Das Standardmodell - Server der Fachgruppe Physik der RWTH

Seminar WS 06/07
Hadron-Kollider-Experimente bei sehr hohen Energien
Das Standardmodell
von Eva Popenda
Seite 1
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Was ist ein Standardmodell
2
2 Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
2.1 Teilchen und Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Eichtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Elektromagnetische Wechselwirkung - QED . . . . . .
2.3.1 QED als Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Experiment: Elektron-Positron-Streuung . . . .
2.3.3 Laufende Kopplungskonstante der QED . . . .
2.4 Starke Wechselwirkung - QCD . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Experiment: R-Verhältnis . . . . . . . . . . . .
2.4.2 QCD als Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Laufende Kopplungskonstante der QCD . . . .
2.4.4 Experiment: Direkte Beobachtung der Gluonen
2.5 Elektroschwache Wechselwirkung - QFD . . . . . . . .
2.5.1 QFD als Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Experiment: Neutrale schwache Ströme . . . .
2.5.3 Experiment: Elektron-Positron-Streuung . . . .
2.5.4 Experiment: Z 0 -Resonanz . . . . . . . . . . . .
2.6 Lagrangedichte des Standardmodells . . . . . . . . . .
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6
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11
12
13
14
3 Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik nicht?
3.1 GUT - Grand unified theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
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4 Zusammenfassung
16
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Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
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Was ist ein Standardmodell
Als Standardmodell versteht man die Zusammenfassung der in einem bestimmten Gebiet als gesichert
geltenden Theorien und Fakten.
Insbesondere sollte dieses Standardmodell dann einerseits alle experimentellen Beobachtungen erklären
können und andererseits sollten die Vorhersagen des Standardmodells experimentell überprüft werden
können.
Inwiefern diese Zusammenfassung und experimentelle Überprüfung in der Teilchenphysik gelungen ist,
soll im Folgenden genauer beleuchtet werden.
2
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
Heutzutage glaubt man, dass sich sämtliche fundamentalen Wechselwirkungen auf so genannte “lokale
Eichsymmetrien” zurückführen lassen. Das theoretische Konzept, das hinter der Theorie zum Standardmodel steckt, ist also das Prinzip der “lokalen Eichinvarianz”. Die Forderung dieser lokalen Eichinvarianz
führt im Endeffekt darauf, dass Wechselwirkungen in der Natur zwischen Fermionen, also Teilchen mit
Spin ½, durch Austausch von Eichbosonen, also Teilchen mit Spin 1, stattfinden.
Also unterscheidet man die heute bekannten Teilchen in Materieteilchen, auch Fermionen genannt (Spin
½), und Austauschteilchen, Bosonen (Spin 1).
Es sind vier fundamentale Wechselwirkungen bekannt, die auf der elektromagnetischen, schwachen, starken und Gravitationskraft beruhen. Während es bereits gelungen ist, die elektromagnetische und schwache
Wechselwirkung zur Elektroschwachen zu vereinigen, ist die Gravitation noch nicht im Standardmodell
enthalten.
2.1
2.1.1
Teilchen und Wechselwirkungen
Teilchen
Die Materieteilchen, Fermionen, unterteilt man in Leptonen und Quarks und ordnet diese in 3 Generationen zu je 4 Teilchen an. Innerhalb der Leptonen befinden sich die Neutrinos mit Ladung Null sowie
das Elektron, das Muon und das Tauon mit Ladung -1. Sie alle unterscheiden sich in der Masse, wobei
diese von Generation zu Generation zunimmt. Neutrinos nehmen nur an der schwachen Wechselwirkung
teil, wogegen die geladenen Leptonen sowohl schwach als auch elektromagnetisch wechselwirken.
Quarks zeichnen sich dadurch aus, dass sie zusätzlich noch stark wechselwirken können. Sie tragen die
Ladung 2/3 oder -1/3 und auch ihre Masse nimmt von Generation zu Generation zu. Besonders zu erwähnen ist, dass das top-Quark mit einer Masse von 173 GeV das mit Abstand schwerste Quark ist.
Die Wechselwirkung zwischen diesen Fermionen beruht, wie bereits gesagt, auf dem Austausch von Bosonen:
Das Austauschteilchen der elektromagnetischen Wechselwirkung ist das masselose, elektrisch neutrale
Photon. Die starke Wechselwirkung wird durch acht ebenfalls masselose, elektrisch neutrale Gluonen vermittelt, während die schwache Wechselwirkung durch die drei Bosonen W − , W + , Z 0 übertragen wird.
Wie es die Namen vermuten lassen, ist das W − einfach negativ, das W + einfach positiv geladen und
das Z 0 neutral. Im Gegensatz zu den anderen Eichbosonen tragen die Austauschteilchen der schwachen
Wechselwirkung Masse, was sich auch auf die Eigenschaften der Wechselwirkungen auswirkt.
