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Vo rle su ng su nte rla ge n Geprüfter Industriemeister Metall 2000 Geprüfte Industriemeisterin Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten I Dozent: Josef Weinzierl Dipl.-Ing. (FH), Dipl.-Wirtsch.-Ing. (Univ.) Im Auftrag der: © Josef Weinzierl Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 1 © Josef Weinzierl Inhalt 1. Bewegungsvorgänge bei mechanischen Bauteilen Slide 1.1 1.1 Beschreibung Beschreibung von von Bewegungsvorgängen Bewegungsvorgängen und und -zuständen -zuständen 33 1.2 1.2 Grundlagen Grundlagen der der Kinematik Kinematik 77 1.3 1.3 Grundlagen Grundlagen der der Kinetik Kinetik 14 14 1.4 1.4 Grundlagen Grundlagen der der Festigkeitslehre Festigkeitslehre 22 22 1.5 1.5 Die Die mechanische mechanische Arbeit Arbeit 33 33 1.6 1.6 Die Die Energie Energie und und ihre ihre Formen Formen 35 35 1.7 1.7 Die Die mechanische mechanische Leistung Leistung 38 38 1.8 1.8 Der Der Wirkungsgrad Wirkungsgrad 39 39 Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 2 © Josef Weinzierl Zeitliche Kriterien - Kriterien des Bewegungszustandes • BwegsZustand Der Bewegungszustand • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre • Arbeit Gleichförmige Bewegung • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Ungleichförmige Bewegung Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 3 © Josef Weinzierl Räumliche Kriterien - Kriterien zur Form der Bewegung • BwegsZustand Die Bewegungsform • Kinematik • Kinetik Geradlinige Bewegung • Festigk.-Lehre • Arbeit • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Krummlinige Bewegung Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 4 © Josef Weinzierl Freiheitsgrade zur Beschreibung von Bewegungen • BwegsZustand • Kinematik Freiheitsgrade dienen zum Beschreiben von Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers im Raum z • Kinetik • Festigk.-Lehre R3 R1 • Arbeit • Energie x T2 • Leistung • Wirkungsgrad T1 R2 T3 y Ein Körper besitzt (maximal) 6 Freiheitsgrade im Raum! Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 5 © Josef Weinzierl Eingeschränkte Bewegungsfreiheit • BwegsZustand • Kinematik Konstruktiv eingeschränkte Bewegungsmöglichkeiten sind in der Technik-Welt sehr gebräuchlich • Kinetik Linearführungen • Festigk.-Lehre (nur translatorische Bewegung) • Arbeit • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Zahnräder (nur rotatorische Bewegung) Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 6 © Josef Weinzierl Kinematik - Definition • BwegsZustand • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre • Arbeit • Energie Kinematik ist die Lehre von den geometrischen Bewegungsverhältnissen fester Körper und • Leistung • Wirkungsgrad Mechanismen. Die für die Bewegung ursächlichen Kräfte bleiben unberücksichtigt. Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 7 © Josef Weinzierl Gleichmäßige Bewegung • BwegsZustand Geradlinig gleichmäßige Bewegung • Kinematik Ein Körper bewegt sich in gleichen Zeitintervallen über gleiche Wegstrecken • Kinetik • Festigk.-Lehre v= • Arbeit • Energie ∆s m = konst. ∆t s s = v ⋅t • Leistung • Wirkungsgrad s v ∆s.. ∆s2 ∆s1 ∆t1 ∆t2 v = konst. ∆t.. ∆ s1 ∆s2 ∆ s.. = = = konst. ∆t1 ∆t 2 ∆t.. t t Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm Weg-Zeit-Diagramm Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 8 © Josef Weinzierl Gleichmäßige Bewegung • BwegsZustand • Kinematik • Kinetik Kreisförmige gleichmäßige Bewegung v= ∆s gilt für alle Bewegungen mit v = konst., auch für Kreisbewegungen ∆t • Festigk.