Kapitel 5. Moduln

5.1. Linksmoduln
Kapitel 5. Moduln
169
d) Ist M eine abelsche Gruppe, R ein Ring und definiert man R x M —» M durch (a, x) H> a • x = 0
für alle aeÄ, xe M, dann wird M ein Ä-Linksmodul. Moduln dieser Art heißen trivial.
e) Ist G eine abelsche Gruppe und R = End G, der Ring aller Endomorphismen von G, dann ist
G zusammen mit der natürlichen Operation von R auf G, (y.,x)\-+ct-x = a(x), ein /{-Linksmodul.
Zu den wichtigsten algebraischen Strukturen gehören auch die Moduln. Die Theorie der
Moduln hat sich als Erweiterung der Ringtheorie aus der Darstellungstheorie von Gruppen,
Ringen und Algebren entwickelt. In ihr finden die Methoden der Ringtheorie und der linearen
Algebra Anwendung. An den Beispielen werden wir sehen, daß der Begriff des Moduls über
einem Ring viele der bisher behandelten algebraischen Strukturen verallgemeinert.
5.1. Linksmoduln
f) Es seien K ein Körper, Fein Vektorraum über K und/: K-> Keine ^-lineare Abbildung von
V in sich. Ist/> = £ <v' ein Polynom aus K[r~\, dann ist nach 4.1 die lineare Abbildung X/)
durch X/) = S a i/' definiert. Man verifiziert leicht (man führe das auch durch!), daß V
zusammen mit der Skalarmultiplikation K[i~] x K-» V, (p,x)t-+p-x:=p(f)x,
ein unitärer
-K[t]-Modul ist. Man beachte, daß die Struktur dieses Moduls durch die lineare Abbildung/
bestimmt wird. Zur Untersuchung der Abbildung / kann also auch die Theorie der Moduln
über Hauptidealringen (K[t] ist Hauptidealring) herangezogen werden.
Definition 5.1.1. Es sei R = (R, + ,-) ein Ring und M=(M, + ) eine abelsche Gruppe. M zusammen mit einer äußeren Verknüpfung (Skalarmultiplikation) R x M—> M,(a,x)M»a-x,
heißt ein Ä-Linksmodul (oder Linksmodul über R), wenn gilt:
Es wird dem Leser dringend empfohlen, die folgenden Begriffsbildungen und Ergebnisse an
den aufgeführten Beispielen zu diskutieren.
(M,)
(M 2 )
(M 3 ) (aß) -x = a - ( ß - x )
Völlig analog zu Linksmoduln werden Rechtsmoduln definiert :
(Distrubutivgesetze)
Die abelsche Gruppe (M, +) zusammen mit einer Skalarmultiplikation M x R—> M, (x,<x)i-»x-x, heißt ein Ä-Rechtsmodul (bzw. ein Rechtsmodul über dem Ring R), wenn für alle x,yeM
und alle a, ß e R gilt:
(Assoziativgesetz)
für alle ct,ßeR,x,yEM.
Hat R ein Einselement l, dann heißt der Modul unitär, wenn zusätzlich für alle xeM gilt
Bemerkung. In den Distributivgesetzen wird die „Verträglichkeit" von • mit der Addition in
R und in M verlangt. Das Assoziativgesetz verbindet • mit der Multiplikation in R auf einfachste
Weise.
Beispiele 5.1.2. a) Es sei (G, +) eine abelsche Gruppe. Für neN„ = Nu{0} und xeG wird
n-x induktiv durch
0 • x : = 0,
n • x : = (n
x+--- + x
(n mal)
definiert. Für eine negative ganze Zahl neZ, «<0, setzt man n-x = — n)-( — x) (vgl. 1.3.(1)
in additiver Schreibweise). Mit der Skalarmultiplikation
• : Z x G -» G,
(n,x)\-+n-x
ist G ein Z-Linksmodul. Da l -x = x gilt für alle xeG ist G sogar unitär. Also ist jede abelsche
Gruppe ein unitärer Z-Linksmodul. Das bedeutet, daß die Theorie der abelschen Gruppen in
der Theorie der Moduln enthalten ist. Diese Beobachtung ist für uns sehr wichtig, denn wenn
wir etwas später Struktursätze für Moduln über Hauptidealringen herleiten, haben wir damit
sogleich für den Hauptidealring Z Struktursätze für abelsche Gruppen.