2.1.2
Wechselwirkungen
Vergleicht man die Reichweite der vier fundamentalen Wechselwirkungen so sieht man ein unterschiedliches Verhalten, entsprechend den Eigenschaften der Austauschteilchen. Das masselose Photon bedingt die
unendliche Reichweite der elektromagnetischen Wechselwirkung. Im Gegensatz hierzu steht die sehr kurze
Reichweite der schwachen Wechselwirkung von 10−18 m, die mit dem Austausch der massiven W ± und
Z-Bosonen korrespondiert. Die starke Wechselwirkung hat zwar auch masselose Austauschteilchen aber
eine Eigenschaft, die sich “confinement” nennt und noch erläutert werden wird, führt zu einer endlichen
2
2
Seite 3
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
Reichweite von 10−15 m. Die Stärke der elektromagnetischen Wechselwirkung wird durch die Kopplungskonstante α beschrieben, die bei niedrigen Energien durch 1/137 also etwa 10−2 gegeben ist.
Die schwache Wechselwirkung hat (ebenfalls bei niedrigen Energien) eine Stärke gegeben durch die Fermikonstante GF = 1 · 10−5 GeV −1 . Der Name der starken Wechselwirkung rührt von der vergleichsweise
starken Kopplung basierend auf der Kopplungskonstante αs , die bei kleinen Energien den Wert 1 annimmt
und bei hohen Energien sogar verschwindet. Das heißt, dass sich Quarks wie freie Teilchen verhalten,
wenn man sie bei sehr hohen Energien (entspricht kurzen Distanzen) beobachtet. Auf dieses Phänomen
der “asymptotischen Freiheit” soll später auch noch eingegangen werden.
Gegen diese drei Wechselwirkungen ist die Gravitation mit ihrer relativen Stärke von 10−39 sehr schwach,
so dass sie bei den heute zugänglichen Energien vernachlässigt werden kann.
2.2
Eichtheorien
Aus theoretischer Sicht ist das Standardmodell eine Quantenfeldtheorie, die auf lokaler Eichinvarianz
basiert.
In der Quantenfeldtheorie werden Fermionen durch 4-komponentige komplexe Spinoren Ψ beschrieben,
die von der Raumzeit-Koordinate x abhängen. Eine lokale, das heißt von x abhängige, Eichtransformation
U (x) führt zur unitären Transformation der Felder:
Ψ(x) → Ψ0 (x) = U (x)Ψ(x)
U + = U −1
Die Eichtransformationen bilden eine Lie-Gruppe und können folgendermaßen dargestellt werden:


n
X
χj (x) · Hj 
U (x) = exp i
j=1
Dabei ist n die Dimension der Gruppe und die χj (x) sind vom Raumzeitpunkt abhängige, reelle Eichparameter. Die Hj sind die n hermiteschen Generatoren der Gruppe und erfüllen die so genannte Lie-Algebra,
die sich auch über die reellen Strukturkonstanten fjkl ausdrücken lässt:
[Hj , Hk ] = Hj Hk − Hk Hj = i
n
X
fjkl · Hl
l=1
Von besonderer Bedeutung ist, dass diese Strukturkonstanten im Falle einer abelschen Gruppe, das heißt
für kommutierendeTransformationen, verschwinden.
Die Eichinvarianz verlangt nun, dass die Bewegungsgleichungen für die transformierten Felder die gleiche
Form haben, wie die Ursprünglichen.
Da die Bewegungsgleichungen aber neben den Feldern auch immer ihre Ableitungen enthalten, führt
die Transformation aufgrund der x-Abhängigkeit der reellen Eichparameter zu Zusatztermen, die die
Invarianz brechen. Um die Invarianz wieder herzustellen, muss für jeden der n Eichparameter ein Vektorfelder Ajµ (x) mit Spin 1 eingeführt werden. Unter Verwendung dieser Vektorfelder kann die Invarianz
der Bewegungsgleichungen gewährleistet werden, indem die Ableitungen ∂µ zu so genannten kovarianten
Ableitungen Dµ erweitert werden:
n
X
Dµ = ∂µ + ig
Hj Ajµ (x)
j=1
In dieser kovarianten Ableitung stecken die Vektorfelder Aµ , die Eichfelder genannt werden. Der Parameter g ist ein freier Parameter der Theorie, der die Kopplungsstärke zwischen den Fermionen und
Eichfeldern, die als die benötigten Austauschteilchen interpretiert werden können, angibt und nur experimentell bestimmt werden kann.
Die Eichfelder transformieren sich bei Eichtrafos selbst entsprechend
n
n
XX
0
1
fjkl χk (x)Alµ (x)
Ajµ (x) → Ajµ (x) = Ajµ (x) − ∂µ χj (x) −
g
k=1 l=1
3
2
Seite 4
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
Eine weitere wichtige Größe sind die zu den Eichfeldern gehörigen Feldstärketensoren, die in der Lagrangedichte der Wechselwirkungen jeweils eine wichtige Rolle spielen:
j
Fµν
(x) = ∂µ Ajν (x) − ∂ν Ajµ (x) − g
n X
n
X
fjkl Akµ (x)Alν (x)
k=1 l=1
Von besonderer Bedeutung ist hier der letzte Term, der durch das Auftreten von zwei Eichfeldern für die
Selbstwechselwirkung der Austauschteilchen verantwortlich ist. Da im Falle von abelschen Gruppen die
Strukturkonstanten fjkl verschwinden, gibt es für Theorien, die auf abelschen Gruppen basieren, keine
Austauschteilchen-Selbstwechselwirkung.
