φ1 φ2

Aufgabe I Erzwungene Schwingung
12 Punkte
Betrachten Sie die erzwungene Schwingung eines reibungsfreien Körpers der Masse m, der an
einer Feder mit Federkonstante k befestigt ist. Auf diesen wirke die Kraft F (t) = at + F0 . Die
Anfangsbedingungen lauten x(0) = 0 und ẋ(0) = 0. Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung
des Körpers nach der Einschwingphase, d.h. insbesondere Amplitude und Phase.
Aufgabe II Überlagerung von Schwingungen
10 Punkte
Ts /2
t
φ2
Tm
φ1
a)
b)
Betrachten Sie zunächst die Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Amplitude.
a) Zwei Stimmgabeln ergeben eine Schwebung der Dauer Ts = 0.5s und der mittleren
Frequenz fm = 441Hz. Mit welcher Frequenz schwingt die jeweilige Stimmgabel?
Hinweis: Es gilt
α−β
α+β
· cos
cos(α) + cos(β) = 2 · cos
2
2
Betrachten Sie nun die Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Frequenz.
b) Zwei Schwingungen mit den Amplituden A1 = 4cm bzw. A2 = 8cm und den Phasen
ϕ1 = 43 π bzw. ϕ2 = 41 π werden überlagert. Wie groß ist die Amplitude der resultierenden
Schwingung?
c) Den beiden obigen Schwingungen wird noch eine dritte überlagert mit A3 = 8cm und
ϕ3 = 11
12 π. Wie groß ist dann die Amplitude der resultierenden Schwingung?
Aufgabe III Starrer Körper
11 Punkte
Ein Hohlzylinder rolle zunächst reibungslos eine schiefe Ebene hinab, um anschließend einen
Looping der Höhe L zu durchlaufen (ohne herunter zu fallen).
a) Berechnen Sie das Trägkeitsmoment eines Hohlzylinders homogener Dichte (ρ = konstant) mit den
Radien Ra = R und Ri = R/2, der eine schiefe
Ebene hinunterrollt.
ω
h
L
b) Formulieren Sie den Energiesatz i) vor dem Herunterrollen der schiefen Ebene, ii) nach dem Herunterrollen der schiefen Ebene sowie iii) im höchsten
Punkt des Loopings. Welche Bedingung muss
erfüllt sein, damit der Zylinder nicht herunterfällt?
c) Berechnen Sie die Höhe h aus der der Hohlzylinder mindestens starten muss, um den Looping zu
durchlaufen, ohne den Kontakt zur Bahn zu verlieren.
Aufgabe IV Gravitation
7 Punkte
Die Erde soll im Weiteren als Kugel mit dem Radius re = 6370km betrachtet werden. Rechnen
Sie im Folgenden, ohne den Wert der Gravitationskonstanten zu verwenden!!
a) In welcher Höhe h über der Erdoberfläche beträgt am Nordpol die Fallbeschleunigung
99% desjenigen Wertes, den sie auf der Erdoberfläche hat?
b) Auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte von Erde und Mond gibt es einen Punkt P ,
in dem die Gesamtkraft auf einen Körper der Masse m verschwindet. Die Masse me der
Erde ist 81mal so groß wie die Masse mm des Mondes und die mittlere Entfernung der
Mittelpunkte Me und MM von Erde und Mond beträgt d = 384400km. Wo liegt der
Punkt P ?
Aufgabe V Schwerpunkt und Drehmoment
10 Punkte
70
cm
a) Der Deckel einer Truhe, dessen Schwerpunkt in der Mitte liegt, wird durch eine rechtwinklig angreifende Stütze gehalten. Bei welchem Öffnungswinkel α beträgt die Stützkraft das 1,5fache der Gewichtskraft?
l=
7m
l1
1,80m
a)
α
l1=20cm
b))
b) Zwei um 1, 80m entfernte Stützen sollen einen 7m langen Balken so tragen, dass die
eine 2/3 und die andere 1/3 der Last aufnimmt. Um wieviel ragt der Balken auf beiden
Seiten über?