b) Ist R ein Ring und betrachten wir die Ringmultiplikation als eine äußere Verknüpfung von
Elementen aus R mit Skalaren aus R, - : R x R—> R, (x,y)>->x-y: = xy, dann sind natürlich die
Axiome aus 5.1.1 erfüllt und damit ist R auch ein Ä-Linksmodul. Dieser Modul ist genau dann
unitär, wenn R ein Einselement hat.
c) Ist K ein Schiefkörper, dann zeigt ein Vergleich der Definition, daß die unitären Af-Linksmoduln genau die Linksvektorräume über K sind.
x • (aß) = (x • a) • ß.
Natürlich heißt auch ein Rechtsmodul M unitär, wenn l eR und x-\=x für alle xeM gilt.
Wir werden einen Ä-Linksmodul M mit RM bezeichnen und natürlich einen R- Rechtsmodul
N mit NR. Analog zu den Beispielen 5.1.2 findet man leicht viele Beispiele für Rechtsmoduln.
Wir wollen hier lediglich erwähnen, daß man analog zu 5.1.2 b) auch jeden Ring R als Rechtsmodul über R auffassen kann Die Skalarmultiplikation ist die Multiplikation von rechts.
Gemäß unserer Vereinbarung schreiben wir RR (bzw. RR) je nachdem, ob wir R als Rechtsmodul (bzw. Linksmodul) über sich auffassen.
Wir wollen zunächst einen engen Zusammenhang zwischen den Links- und den Rechtsmoduln
klären.
Es sei RM ein Ä-Linksmodul mit der Skalarmultiplikation (a,x)i->a-x. Wer nun die Idee hat,
daß es gleichgültig ist, auf welche Seite von x wir den Skalar a schreiben, hat nicht so ganz
Unrecht. Versuchen wir es also. Wir definieren MX /?-» M durch x-a: = a-x. Natürlich gelten
auch hierfür die Distributivgesetze. Jedoch aus dem Assoziativgesetz wird
x • (aß) = (aß) -x = a - ( ß - x ) = ( x - ß ) - a .
Es gilt daher i.a. für die neue Verknüpfung (x,a)i->-x-a nicht das Assoziativgesetz. Wenn wir
uns jedoch an den Ring R°pp erinnern, der als abelsche Gruppe mit (R, + ) übereinstimmt, in
dem aber die Multiplikation durch x°y: =yx definiert ist, wobei rechts das Produkt in R steht,
dann können wir die vorstehende Gleichung in der Form
x • (ß ° a) = (x • ß) • a
170
5. Moduln
schreiben und sehen, daß der Linksmodul RM in natürlicher Weise als Rechtsmodul MRopp
aufgefaßt werden kann (und natürlich auch umgekehrt). Ist R kommutativ, dann stimmen R
und R°pp überein und in diesem Fall brauchen wir zwischen Linksmoduln und Rechtsmoduln
keinen Unterschied zu machen.
Neben Links- und Rechtsmoduln gibt es auch die sogenannten (Ä, S)-Bimoduln. Ist die abelsche Gruppe M gleichzeitig ein Ä-Linksmodul und ein S- Rechtsmodul (R, S Ringe) und gilt
außerdem a -(;c-ß) = (a •;<:)•£ für alle ae/*,;teM,ßeS, dann heißt M = RMS ein (Ä,S)-Bimodul.
Wir werden uns in der folgenden Diskussion fast ausschließlich an Linksmoduln halten (für
Rechtsmoduln gehen die Überlegungen analog).
Abkürzend wollen wir nur von Ä-Moduln reden, gemeint sind /?-Linksmoduln ; wenn erforderlich, wird das noch durch die Schreibweise RM verdeutlicht.
5.1. Linksmoduln
171
e) Ist RM ein Modul, dann ist für jedes aeM
Ra : = {a. • a \ e R]
ein Untermodul von RM.