2.3
Elektromagnetische Wechselwirkung - QED
Ein Paradebeispiel für solch eine, aber vergleichsweise einfache Eichtheorie, ist die QED, die Quantentheorie der elektromagnetischen Wechselwirkung.
2.3.1
QED als Eichtheorie
Startet man mit einem freien Diracfeld Ψ mit Spin ½ und Ladung Qe, so lautet die zugehörige Lagrangedichte
L = Ψ(x) (iγ µ ∂µ − m) Ψ(x)
Die QED weist eine U(1)-Symmetrie auf, das bedeutet eine Invarianz unter eindimensionalen, unitären
Transformationen. Eine solche Transformation hat die Form
U (x) = exp (ieχ(x)Q)
Der Generator der QED ist die elektrische Ladung und dadurch ist die Eichtransformation eine einfache
Phasentransformation:
Ψ → exp (ieχ(x)Q) Ψ
Die Lagrangedichte ist jetzt nur invariant gegen diese Trafo, wenn man ein zusätzliches Eichfeld Aµ
einführt, welches selbst unter U(1) transformiert und den Term durch die Ableitung von χk (x) kompensiert. Der einfachste Weg, um die eichinvariante Lagrangedichte zu konstruieren, ist das Einführen der
kovarianten Ableitung:
∂µ → Dµ = ∂µ − ieQAµ
Hier kann das Eichfeld nun mit den Austauschteilchen der elektromagnetischen Wechselwirkung, den
Photonen identifiziert werden.
Da die U(1) eine abelsche Gruppe ist, verschwinden in der QED die Strukturkonstanten und der Feldstärketensor lautet:
j
Fµν
(x) = ∂µ Ajν − ∂ν Ajµ
Insbesondere tritt also keine Photonselbstwechselwirkung auf.
Die neue, eichinvariante Lagrangedichte sieht jetzt folgendermaßen aus
1
LQED = Ψ(x) (iγ µ Dµ − m) Ψ(x) − Fµν (x)F µν (x)
4
Der erste Term spiegelt als Folge der geforderten Eichsymmetrie die Kopplung der Fermionen an das
Photon wider. Zusätzlich ist noch der kinetische Photonterm Fµν (x)F µν (x) enthalten, der seinerseits
eichinvariant ist.
Es fällt auf, dass in der Lagrangedichte kein Massenterm der Form m2 Aµ Aµ auftaucht, da sonst die
Invarianz verletzt wäre. Da aber da das Photon masselos ist, führt das Fehlen des Massenterms hier noch
zu keinem Problem.
4
2
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
2.3.2
Seite 5
Experiment: Elektron-Positron-Streuung
Als ein Beispiel für die experimentelle Bestätigung der QED sei hier die Elektron-Positron-Streuung
gegeben.
e+ e− → µ+ µ−
Rechnet man mit der Theorie den Wirkungsquerschnitt für diese Reaktion aus, so erhält man
4πα2
σ e+ e− → µ+ µ− =
3s
wobei für s
2
s = 4Ebeam
gilt. Bei einer Messung des Wirkungsqueschnitts erwartet man also eine 1/s-Abhängigkeit. Diese ist bei
Experimenten am DESY eindeutig nachgewiesen worden:
Abbildung 1: gemessener e+ e− -Wirkungsquerschnitt, DESY
2.3.3
Laufende Kopplungskonstante der QED
Betrachtet man in der QED höhere Ordnungen, so treten Schleifendiagramme auf, die auf divergente
Amplituden führen. Durch eine Umdefinition, auch Renormierung genannt, von elektrischer Ladung und
Masse können endliche Vorhersagen in allen Ordnungen gemacht werden.
Allerdings ist eine direkte Konsequenz dieser Umdefinition, dass die Kopplungskonstante läuft, das heißt
energieabhängig ist.
α µ2
2
2
α Q =
2)
Q
1 − α(µ
log
3π
µ2
Anschaulich kann man sich das Phänomen der Vakuumpolarisation als Ladungsabschirmung
vorstellen. Je näher man kommt, umso mehr Punktladung sieht man. Da kleine
Distanzen mit
großem Q einhergehen, bedeutet das, dass die Kopplungskonstante α Q2 mit Q2 wächst:
5
2
Seite 6
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
Abbildung 2: Messung der Energieabhängigkeit der Kopplungskonstanten der QED
2.4
2.4.1
Starke Wechselwirkung - QCD
Experiment: R-Verhältnis
Bevor die QCD als Eichtheorie formuliert wird, soll auf ein Experiment hingewiesen werden, das deutlich
macht, warum es in der QCD einen zusätzlichen Freiheitsgrad gibt und warum hier keine U(1)-Symmetrie
vorliegt.
