Experimentelle Physik II

Experimentelle Physik II
Sommersemester 08
Vladimir Dyakonov
(Lehrstuhl Experimentelle Physik VI)
VL#22
01-07-2008
Tel. 0931/888 3111
[email protected]
Experimentelle Physik II
8. Bandstruktur und Transporteigenschaften
8.1
Ströme in Bändern
8.2
Boltzmann-Gleichung
8.3
Elektrische Leitfähigkeit in Metallen (revisited)
8.4
Thermoelektrische Effekte
8.5
Bandelektronen im Magnetfeld
8.4 Thermoelektrische Effekte
Bisher wurde angenommen:
r
" rr T = 0
Nun ändert sich die Nichtgleichgewichtsverteilungsfunktion f(k) sowohl
durch das E-Feld als auch durch den T-Gradient
!
Relaxationszeitansatz beschreibt die Einstellung der GG-Verteilung f0(k)
durch die Stöße
Im stationären Zustand
r
"E
= 0,
"t
"f
= 0,
"t
r
" # rr T
( ) =0
"t
r
r e r rr
r r
r r
r r r
modifiziert sich die f(k): f ( k ) = f 0 ( k ) + " ( k ) E# ks f ( k ,T( r )) $ "v ( k )# rr f ( k ,T( r ))
h
r !r r
$ #f ' r
Neu!
Es gilt:
" rr f ( k ,T( r )) = & )" rr T
% #T (
!
Unter der Annahme kleiner Störung ergibt sich die sog. linearisierte
Boltzmann-Gleichung für die f(k):
!r
r e r rr
r
r &f r r r
s
f ( k ) " f 0 ( k ) + # ( k ) E$ k f 0 ( k ) % # ( k ) 0 v ( k )$ rr T
h
&T
8.4 Thermoelektrische Effekte
r
el. Stromdichte in x-Richtung mit E = (E x ,0,0) :
r
r
2e
3
jx = "
d k v x ( k ) f (k )
3 $
(2# ) BZ
! das Ohmsche Gesetz:
f(k) einsetzen und erhalten
2e
2 %f 0 %T
3
!j x = 0 + "E x +
d k $v x
3 &
(2# ) 1.BZ
%T %x
µ(T) wird vernachlässigt (gute Näherung bei Metallen), daher gilt:
r
%
r
"f 0 "f 0 # ( k ) $ µ ( "f 0
= ! '
+ $, (#( k ) $ µ)
*,
"T "E & T ) "E
r
% ( k ) & µ 'f ( 'T +
2e
2
3
0
j x = "E x +
d k $v x
*& 3 .
(2# ) 1.BZ
T
'% ) 'x ,
[
!
L12xx
!
]
- Transport-Koeffizient
8.4 Thermoelektrische Effekte
Allgemein muss noch die Ortsabhängigkeit des chemischen Potentials
berücksichtigt werden:
& %T )
j x = "E x# + L ( $ +
' %x *
12
xx
r
r 1 r r
E " = E + # r µ( r )
e
(
mit einer verallgemeinerten Feldstärke:
!
)
Wir erhalten die elektrische Stromdichte:
r
r
r
r
tr
12
11
12
j el. = "E # + L $% rr T = L E # + L $% rr T
!
(
)
(
)
Fazit: T-Gradient erzeugt elektrischen Strom!
!
Analog möchten wir den Wärmestrom durch Elektronen berechnen.
Die Rate, mit welcher die Wärme dQ in einen vorgegebenen Bereich des
FK einströmt, ist gleich der Rate, mit welcher sich die Entropie der
Elektronen ändert: dQ = TdS
Gibbs‘sche Fundamentalgleichung: dU = TdS " pdV + µdn
8.4 Thermoelektrische Effekte
V=const., d.h. die Änderung der Entropie ist verbunden mit der Änderung
der inneren Energie dU sowie der Elektronenzahl dn:
TdS = dU " µdn
r
r
Wärmestromdichte ist verknüpft mit der Entropiestromdichte: jW = j S T
r
r
r
Deshalb:
jW = j" # µj n
!
!
!
Die jeweiligen Stromdichten kann man ausrechnen: !
r r r
r
r
2
3
j" !