Definition 5.1.4. Es sei RM ein Ä-Modul. Ein Untermodul U von M heißt zyklisch, wenn es
ein a € M gibt mit U=Ra. (Man beachte, daß a nicht notwendig in Ra liegt.)
Die Beweise zu den folgenden Aussagen verlaufen völlig analog wie bei Gruppen und Ringen
und werden daher ausgelassen.
Ist RM ein Ä-Modul und {Ut \ eine Familie von Untermoduln, dann ist H Ut ein Unteriel
Wie für Vektorräume, bzw. für Ringe, zeigt man, daß in einem Ä-Modul M die üblichen
Rechenregeln gelten: 0-m = 0, a-0 = 0, — (a-m) = ( — a)-w? = a- (— m) für alle a.eR, meM.
(Die Nullen in R und in M sind gleich bezeichnet; wir sind jetzt schon so fortgeschritten, daß
eine Verwechslung nicht mehr vorkommen darf.)
Nun zu den Untermoduln.
modul von M. In bewährter Weise fährt man fort: Zu einer beliebigen Teilmenge A^RM
definiert man
R <^> :
= p) [u | u Untermodul von M mit A c u}.
Es ist </!> der kleinste A enthaltende Untermodul von M. Ist M unitär, dann besteht „</!>
aus allen (endlichen) Linearkombinationen '£v.i-ai,v.ieR,aieA. Im unitären Fall gilt <a> = /fa,
im allgemeinen hat man
O> = Za + Ra = {na + a • a n e Z, a e R}.
Definition 5.1.3. Es sei RM ein /?-Modul. Eine nicht-leere Menge U"~M heißt Untermodul
von M, wenn gilt:
(UM 2 )
U ist Untergruppe von M,
mit u e U und a e R ist auch a • u e U.
Im Falle M = (A > heißt A ein Erzeugendensystem von M, bzw. man sagt, daß M von A erzeugt
wird. RM heißt endlich erzeugt, wenn es endlich viele a l 5 ..., a„eM gibt mit R <o 1 , ..., a„y = RM.
Sind U{ , iel, Untermoduln von RM, dann wird
<|J [/.> = { £ a. | a, € U„ L endliche Teilmenge von 7}
.iel
Bemerkung. Die Bedingung (UM t ) ist bekanntlich äquivalent zu
l ')
l")
u, v e [ / = > « — v e U oder zu
U + U S U und - £ / £ [ / .
Man beachte, daß in jedem Fall (7^0 vorausgesetzt ist.
Die Bedingung (UM 2 ) schreibt man oft kürzer in der Form R- 1/£ U.
Beispiele 5.1.4. a) Ist G = ZG eine abelsche Gruppe als Z-Modul betrachtet, dann sind die
Untermoduln hiervon genau die Untergruppen.
b) Ist R ein Ring, dann sind die Untermoduln von RR (bzw. von RR) genau die Linksideale
(bzw. Rechtsideale) von R (vgl. 3.1.9).
c) Ist K ein Körper und KV ein unitärer AT-Modul (also ein ÄWektorraum), dann sind die
Untermoduln hiervon gerade die linearen Unterräume von V.
d) Es sei K ein Körper, V ein Vektorraum über K und /: F—> V eine ^-lineare Abbildung. Es
sei U ein Untermodul des in 5.1.2 f) betrachteten Ä^[t]-Moduls K[l]V. Es gilt
1.
2.
U ist Untergruppe von V,
p - U = p(f)U <= [7füralle/>e#[T].
Insbesondere für p = a.eK und p = i erhalten wir oet/s U und T-£/=/(£/)£ U; d.h. U ist ein
/-invarianter Unterraum. Umgekehrt sieht man sofort, daß für einen/-invarianten Unterraum
U auch p ( f ) U ^ U gilt für alle peK[r~\.
leL
Man schreibt hierfür
<U u.y = I u,
iel
iel
und nennt diesen Modul die (innere) Summe der U{. Für /={*!, ..., «'„} schreibt man auch
Eine Summe £ t/i (I beliebig) heißt direkt, wenn jede Darstellung der Null als 0 = £a,,
iel
<2j6 Ui, nur trivial, d.h. nur für alle at = 0, möglich ist. Eine hierzu äquivalente Bedingung ist
Uj^I. f/i = {0} für allere/.