Betrachtet man wieder die Elektron-Positron-Streuung, so ist es wichtig zu erkennen, dass nicht nur
µ+ µ− , sondern auch e+ e− , τ + τ − und auch q q̄ entstehen können, wobei die Quarkpaare zu Hadronen
fragmentieren. Für das Verhältnis
R≡
σ (e+ e− → Hadronen)
σ (e+ e− → µ+ µ− )
würde man aufgrund dessen, dass die Kopplung über die Ladung stattfindet, erwarten, dass nur die
Summe über das Quadrat der Quarkladungen (denn e2µ = 1) beiträgt. Allerdings taucht ein zusätzlicher
Faktor NC auf, der experimentell bestimmt werden kann.
X
R ≡ NC
e2q
q
Ohne diesen Faktor würde man
" 2 2 #
2
2
1
1
+
+
3
3
3
"
2 #
2
2
+
3
3
"
2 #
10
1
+
9
3
=
2
3
für u,d,s
=
10
9
für u,d,s,c
=
11
9
für u,d,s,c,b
erwarten. Eine Messung des R-Verhältnisses liefert jedoch statt der erwarteten Werte von 2/3, 10/9 und
11/9 die Werte 2, 10/3 und 11/3:
6
2
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
Seite 7
Abbildung 3: Messung des R-verhältnisses in Abhängigkeit von der Schwerpunktsenergie, DESY
Also ergibt sich für den angenommenen Faktor NC = 3. Das heißt, dass jedes Quark in 3 Farben (rot,
grün, blau) vorkommen kann.
2.4.2
QCD als Eichtheorie
Die QCD basiert auf der Eichsymmetrie der starken Wechselwirkung, das heißt auf den lokalen Transformationen im Farbraum, welche die Lagrangedichte invariant lassen. Die Eichgruppe, die durch diese
Farbtransformationen erzeugt wird, ist die nicht-abelsche Lie-Gruppe SU(3). SU(3)-Eichsymmetrie bedeutet Invarianz unter unitären 3x3 Matrizen mit Determinante 1. Diese Gruppe hat 8 Generatoren, die
durch
λa
Ta =
, a = 1...8
2
gegeben sind, wobei die λa gerade die unitären 3x3 Matrizen, in der üblichen Darstellung die Gell-MannMatrizen, sind.
Die Transformationen im Farbraum haben dann folgende Form:
!
8
X
U (x) = exp i
αa Ta
α=1
Die Konstruktion der invarianten Lagrangedichte läuft dann analog zu der Vorgehensweise der QED, zusätzlich müssen jedoch die Eigenschaften der nicht-abelschen Gruppe SU(3) berücksichtigt werden. Auch
hier wird eine kovariante Ableitung eingeführt, um die Invarianz der Lagrangedichte zu gewährleisten:
Dµ = ∂µ + igs Ta Gaµ
Diese enthält mit den Gaµ , entsprechend den 8 Generatoren der Gruppe, 8 Eichfelder, die als die 8
Austauschteilchen der starken Wechselwirkung, also Gluonen, identifiziert werden können und über eine
Kopplungsstärke, gegeben durch gs , wechselwirken.
Da die SU(3) eine nicht-abelsche Gruppe ist, gilt in der QCD für die Lie-Algebra:
[Ta , Tb ] = i
8
X
fabc · Tc
l=1
Insbesondere verschwinden die Strukturkonstanten fabc nicht und der Feldstärketensor
Gaµν = ∂µ Gaν − ∂ν Gaµ + gs f abc Gµb Gνc
7
2
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Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
Abbildung 4: Selbstwechselwirkungsvertex bei der QCD (links) im Vergleich zur QED (rechts)
enthält im letzten Summanden einen bilinearen Term, der dazu führt, dass Gluon-Gluon-Selbstwechselwirkung möglich wird. Im Unterschied zu den Austauschteilchen der QED, den Photonen, sind die Gluonen
also zugleich Träger und Teil des Feldes. Insgesamt erhält man für die Lagrangedichte der QCD:
LQCD =
X
q
1
q(x) (iγ µ Dµ − mq ) q(x) − Gaµν Gµν
a
4
Wie bereits in der Lagrangedichte der QED steckt die Kopplung der Gluonen an farbgeladene Teilchen
im ersten Term, jedoch enthält hier der kinetische Term 14 Gaµν Gµν
a die Selbstwechselwirkung der Austauschteilchen. Auch hier fehlt ein Massenterm, da die Eichfelder, also die Gluonen, masselos sind.
2.4.3
Laufende Kopplungskonstante der QCD
Da die Austauschteilchen der schwachen Wechselwirkung masselos sind, würde man für das Potential der
QCD eine reine 1/r-Abhängigkeit erwarten, aber tatsächlich wird es durch
VQCD = −
4 αs
+ kr,
3 r
αs =
gs2
4π
besser beschrieben.