-Lehre Bei einer Umdrehung: • Arbeit • Energie s = d ⋅π = U • Leistung • Wirkungsgrad Bei N Umdrehungen: Drehfrequenz: n = s = d ⋅π ⋅ N N t [min1 ] Umfgangsgeschwindigkeit: Umfgangsgeschwindigkeit: v= d: r: N: n: Kreisbahndurchmesser Kreisbahnradius Anzahl der Umdrehungen Drehfrequenz Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Winkelgeschwindigkeit: ω = d ⋅π ⋅ N = d ⋅π ⋅ n t 2 ⋅ r ⋅π ⋅ n = 2 ⋅π ⋅ n r Slide 9 © Josef Weinzierl Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ... • BwegsZustand ... aus der Ruhe ∆v m = konst. Beschleunigung: a = 2 ∆t s • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre • Arbeit • Energie v = a ⋅t v0 = 0 v1 = a ⋅ t1 a 2 s = ⋅t 2 • Leistung • Wirkungsgrad s v ∆v.. ∆v2 ∆v1 ∆t2 ∆t1 s-t-Diagramm Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten t v-t-Diagramm ∆t.. ∆v1 ∆v2 ∆v.. = = = konst. ∆t1 ∆t 2 ∆t.. t Slide 10 © Josef Weinzierl Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ... • BwegsZustand ... das Fallen eines Körpers • Kinematik Fallversuch von Galileo Galilei • Kinetik • Festigk.-Lehre Bleikugel Feder t0=0 • Arbeit ... im Vakuum • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Galileo Galilei Italienischer Mathematiker und Astronom (∗1564 U1642) Vakuum Welcher der beiden Körper trifft zuerst am Boden auf? Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 11 © Josef Weinzierl Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ... • BwegsZustand ... das Fallen eines Körpers • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre t0=0 • Arbeit • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Vakuum t1 v = g ⋅t Die beiden Körper treffen zeitgleich am Boden auf! Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten h= g 2 v⋅t ⋅t = 2 2 Slide 12 © Josef Weinzierl Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ... • BwegsZustand ... mit Anfangsgeschwindigkeit va (v0) • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre v v • Arbeit • Energie s2 = ve • Leistung • Wirkungsgrad a 2 ⋅t 2 s = s1 + s2 va s1 = va ⋅ t t t ve = va + a ⋅ t a s = va ⋅ t + ⋅ t 2 2 (va = v0) Der zurückgelegte Weg entspricht der Fläche unter dem v-t-Diagramm! Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 13 © Josef Weinzierl Kinetik - Definition • BwegsZustand • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre • Arbeit • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Kinetik ist die Lehre von den Bewegungen der Körper oder Körpersysteme unter dem Einfluss der auf den Körper oder das Körpersystem einwirkenden Kräfte. Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 14 © Josef Weinzierl Die Newton ‘schen ‘schen Axiome • BwegsZustand 1. Newton‘sches Axiom • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre • Arbeit Der Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen • Energie Bewegung wird von einem Körper solange • Leistung • Wirkungsgrad beibehalten, wie keine Kraft auf ihn einwirkt! (Trägheitsgesetz oder Beharrungsgesetz) Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 15 © Josef Weinzierl Die Newton ‘schen ‘schen Axiome • BwegsZustand 2. Newton‘sches Axiom • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre • Arbeit Wird einer Masse m die Beschleunigung • Energie a zuteil, dann ist hierzu eine Kraft F • Leistung erforderlich, die gleich dem Produkt aus • Wirkungsgrad der Masse m und der Beschleunigung a ist. (Massen-Trägheits-Satz) F = m⋅a (Massenträgheitskraft) [F ] = 1N = 1kg m2 s Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 16 © Josef Weinzierl Die Newton ‘schen ‘schen Axiome • BwegsZustand 3. Newton‘sches Axiom • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre • Arbeit Wirkt von einem Körper eine Kraft auf einen • Energie zweiten Körper, dann wirkt gleichzeitig eine gleich • Leistung große Kraft vom zweiten auf den ersten zurück. • Wirkungsgrad (Wechselwirkungsgesetz „actio = reactio“) Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 17 © Josef Weinzierl Reibung - Grundsätzliches FN • BwegsZustand • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre • Arbeit F FR • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Äussere Reibung: Innere Reibung: Zwischen den Aussenflächen von Festkörpern Fluidreibung, zwischen Fluidteilchen (ð Mechanik der Flüssigkeiten und Gase) Reibungskräfte wirken immer der Verschiebungsrichtung entgegen! Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 18 © Josef Weinzierl Äussere Reibung • BwegsZustand • Kinematik FH • Kinetik • Festigk.-Lehre α • Arbeit FN • Energie FH: Hangabtriebskraft FN: Normalkraft • Leistung µ: Reibungszahl (Abhängig von den Werkstoffkombinationen in der Reibfläche) • Wirkungsgrad Haftreibung (FR0): Kraft die aufzuwenden ist, um einen Körper in Bewegung zu setzen. FR 0 = µ0 ⋅ FN Gleitreibung (FR): Kraft die aufzuwenden ist, um einen Körper in Bewegung zu halten FR = µ ⋅ FN Haft- und Gleitreibung sind von der Größe der Reibflächen nahezu unabhängig! Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 19 © Josef Weinzierl Innere Reibung • BwegsZustand Strömungswiderstand • Kinematik Innere Reibung in Flüssigkeiten und Gasen wird auch als Strömungswiderstand FW bezeichnet. • Kinetik • Festigk.-Lehre • Arbeit ρ 2 FW = cW ⋅ A ⋅ ⋅ v 2 • Energie • Leistung ð FW ~ v² • Wirkungsgrad Strömungsleistung mit P = F ⋅v PW = cW ⋅ A ⋅ gilt ρ 3 ⋅v 2 ð PW ~ v³ Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Merke: Die Strömungsleistung wächst mit der dritten Potenz der (Fahr-) Geschwindigkeit! Slide 20 © Josef Weinzierl Moment • BwegsZustand • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre r • Arbeit • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Die Stärke der Drehwirkung ist abhängig von der Kraft F und dem senkrechten Abstand r ihrer Wirkungslinie zum Drehmittelpunkt. F M = F ⋅r Moment ist Kraft mal senkrechten Hebelarm zum Drehungsmittelpunkt! Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 21 © Josef Weinzierl Festigkeitslehre • BwegsZustand • Kinematik • Kinetik Die Festigkeitslehre ist neben der Statik, der Kinetik und der Kinematik ebenfalls ein Teilgebiet der Technischen Mechanik. Sie behandelt das Verhalten verformbarer fester Körper unter dem Einfluß von äusseren Kräften. Kräften • Festigk.-Lehre Festigk.-Lehre • Arbeit • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Aufgabe der Festigkeitslehre ist es Berechnungsverfahren zu entwickeln, mit Hilfe derer die Kraftwirkungen im Innern von Körpern, und die dadurch hervorgerufenen Formänderungen der Körper berechnet werden können. Weiter müssen Regeln zur Beurteilung des Versagens und - wichtiger noch - zur Vermeidung des Versagens von Bauteilen aus verschiedenen Werkstoffen angegeben werden. Gegenstand der Betrachtung werden hier Beanspruchungen auf Ü Zug Ü Druck Ü Abscherung sowie Ü Flächenpressung sein. Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 22 © Josef Weinzierl Spannung & Dehnung • BwegsZustand A • Kinematik Spannung = F • Kinetik l0 Kraft Querschnittsfläche • Festigk.-Lehre Festigk.-Lehre • Arbeit • Energie A • Leistung F • Wirkungsgrad Verlängerung Ausgangslänge ∆l Normalspannung: σ= F A [σ ] = Dehnung: ε= ∆l l0 [ε ] = mm = 1 Elastizitätsmodul: Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Dehnung = N mm 2 mm σ E= ε [E ] = N mm 2 1 = N mm 2 Slide 23 © Josef Weinzierl Spannung (Zugspannung) • BwegsZustand Kompakte Körper (z.B. Stab) • Kinematik A • Kinetik F • Festigk.-Lehre Festigk.