"*J
rr\e direkten Summen werden mit (^p Uf bzw. mit
iel
Hat R ein Einselement l, dann ist jeder Modul RM eine direkte Summe M = M1 ® M0 des
unitären Moduls M^ = {l-m\meM} und des trivialen Moduls M0 = {meA/ 1 R-m = 0}.
Denn jedes Elementes M hat die Darstellung x = l -x + (x— l -x)mit \-xeM1 undx— l -xeM0,
wobei aus 0 = a 1 +a 0 , a^M(, durch Multiplikation mit l sofort a j = 0 und dann auch a0 = 0
folgt. Auf Grund dieser einfachen Überlegungen werden wir uns in Zukunft nur mit unitären
/?-Moduln befassen, sofern R ein Einselement hat.
Ist U ein Untermodul von RM, dann wird auf der Faktorgruppe M/U eine skalare Multiplikation R x A//t/-> M/U durch
o • (x + U):= et- x + U
172
5. Moduln
definiert. Wegen tx-U'—U ist dies wohldefiniert, und hiermit ist M/U ebenfalls ein Ä-Linksmodul, der Faktormodul von M nach U. (Bitte zum (n+ l)-ten Male alle Einzelheiten nachprüfen.) In M/U haben wir also die Moduloperationen
173
Satz 5.1.8. Für Untermoduln U, V eines Moduls RM mit U^V^M gilt
(M/U)/(V/U)
S M/V.
Zum Beweis betrachte man m+ Ut->m+ V.
(x + U) + (y + U) = (x + y) + U
a • (x + U) = a • x + U.
Ist L ein Untermodul von RR, also ein Linksideal von Ä, dann kann man zwar R/L noch nicht
wieder (kanonisch) zu einem Ring machen, denn dazu müßte L Ideal sein; nach der vorhergehenden Konstruktion wird R/L jedoch vermöge a-(ß + L) = aß + Lzu einem Ä-Linksmodul.
Ist a ein Ideal von R und RM ein Ä-Modul, dann wird mit aM der Untermodul von M
bezeichnet, der aus allen (endlichen) Summen der Form 2jvai> oc-eo, ateM, besteht. Für
diesen Untermodul wird die Faktorgruppe M/aM in natürlicher Weise sogar zu einem R/aModul durch die Definition
(a + o) • (m + aM) : = a • m + aM.
Führen wir diese Konstruktion mit einem maximalen Ideal eines kommutativen Ringes R
mit l durch, dann wird M/aM demnach zu einem Vektorraum über dem Körper K=R/a.
Und über Vektorräume weiß man ja ganz gut Bescheid.
Wie üblich, müssen wir zur algebraischen Struktur Ä-Modul auch noch die zugehörigen
Morphismen angeben.
Definition 5.1.5. Es seien R ein Ring und RM, RN R-Moduln. Eine Abbildung /: R M—> RN
heißt ein Ä-Modulhomomorphismus (oder auch R -linear), wenn für alle x,yeM und alle a.eR
gilt
f(x + y)= f ( x ) + f ( y )
f ( « - x ) = a •/(*).
Es sind Endomorphismen, Epimorphismen, Monomorphismen, Isomorphismen und Automorphismen in üblicher Weise erklärt. Außerdem ist klar, daß für Modulhomomorphismen
f:M-^N, g:N-*P das Kompositum gf:M^>P, (gf)(x)=g(f(x)),
wieder ein Homomorphismus ist, und daß ferner mit einem Isomorphismus auch/" 1 ein Isomorphismus ist. Wie
üblich werden für einen Homomorphismus/: R M—> RN bezeichnet:
Kern/= [ x e M \ f ( x ) = 0}
Bild/ = /(M) = { f ( x ) \ x e M } .