=
d k " ( k )v ( k ) f ( k )
3 $
(2# ) BZ
r
r
r r
2
3
jn =
$ d k #1# v (k ) f (k )
(2" ) 3 BZ
r
r
r
r r
2
3
jW =
Kombinieren und erhalten:
% d k #( k ) $ µ v ( k ) f ( k )
(2" ) 3 BZ
[
mit
r
r
r r r r $f
f ( k ) = f 0 ( k ) + e" ( k ) E #v ( k ) &
$%
!
r
%( k ) & µ
[
T
]
] " (kr)vr(kr)(&'r T) $f
r
r
$%
8.4 Thermoelektrische Effekte
Einsetzen:
!
!
!
r
)
,
#
(
k
)
$
µ
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
2
'
f
'
f
jW =
d 3 k #( k ) $ µ v ( k )+ f 0 ( k ) + e% ( k ) E &v ( k ) $
% ( k )v ( k )($( rr T) . =
3 /
+
(2" ) BZ
'#
T
'# .
*
r
r
r r
2
3
=
% d k #( k ) $ µ v ( k ) f 0 ( k )
(2" ) 3 BZ
r
r r r r %f r r
2e
3
+
d k # ( k ) $ µ v ( k )v ( k ) & ( k ) E '
3 (
(2" ) BZ
%#
r
2
$ ( k ) " µ r r r r r &f r
2
3
"
d k
v ( k )v ( k )% ( k ) ("' rr T) =
3 (
(2# ) BZ
T
&$
!
!
]
[
]
[
[
]
]
r
r
22
= L E " + L #$ rr T
21
!
[
(
[
]
)
Analog berechnen wir die el. Stromdichte aus der Teilchenstromdichte:
r
r
r
r
r
r r
2
3
11
12
j el. = ("e) # j n =
d k # ("e) # v ( k ) f ( k ) = ... = L E & + L "' rr T
3 %
(2$ ) BZ
(
)
8.4 Thermoelektrische Effekte
Gleichungssystem für den elektrischen und Wärmestrom in Abhängigkeit
von ihren Ursachen:
r
r
r
11
12
j el. = L E " + L #$ rr T
r
r
r
21
12
jW = L E " + L #$ rr T
(
(
!
!
)
)
Es besteht folgender Zusammenhang (Onsager Relation):
L11 = "
Elektrische Leitfähigkeit
L21 = T # L12
L22 = $
Wärmeleitfähigkeit, verknüpft mit σ über das W.-F-Gesetz
Fazit: ein elektrisches Feld sowie ein Temperaturgradient rufen sowohl
einen elektrischen Strom wie einen Wärmestrom hervor!
!
Betrachten wir nun eine Leiterschleife, bestehend aus 2 verschiedenen
Metallen A und B:
8.4 Thermoelektrische Effekte
Seebeck-Effekt:
offene Metallschleife (E`=E) (Voltmeter ist hochohmig!):
r
j el. = 0
$ #T '
j el. = 0 = L E x + L &" )
% #x (
11
!
!
12
L12 # "T &
# "T &
E x = 11 % ( ) K % ( , K - Seebeck-Koeffizient oder Thermokraft
$ "x '
L $ "x '
In der Schleife gemessene el. Spannung:
1
!
U th =
"
#T
Edx = " K B
dx +
#x
0
2
#T
" K A #x dx +
1
0
#T
" K B #x dx = (K A $ K B )(T2 $ T1)
2
U th " T2 # T1
!
!
Anwendung - Element zur Messung von Temperaturen
8.4 Thermoelektrische Effekte
Anwendung des Seebeck-Effekts: Thermoelement
!U th
~ einige 10 µV/K
!T
Typ
Metall A
Metall B
E
Chromel
Constantan
J
Eisen
Constantan
K
Chromel
Alumel
R
Platin
Platin
13% Rhodium
S
Platin
Platin
10% Rhodium
T
Kupfer
Constantan
8.4 Thermoelektrische Effekte
Peltier-Effekt:
Inverser Effekt: wir legen eine Batterie an die
Leiterschleife, die Temperatur sei längs der
Leiterschleife konstant:
!
# "T &
% (=0
$ "x '
r
jW = L21 E x
r
j el. = L11 E x
jW =
L21
11
L
j el. " # $ j el. , Π - Peltier-Koeffizient
Elektrische Stromdichte wird von einer Wärmestrom begleitet:
!
!
in
A
A : j!
W = " A # j el.
in
B : jWB = " B # j el.
an der (1) : (" A # " B ) $ j el.
an der (2) : (" A # " B ) $ j el.
jel. ist überall gleich und " A sei > " B :
die Lötstelle 1 wird wärmer
!
die Lötstelle 2 wird kälter
8.4 Thermoelektrische Effekte
Anwendung des Peltier-Effekts: regelbare Kühlelemente