Das heißt bei großen Abständen wird die Kraft konstant. Versucht man zwei Quarks
zu trennen, so bildet sich zwischen ihnen ein Gluonband aus, in dem irgendwann
so viel Energie gespeichert ist, dass es zur Paarbildung neuer Quarks kommt. Man
kann ein einzelnes Quark nicht isolieren.
Auch in der QCD erhält man aus der Renormierung eine laufende Kopplungskonstante.
12π
α Q2 =
(33 − 2nf ) log
Q2
Λ2
Dabei ist nf die Anzahl der Quarktypen, die bei Q2 aufgelöst werden können. Λ (ca. 200 MeV) ist ein
freier Parameter, der die Kopplungsstärke festlegt. Denn für große Q2 ist die Kopplungskonstante klein,
die Quarks sind quasifrei, man nennt dies auch die asymptotische Freiheit. Für Q2 im Bereich von Λ ist
die Wechselwirkung zwischen Quarks und Gluonen groß. Es liegen gebundene Zustände aus Quarks und
Gluonen vor, das so genannte “confinement”.
8
2
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
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Abbildung 5: Messung der Kopplungskonstante der starken Wechselwirkung. Für kleine Energien ist diese und damit auch die Wechselwirkung zwischen Quarks und Gluonen groß. Für größere Energien fällt sie immer weiter ab
und man spricht von quasifreien Quarks.
2.4.4
Experiment: Direkte Beobachtung der Gluonen
Eine wichtige Bestätigung für die Theorie der starken Wechsekwirkung war die “direkte” Beobachtung der
Gluonen. Aufgrund des confinements können Gluonen und Quarks aber nicht als freie Teilchen nachgewiesen werden, sondern nur als kollimiertes Teilchenbündel (Jet) nachdem sie zu Hadronen fragmentiert
sind.
Untersucht man die Abstrahlung eines Gluons von einem Quark in der e+ e− -Streuung, so sieht man, dass
in führender Ordnung das Elektron und Positron zu einem q q̄-Paar annihilieren, was zu zwei Jets führt.
Strahlt eines dieser Quarks vor seiner Fragmentation ein Gluon, das einen hohen Anteil der Quarkenergie
trägt und einen großen Transversalimpuls hat, ab, so führt dessen Fragmentation zu einem dritten Jet.
Abbildung 6: Links ist das 2-Jet- und rechts das 3-Jet-Ereignis zu sehen, wobei der dritte Jet durch ein
abgestrahltes Gluon verursacht wird.
9
2
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
2.5
2.5.1
Seite 10
Elektroschwache Wechselwirkung - QFD
QFD als Eichtheorie
Zur Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung wird die Symmetriegruppe SU (2)L × U (1)Y benutzt. Die SU (2)L ist die schwache Isospingruppe, die nur auf linkshändige Fermionen wirkt. Die U (1)Y
ist die schwache Hyperladungsgruppe und nicht die U(1) der QED. Die U (1)EM -Eichgruppe des Elektromagnetismus ist eine Untergruppe der SU (2)L × U (1)Y . Die SU (2)L hat 3 Generatoren, nämlich
Ii = σi /2, wobei die σi gerade die Pauli-Matrizen sind (i=1,2,3). Die U (1)Y hat einen Generator, nämlich die schwache Hyperladung Y/2. Den Zusammenhang zwischen schwachem Isospin I und schwacher
Hyperladung Y liefert die Gell-Mann-Nishijima Relation über die elektrische Ladung Q:
Q = I3 +
Y
2
Die den Generatoren zugehörigen Eichbosonen heißen Wµi für die SU (2)L und Bµ für die U (1)Y . Da die
SU (2)L nur auf linkshändige Fermionen wirkt, transformieren diese als Dubletts, während rechtshändige
Fermionen als Singletts transformieren:
fR = eR , uR , τR , ...
