Lösung der Aufgabe 1.2.2 Lösung

Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung der Aufgabe 1.2.2
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Lösung der Aufgabe 1.2.2
Überarbeitet von: JüM 09.05.2005
~ des Elektrischen Feldes einer Punktladung Q auf einer Geraden, die im
Berechnen Sie ∇ × E
Abstand a an der Ladung vorbeiführt. Ist die Rotation überall 0 ?
Lösung
~ -Feld einer Punktladung:
E
~ r} =
E{~
Q (x − x0 )~ex + (y − y 0 )~ey + (z − z 0 )~ez
4πε0 ((x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 )3/2
Wenn die Punktladung im Ursprung liegt, gilt gilt ~r 0 = 0
:
Q x~ex + y~ey + z~ez
4πε0 (x2 + y 2 + z 2 )3/2
~ r} =
E{~
Die Gleichung der Geraden mit Abstand a zum Ursprung (zur Ladung) lautet z.B.:
~r = x~ex + a~ey
Das elektrische Feld auf der Geraden ist also
~ r} =
E{~
Q x~ex + a~ey
4πε0 (x2 + a2 )3/2
Wird hier die Rotation angewendet, folgt
Q ∂
a
~ez
2
4πε0 ∂x (x + a2 )3/2
−3Q
ax
=
~ez
2
4πε0 (x + a2 )5/2
~ r} =
∇ × E{~
Die Rotation verschwindet wider Erwarten also nicht. Grund dafür ist„ dass zuerst das Feld an
einer speziellen Stelle (auf der Geraden) ausgerechnet wurde, und dann die Rotation erfolgte.
Richtig wäre gewesen, zunächst die Rotation auszurechnen und dann den Wert auf der Geraden
~ = 0 heraus.
auszurechnen. Hier kommt bereits im ersten Schritt das erwartete Ergebnis ∇ × E