Aufgaben zu komplexen Funktionen 1. Gib die - pythagoras-club

Aufgaben zu komplexen Funktionen
1.
Gib die Gleichung der Funktion an, welche der folgenden Drehstreckung entspricht und bestimme
die Bildpunkte von z1 = - 1 + 0.5i , z2 = 1 + i , z3 = 1
a)
um den Winkel  = 135° mit dem Faktor k = 2 entspricht.
b)
um den Winkel  = 30° mit dem Faktor k = 4 entspricht.
2.
Bestimme im Quadrat mit dem Eckpunkt z1 = 1 - 2i und dem Diagonalenschnittpunkt im Nullpunkt
die fehlenden Ecken z2 , z3 , z4 .
3.
Bestimme die Punkte der Folge von komplexen Zahlen, wenn gilt z1=1 und zn= a zn-1
mit a = 1+ i
4.
Untersuche die Funktion f ( z )  1
z
a)
Bestimme die Bildpunkte von z1 = 4 , z2 = 1,5 + 2i , z3 = -8 + 6i
b)
Welches sind die Fixpunkte der Abbildung?
c)
Bestimme das Bild einer Geraden durch den Nullpunkt.
d)
Bestimme das Bild eines Kreis mit Zentrum im Nullpunkt.
e)
Bestimme das Bild der Geraden, die parallel zur reellen Achse steht und durch i geht.
5.
Bestimme Funktion, welche einer Drehstreckung um 30° mit dem Faktor 2 am Punkt m = 2+i
entspricht.
Aufgaben zu komplexen Funktionen
1.
Gib die Gleichung der Funktion an, welche der folgenden Drehstreckung entspricht und bestimme
die Bildpunkte von z1 = - 1 + 0.5i , z2 = 1 + i , z3 = 1
a)
um den Winkel  = 135° mit dem Faktor k = 2 entspricht.
f(z) = 2 cis(135°)  z
b)
um den Winkel  = 30° mit dem Faktor k = 4 entspricht.
f(z) = 4 cis(30°)  z
2.
f(z1) = 2.24 cis 288.43° = 0.71 – 2.12i
f(z2) = 2.83 cis 180°
= - 2.83
f(z3) = 2 cis 135°
= - 1.41 + 1.41i
f(z1) = 4.47 cis 183.43° = - 4.46 – 0.27i
f(z2) = 5.66 cis 75°
= 1.46 + 5.46
f(z3) = 4 cis 30°
= 3.46 + 2i
Bestimme im Quadrat mit dem Eckpunkt z1 = 1 - 2i und dem Diagonalenschnittpunkt im Nullpunkt
die fehlenden Ecken z2 , z3 , z4 .
Rotation jeweils um 90°
f(z) = (1 cis 90° )  z = i  z
z1 = 1 – 2i
z2 = i  z1i = (1 – 2i) = 2 + i
z3 = i  z2 = i (2 +i) = -1 + 2i
z4 = i  z3 = i (-1+2i) = -2 – i
3.
Bestimme die Punkte der Folge von komplexen Zahlen, wenn gilt z1=1 und zn= a zn-1
mit a = 1+ i
a = 1+ i = √2 𝑐𝑖𝑠 45
z1 = 1 cis 0°
z2 = √2 cis 45°
z3 = 2 cis 90°
z4 = 2√2 cis 135°
z5 = 4 cis 180°
z6 = 4√2 cis 225°
z7 = 8 cis 270°
z8 = 8√2 cis 315°
z9 = 16 cis 360°
…
=1
=1+i
=2i
= - 2 + 2i
=-4
= - 4 - 4i
= - 8i
= - 8 - 8i
= 16
4.
Untersuche die Funktion f ( z )  1
z
a)
Bestimme die Bildpunkte von z1 = 4 , z2 = 1,5 + 2i , z3 = -8 + 6i
b)
Welches sind die Fixpunkte der Abbildung?
c)
Bestimme das Bild einer Geraden durch den Nullpunkt.
d)
Bestimme das Bild eines Kreis mit Zentrum im Nullpunkt.
e)
Bestimme das Bild der Geraden, die parallel zur reellen Achse steht und durch i geht.
5.
Bestimme Funktion, welche einer Drehstreckung um 30° mit dem Faktor 2 am Punkt m = 2+i
entspricht.