νe
νµ
ντ
u
c
t
,
,
,
,
,
fL =
e L ν L τ L d L s, L b L
Diese Dublett-Struktur bedeutet nichts anderes, als dass die Teilchen eines Dubletts unter W −Austausch
ineinander übergehen:
Bei der lokalen Eichtransformation muss man nun zwischen SU (2)L und U (1)Y und links- und rechtshändigen Fermionen unterscheiden:
~
SU (2)L :
fL → exp iI~Θ(x)
fL ,
fR → fR
U (1)Y :
Y
f → exp i α(x) f
2
Die Lagrangedichte wird auf gleiche Art konstruiert wie bereits bei der QED und QCD. Auch hier wird
die kovariante Ableitung eingeführt:
~σ ~
0Y ~
Dµ fL = ∂µ − ig Wµ + ig Bµ fL
2
2
Y ~
Dµ fR = ∂µ + ig 0 B
µ fR
2
Es treten 2 Kopplungskontstanten g und g 0 auf, wobei g die Kopplungskonstante der SU (2)L und g 0 die
der U (1)Y ist. Die Eichfelder transformieren selbst, um die lokale Eichinvarianz zu gewährleisten:
Bµ → Bµ −
1
∂µ α(x)
g0
1
Wµi → Wµi − ∂µ Θi (x) + ijk Θj Wµk
g
10
2
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
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Abbildung 7: Selbstwechsekwirkungsvertices der elektroschwachen Wechselwirkung
Wie bereits in der QCD beim Gluonfeld, enthält die Transformation des W-Feldes, da die SU (2)L eine
nicht-abelsche Gruppe ist, im letzten Summanden nicht-verschwindende Strukturkonstanten und damit
eine Selbstkopplung. Somit sind in der so konstruierten Lagrangedichte die Selbstwechselwirkungsvertices
in dem kinetischen Term des W-Feldes enthalten:
X
1 i
1
LQF D =
f¯ (iγ µ Dµ ) f − Wµν
Wiµν − Bµν W µν
4
4
f =l,q
In der elektroschwachen Theorie entsprechen die eingeführten Vektorfelder nicht den physikalisch beobachtbaren Eichbosonen. Diese Eichbosonen Wµpm , Zµ , Aµ , also die Masseneigenzustände, erhält man aus
den elektroschwachen Eigenzuständen durch Rotation um den schwachen Mischungswinkel Θw , der nur
experimentell bestimmbar ist:
1
Bµ
Aµ
cos Θw
sin Θw
1
2
pm
Wµ ∓ iWµ
=
Wµ = p
·
Wµ3
Zµ
− sin Θw cos Θw
(2)
Damit das Photonfeld Aµ die gleichen Kopplungen aufweist wie in der QED, müssen die schwachen
Kopplungen g und g’ über die Relationen
e
e
und
g0 =
g=
sin Θw
cos Θw
mit der elektrischen Elementarladung in Zusammenhang stehen.
2.5.2
Experiment: Neutrale schwache Ströme
Der erste experimentelle Nachweis der Austauschteilchen der elektroschwachen Wechselwirkung gelang
1973 am CERN mit der Entdeckung des neutralen schwachen Stroms, also des Z 0 . In dem Prozess
ν̄µ + e− → ν̄µ + e−
wechselwirkt ein Myonneutrino mit einem Elektron über Z 0 -Boson-Austausch. In der Blasenkammeraufnahme kommt das Myonneutrino von links und nur das auslaufende Elektron ist sichtbar. Es wird
identifiziert durch die Krümmung seiner Bahn und die Abstrahlung eines Bremsstrahlungsphotons, welches in ein e+ e− -Paar konvertiert.
Abbildung 8: Blasenkammeraufnahme von der Entdeckung des neutralen schwachen Stroms
11
2
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
2.5.3
Seite 12
Experiment: Elektron-Positron-Streuung
Betrachtet man die Reaktion e+ e− → µ+ µ− , so beobachtet man eine Interferenz zweier möglicher Austauschprozesse. Neben dem dominanten Photonaustausch trägt die Reaktion über einen Austausch eines
Z 0 -Bosons auch wesentlich bei.
Abbildung 9: Mögliche Austauschprozesse in der Reaktion e+ e− → µ+ µ−
Der differentielle Wirkungsquerschnitt besteht also aus einem Anteil einer elektromagnetischen Reaktion,
einem Anteil der schwachen Wechselwirkung und zusätzlich Interferenzen zwischen diesen beiden. Der
Wirkungsquerschnitt, der nur auf dem elektromagnetischen Prozess basiert, hat die Form:
dσ QED
∝ 1 + cos2 Θ
dΩ
Dabei ist Θ der Emissionswinkel der Myonen. Die gemessene Winkelverteilung folgt im Wesentlichen der
1 + cos2 Θ -Struktur, ist aber ein wenig verschoben und nicht mehr symmetrisch wie im Fall der reinen
elektromagnetischen Reaktion. Diese Abweichung ist auf den Beitrag aus dem Austausch des Z 0 -Bosons
zurückzuführen. Auf den totalen Wirkungsquerschnitt wirkt sich diese Asymmetrie jedoch nicht aus, da
das Integral über beide Kurven im Rahmen der Fehler gleich ist.
