpunkt →
abhängige Ausdünnung (stationär)
I
Intensität: λ = pλb ; p: ”Palm-Eintrittswahrscheinlichkeit”
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Hard-Core Prozesse
Definition
Gegeben sei ein markierter PP Φb mit Marken m(x) ∀x ∈ Φb .
Dann heißt
Φ = {x ∈ Φb : m(x) < m(y ) ∀y ∈ Φb ∩ b(x, h) \ {x}}
Hardcore-Prozess.
I
Punkte haben Mindestabstand zum Nachbarpunkt →
abhängige Ausdünnung (stationär)
I
Intensität: λ = pλb ; p: ”Palm-Eintrittswahrscheinlichkeit”
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Matérn-Hardcore Prozess
I
Einfache Simulation:
1. Simulation eines Poisson-Prozesses
2. Punkte werden unabhängig markiert (mit m(x) ∈ (0, 1) )
3. Ausdünnung nach Definition des Hardcoreprozesses
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Matérn-Hardcore Prozess
I
Einfache Simulation:
1. Simulation eines Poisson-Prozesses
2. Punkte werden unabhängig markiert (mit m(x) ∈ (0, 1) )
3. Ausdünnung nach Definition des Hardcoreprozesses
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Literaturverzeichnis:
I
Stoyan, D., Kendall, W.S., Mecke, J. (1995): Stochastic
Geometry and its Applications, Wiley
I
Schmidt, V. (2008): Räumliche Statistik (Vorlesungsskript)
I
Thiedmann, R. (2003): Einführung in Punktprozesse und
Ihre Charakteristiken
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Schlusswort
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!