-Lehre ∆l l0 • Arbeit • Energie Im elastischen Bereich des Materials: σ < Re bzw. • Leistung σ < Rp0,2 • Wirkungsgrad ... gilt das Hook‘ Hook‘sche Gesetz: σ E = = konst. ε ∆l σ = E ⋅ε = E ⋅ l0 Elastische Verlängerung: l0 ∆l = σ ⋅ E Nur gültig im Hook‘schen Bereich! Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 24 © Josef Weinzierl Dimensionierung von Bauteilen • BwegsZustand Grundregel • Kinematik • Kinetik Belastung < zul. zul. Belastung • Festigk.-Lehre Festigk.-Lehre • Arbeit • Energie rechnerisch ermittelt Bauteil-Dimensionierung: • Leistung Belastung = • Wirkungsgrad Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten aus Tabellenbuch o.ä. zul .Belastung ν Normalspannung: σ= Schubspannung: τ= Flächenpressung: p= σ zul ≤ σ zul ν τ zul ≤ τ zul ν p zul ≤ p zul ν ν: Sicherheitsfaktor (griechisch: Ny) Slide 25 © Josef Weinzierl Spannung (Druckspannung) • BwegsZustand Kompakte Körper (z.B. Stab) .... bei Wärmeausdehnung • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre Festigk.-Lehre A F • Arbeit • Energie • Leistung • Wirkungsgrad setzt man: l0 ⋅α ⋅ ∆T = σ ⋅ l0 = ∆l E ð Verlängerung bzw. Verkürzung durch Wärmeausdehnung Wärmespannung: Zug- bzw. Druckkraft im Bauteil: Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten σ = E ⋅ α ⋅ ∆T F = E ⋅ α ⋅ ∆T ⋅ A E: Elastizitätsmodul α: Längenausdehnungskoeffizient T: Kelvintemperatur A: Querschnittsfläche [N/mm²] [1/K] [K] [mm²] Slide 26 © Josef Weinzierl Abscherung • BwegsZustand Schubspannung aus Querkräften • Kinematik Scherflächen des Bolzen • Kinetik • Festigk.-Lehre Festigk.-Lehre F F • Arbeit • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Schubspannung: τ (griechisch: Tau) Schubspannung: Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten τ= F A [τ] = [σ] = N/mm² F: Quer-Kraf (Q) [N] A: Scherfläche [mm²] τ: Schub-Spannung [N/mm²] Slide 27 © Josef Weinzierl Torsion • BwegsZustand • Kinematik • Kinetik Schubspannung aus Drehmoment Ein Drehmoment M ruft im Querschnitt Schubspannungen hervor, die Drehspannung oder Torsion genannt werden. • Festigk.-Lehre Festigk.-Lehre • Arbeit • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Schubspannung: Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten τt = Mt Wp τt: Torsionsspannung Mt: Torsionsmoment Wp: polares Widerstandsmoment [N/mm²] [Nmm] [mm³] Slide 28 © Josef Weinzierl Torsion • BwegsZustand Leistung „P“ & Drehmoment „M“ bei kreisförmiger Bewegung • Kinematik • Kinetik FU • Festigk.-Lehre Festigk.-Lehre • Arbeit M;n • Energie • Leistung • Wirkungsgrad d M= P ω [M ] = Nm Drehmoment: M = FU ⋅ r Winkelgeschwindigkeit: Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten ω = 2 ⋅π ⋅ n [ω ] = 1 sec M: P: ω: n: FU: r: Drehmoment Antriebsleistung Winkelgeschwindigkeit Drehzahl Umfangskraft Wirkradius [Nm] [W] [1/s] [1/s] [N] [m] Slide 29 © Josef Weinzierl Flächenpressung ((Lochleibung) Lochleibung) Lochleibung) • BwegsZustand FN • Kinematik FN Kontaktfläche • Kinetik • Festigk.-Lehre Festigk.-Lehre • Arbeit Flächenpressung: • Energie • Leistung l b A = b( p ) ⋅ l • Wirkungsgrad FN p= FN [p] = [τ] = N/mm² projezierte Kontaktfläche Gleitlager bp Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Kontaktfläche l FN A p: FN: l: b: bp: A: Flächenpressung Normalkraft Länge d. Auflagefläche Breite d. Auflagefläche projezierte Breite d. A. Auflagefläche [N/mm²] [N] [mm] [mm] [mm] [mm²] Slide 30 © Josef Weinzierl Verformende Wirkung der Kraft Verformung • BwegsZustand • Kinematik • Kinetik Art elastisch plastisch Nach der Entlastung stellt sich wieder die ursprüngliche Form des Bauteils ein Nach der Entlastung ist eine bleibende Verformung eingetreten • Festigk.-Lehre Festigk.