Abbildung 10: Asymmetrie verursacht durch die elektroschwache Interferenz in der Reaktion e+ e− →
µ+ µ−
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2
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik
2.5.4
Seite 13
Experiment: Z 0 -Resonanz
Untersucht man die Zerfallsbreite des Z 0 in der Reaktion
e+ e− → Z 0 → X
so stellt man fest, dass der Endzustand X sowohl ein Quark-Antiquark-, Lepton- oder Neutrino-AntineutrinoPaar sein kann. Die Gesamtzerfallsbreite setzt sich also zusammen aus
ΓZ = Γ Z 0 → q q̄ + 3Γ Z 0 → l+ l− + Nν Γ Z 0 → νl ν̄l
wobei das Neutrino-Antineutrino-Paar nicht nachweisbar ist. Der Faktor 3 vor dem Zerfallskanal in geladene Leptonen kommt dadurch zustande, dass man nur 3 unterschiedliche Leptonen beobachtet. Der
Faktor Nν steht für die Anzahl möglicher Neutrinoflavours. Aus der gemessenen Gesamtbreite und den
Wirkungsquerschnitten für die sichtbaren Zerfälle kann man auf die Zahl der beitragenden Neutrinosorten
schließen. Die Messung liefert
Nν = 2.99 ± 0.01
Es gibt also 3 Neutrinoarten und damit auch 3 Fermionfamilien. Eine Einführung weiterer Familien
stellt formal kein Problem dar, allerdings müsste ein 4. Neutrino (mit mν < 1/2mZ ) eine entsprechende
Zerfallsrate des Z 0 produzieren.
Abbildung 11: Messung der Z-Resonanz im Vergleich mit Vorhersagen für 2,3,4 Fermionfamilien
13
3
Seite 14
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik nicht?
2.6
Lagrangedichte des Standardmodells
Unter Verwendung der bisher vorgestellten Theorien kann jetzt die Lagrangedichte des Standradmodells
aufgestellt werden. Sie besteht aus einem Fermion-Anteil und einem Anteil der durch die Forderung nach
Eichsymmetrie hinzugekommen ist:
LSM =
X
ΨL iDµ ΨL +
X
R
L
{z
|
LF ermion
1 i
1
1
ΨR iDµ ΨR − Wµν
Wiµν − Bµν B µν − Gaµν Gµν
a
4
4
4
} |
{z
}
LEich
Der Fermion-Anteil enthält die Dynamik der Fermionen und deren Wechselwirkung mit den Austauschteilchen, während der neue Eichteil die freie Propagation der Eichfelder und deren Selbswechselwirkung
beinhaltet. Bisher nicht betrachtet sind jedoch Massenterme für Fermionen und Bosonen, die nicht eingeführt werden konnten, weil sie die Invarianz der Lagrangedichte brechen. Denn Massenterme für Fermionen haben die Form mΨΨ, was kein SU (2)L Singulett ist. Massenterme für Bosonen sind proportional
zu m2 Aµ Aµ , was nicht invariant unter der Eichtransformation von A ist. Die Lösung dieses Problems
bilden zwei zusätzliche Terme: Der sogenannte Higgs-Term erzeugt die Bosonmassen durch das Konzept
der spontanen Symmetriebrechung, währende der zweite zusätzliche Term, Yukawa-Anteil genannt, die
Massenterme für Fermionen durch Kopplung der Fermionen an das Higgs-Feld erzeugt. Insgesamt erhält
man also für die Lagrangedichte des Standardmodells:
LSM =
|
LF ermion
{z
}
kin. Term für
Fermionen
+
Ww mit
Eichbosonen
3
+
|
LEich
{z }
kin. Term für
Photonen,W-,
Z-Bosonen
+
Selbstww.
+
|
LHiggs
{z
}
Massen der
Eichbosonen &
Higgs
Kopplung
Eichbosonen an
Higgs
+
Selbsww.
+
|
LY ukawa
{z
}
Massen der
Fermionen
+
Kopplung an
Higgs
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik nicht?
Wie wir gesehen haben, ist das Standardmodell in der Lage die beobachtbaren Fermionen, Eichbosonen
und die 3 fundamentalen Wechselwirkungen in eine Theorie zu packen. Es bleiben aber noch Probleme und offene Fragen. Vor allem die Frage nach dem “Warum?” bleibt unbeantwortet. Außerdem kann
man fragen, ob es eine Beziehung zwischen Quarks und Leptonen gibt, beispielsweise warum Elektron
und Proton zwar genau entgegengesetzte Ladung tragen aber sonst so unterschiedliche Eigenschaften
haben. Ein weiteres großes Problem liegt im Verständnis der Anzahl und verschiedenen Kopplungen der
fundamentalen Wechselwirkungen. Am Beispiel der elektroschwachen Wechselwirkung ist es gelungen
elektromagnetische und schwache Prozesse in einer Theorie zu vereinigen. Es gibt eine Vielzahl von weiterführenden Theorien, die versuchen alle Wechselwirkungen in einer Theorie einzubetten. Im Folgenden
sollen zwei dieser Theorien vorgestellt werden.
3.1
GUT - Grand unified theories
Wir hatten gesehen, dass die Kopplungskonstanten der einzelnen Wechselwirkungen energieabhängig sind
und “laufen”. Betrachtet man den Verlauf der drei Kopplungen bis zu extrem hohen Energien und führt
eine Extrapolation der drei Graphen bis zu ihrem Schnittpunkt durch, so erreicht man eine Vereinigung
bei 1014 − 1015 GeV, wo nur noch eine fundamentale Wechselwirkung existieren soll.
Der GUT sollte also eine hohe Symmetrie zugrunde liegen, die bei niedrigen Energien gebrochen ist und
das derzeitige Teilchenmodell erklärt. Eine mögliche Gruppe, die diese Symmetrie hätte, ist die SU(5),
14
3
Was kann das Standardmodell der Teilchenphysik nicht?
Seite 15
Abbildung 12: Verlauf der Kopplungen bis zu extrem hohen Energien. In dieser Extrapolation steckt
implizit drin, dass die Physik bis zu Größenordnungen von 1015 GeV unverändert bleibt.
die jedoch aufgrund von 24 Generatoren auch 24 Eichbosonen verlangt. 12 davon sind die bereits 8 bekannten Gluonen, die W ± -Bosonen, das Z 0 und das Photon. Jetzt kommen noch 12 weitere sogenannte
Leptoquarks hinzu: YR , YG , YB mit Q=-1/3 und XR , XG , XB mit Q=-4/3 sowie deren Antiteilchen. Diese Leptoquarks könnten dann Quarks und Leptonen ineinander umwandeln, womit ein Zusammenhang
zwischen Quarks und Leptonen hergestellt wäre, der im derzeitigen Standardmodell fehlt.
Abbildung 13: Die Leptoquarks X und Y können Quarks und Leptonen ineinander umwandeln.
Diese elegante Vereinigungstheorie wird jedoch durch ein einfaches Experiment inkonsistent. Die Umwandlung der Quarks in Leptonen hätte den Zerfall des Protons zur Folge. Es könnte in ein Lepton und
ein Meson zerfallen, zum Beispiel ein Pion und Positron:
p → e+ + π 0
Berechnet man die auf dieser Theorie basierende Protonlebensdauer so erhält man
τpGU T = 2 · 1028 − 6 · 1030 Jahre
Experimentell legen allerdings aktuelle Messungen eine untere Grenze von τpexp ≥ 5 · 1032 Jahre fest.
3.2
Supersymmetrie
Betrachtet man den Vereinigungspunkt der drei Kopplungen genauer, so stellt man fest, dass sich die
Kurven gar nicht in einem Punkt schneiden, wenn man den Teilcheninhalt des derzeitigen Standardmodells zugrunde legt. Eine Lösung dieses Problems liefert die Theorie der Supersymmetrie. Hier werden
neue Teilchen postuliert und die Teilchenanzahl damit verdoppelt. Denn jedem Fermion wird ein supersymmetrischer Boson-Partner und jedem Boson ein supersymmetrischer Fermion-Partner zugeordnet. Die
Namen dieser Partner werden dadurch konstruiert, dass man ein “s” vor die Namen der Fermionen setzt
und ein “ino” hinter die Bosonnamen. Da in dem theoretisch berechneten Verhalten der Kopplungen die
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4
Seite 16
Zusammenfassung
Abbildung 14: Vergleich des Laufens der Kopplungen im Standardmodell und im SUSY-Modell
Anzahl der Teilchen eingeht, ändert sich der Verlauf der Kurven im SUSY-Modell und man erreicht einen
Schnitt aller drei Kurven in einem Punkt.
In dieser Theorie könnte sogar die Gravitation mit eingebunden werden, aber leider fehlt noch jeglicher
experimenteller Beweis für die Existenz von supersymmetrischen Teilchen.
4
Zusammenfassung
Basierend auf einer Eichtheorie liefert das Standardmodell eine mathematisch konsistente Beschreibung
der fundamentalen Wechselwirkungen. Es hat viele neue und entscheidende Vorhersagen gemacht, die alle
experimentell bestätigt worden sind. Zudem hat es hochpräzise Tests überaus erfolgreich bestanden und
es sind keine experimentellen Widersprüche aufgetreten.
Trotzdem bleiben viele offene Fragen, die zur Zeit noch nicht beantwortet werden können. Zum Beispiel
kann man zeigen, dass es drei Fermionfamilien gibt, jedoch die Frage warum das so ist, nicht beantworten.
Da das Higgs-Teilchen als Kandidat für die Massenerzeugung noch nicht experimentell gefunden wurde,
ist auch die Frage, wie die Teilchen ihre Masse erhalten, nicht endgültig geklärt. Wir hatten gesehen, dass
man nach einer umfassenden Eichgruppe sucht, deren Symmetrie bei den heute zugänglichen Energien
gebrochen sein muss, um die Vereinigung aller Wechselwirkungen zu bewerkstelligen. Zudem ist man
auch noch an der Vereinigung mit der Gravitation interessiert. Abgesehen von diesen weiterführenden
Problemen beinhaltet das Standardmodell viele freie, nur experimentell bestimmbare Parameter, für die
eine Begründung vollkommen fehlt. Es sind Ansätze für verschiedene weiterführende Theorien wie GUT
oder SUSY, oder auch Stringtheorien, ausgearbeitet worden, die allerdings noch zu Widersprüchen führen
und für die man keinerlei experimentelle Hinweise hat.
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