-Lehre • Arbeit Wirkung • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Beispiele Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 31 © Josef Weinzierl Elastische Verformung • BwegsZustand Federn • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre Festigk.-Lehre • Arbeit F1 F2 = = ....... = s1 s2 s 1, F 1 • Energie • Leistung s 2, F 2 • Wirkungsgrad = ∆F = c = konst . ∆s F = c⋅s Bei elastischen Verformungen gilt das Hook‘sche Gesetz! Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 32 © Josef Weinzierl Mechanische Arbeit • BwegsZustand • Kinematik Arbeit im physikalischen Sinn wird dann verrichtet, wenn eine Kraft längs eines Wegs wirkt! • Kinetik F • Festigk.-Lehre s • Arbeit • Energie W = F ⋅s [W ] = Nm = 1J • Leistung • Wirkungsgrad Wirken einer Schrägkraft F α Fy W = Fx ⋅ s Fx s Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten W = F ⋅ cos α ⋅ s Fx: Wirkkomponente Fy: „arbeitslose“ Komponente Slide 33 © Josef Weinzierl Mechanische Arbeit ... • BwegsZustand .... an einer schiefen Ebene • Kinematik • Kinetik Arbeit längs der schiefen Ebene: • Festigk.-Lehre W = FH ⋅ s • Arbeit W = FG ⋅ sin α ⋅ s • Energie s • Leistung FH • Wirkungsgrad h Hubarbeit: W = FG ⋅ h α α FG FH h = FG s FN Goldene Regel der Mechanik: Was an Kraft eingespart wird, muss im Verhältnis mehr an Weg zurückgelegt werden! Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 34 © Josef Weinzierl Energie • BwegsZustand • Kinematik • Kinetik 5 kg In der gehobenen Masse (5 kg) steckt Arbeitsvermögen. Wird sie losgelassen, ist sie in der Lage an der anderen Masse (Hub-) Arbeit zu verrichten. • Festigk.-Lehre Energie ist gespeicherte Arbeit (Arbeitsvermögen) • Arbeit • Energie • Leistung 1 kg • Wirkungsgrad Energie: „E“ [E] = [W] = 1J = 1Nm Die Masse 5kg ist aufgrund ihrer HöhenLage und des daraus resultierenden EnergiePotentials in der Lage Arbeit zu verrichten. Man nennt diese Energieform daher Lage-Energie oder Potentielle Energie. Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 35 © Josef Weinzierl Energiearten • BwegsZustand • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre • Arbeit • Energie h • Leistung • Wirkungsgrad s Potentielle Energie Epot E pot = m ⋅ g ⋅ h c: Federkonstante s: Federweg Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Kinetische Energie Ekin Ekin m ⋅ v2 = m⋅ a⋅ s = 2 1 2 Spann-Energie Epot,Spann E pot , Spann c ⋅ s2 = 2 3 Slide 36 © Josef Weinzierl Energiearten • BwegsZustand • Kinematik • Kinetik E = Epot • Festigk.-Lehre E pot = m ⋅ g ⋅ h • Arbeit • Energie • Leistung • Wirkungsgrad E = Epot(â) + Ekin(á) Da beim Fallen eines Körpers potentielle Energie in kinetische umgewandelt wird gilt: m ⋅ v2 m⋅ g ⋅h = 2 v(t) daraus ergibt sich: E = Ekin Ekin = Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten m⋅v 2 Endgeschwindigkeit beim freien Fall: 2 v = 2⋅ g ⋅h Slide 37 © Josef Weinzierl Mechanische Leistung • BwegsZustand Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit! • Kinematik • Kinetik • Festigk.-Lehre Leistung • Arbeit W F ⋅s P= = F ⋅v = t t [P ] = 1 J s =1 Nm = 1W s (W: Watt *) • Energie • Leistung • Wirkungsgrad Die mechanische Leistung lässt sich auch aus Drehmoment M und Winkelgeschwindigkeit ω berechnen: Leistung P = M ⋅ω = F ⋅ r ⋅ ω P = F ⋅ r ⋅ 2π ⋅ n [*) 1 kW ≈ 1,36 PS] Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 38 © Josef Weinzierl Wirkungsgrad • BwegsZustand • Kinematik Qzu Nutzung EnergieNiveau Qab = QNutz • Kinetik • Festigk.-Lehre Qzu = Qab + QVerlust • Arbeit • Energie • Leistung • Wirkungsgrad QVerlust Wirkungsgrad Q ab W ab η= = Qzu Wzu [η] = 1 oder % Bei allen Bewegungsvorgängen entstehen Energieverluste aufgrund von Reibung. Diese Energie wird in Wärmeenergie umgewandelt. Naturwissenschaftliche und technische Gesetzmäßigkeiten Slide 39 © Josef Weinzierl