Es ist Kern/ein Untermodul von M, Bild/ein Untermodul von N, und auch/injektiv genau
dann, wenn Kern/={0} gilt. Zu einem Untermodul definiert x*-+x+U einen Modulepimorphismus (den kanonischen Epimorphismus) von M auf M/U mit Kern U. Die bekannten
Beweise für den Homomorphiesatz bzw. die Isomorphiesätze kann man (fast) wörtlich
Übertragen und erhält:
Satz 5.1.6. (Homomorphiesatz) Für einen Modulhomomorphismus f:R M- , N gilt
Beispiele 5.1.9. a) Es sei / ein Homomorphismus des Ä-Moduls RR. Also gilt/(a +/?) =
f(ai)+f(ß) und/"(aiß) = af(ß) für alle at,ßeR. Hat R ein Einselement l, so setzen wir/(!) = <:
und sehen aus obiger Gleichung (mit ß=\) /(a) = ae. Ist umgekehrt peR, dann sieht man
sofort, daß at->a.p ein Modulhomomorphismus von RR ist.
b) Es sei RM ein Ä-Modul. Zu festem aeAf betrachten wir die Abbildung A„: R—> M definiert
durch A„(a): = a-(3. Auf Grund der Axiome 5.1.1 A/j und Af3 handelt es sich um einen Homomorphismus. Der Kern von A„ wird mit Ann (a) bezeichnet und heißt Annullator von a, also
Ann (a): = {a e R a • a = 0}.
Als Kern eines Homomorphismus ist Ann (a) ein Untermodul von RR (also ein Linksideal
in R, aber i.a. kein Ideal).
Der Homomorphiesatz liefert
R/\nn(a) S Ra.
c) Wir betrachten den bezüglich einer linearen Abbildung/: V—> V gebildeten Ä^[T]-Modul
K[t] F(vgl. 5.1.2 f). Ist# ein Endomorphismus jiieses Moduls, so gilt g(x+y)=g(x)+g(y)
und
g(p-x)=p-g(x) für alle xe V und alle peK[i~\. Insbesondere gilt dann für p = a, aeK, und
p = T für alle xe Vg(ax) = a.g(x) und g(f(x)) =g(i-x) = r-g(x) =f(g(x)). Also ist g AMinear und
mit /vertauschbar. Umgekehrt sieht man wieder leicht, daß auch jede mit /vertauschbare Klineare Abbildung von Fin sich ein Ä^[T]-Modulhomomorphismus ist.
Neben dem Annullator Ann (a) (vgl. 5.1.9 b) eines Elementes aeM wird auch für Untermoduln
U des Ä-Moduls R M der Annullator Ann U definiert durch
Ann U : = {a e R a • u = 0 für alle u e U}.
Wegen Ann {/= p| Ann(«) ist auch Ann U ein Untermodul in RR (also ein Linksideal). Da
ueV
mit peR, ueU auch p-ueU liegt, gilt für aeAnnl/auch (ap)-w = oe-(p-M) = 0, also apeAnn U.
Folglich ist Ann U ein Ideal in R. Der Modul RM heißt treu, wenn Ann M = {0} gilt. Ein Element aeRM heißt Torsionselement (oder ein Element endlicher Ordnung), wenn Ann(a)^ [0}
gilt. Ein Modul ohne Torsionselemente ^0 heißt torsionsfrei. Ist ein Modul torsionsfrei, dann
hat der Grundring keine Nullteiler.
Beispiel 5.1.10. a) In einer abelschen Gruppe G ist jedes Element mit endlicher Ordnung (in der Gruppe)
ein Torsionselement im Z-Modui ZG. Insbesondere ist bei endlicher Gruppe G jedes Element Torsionselement.
b) Es sei Kein Vektorraum über dem Körper K mit dim J £ K=n, /: K-> K linear und K[,}V der bezüglich /
gebildete A: (»Modul (5.1.2 f). Zu jedem xe V sind die n +1 Vektoren */(*),.. .,/"(*) im n-dimensionalen
Vektorraum linear abhängig. Folglich gibt es eine nichttriviale Linearkombination £ «i/''(.v) = 0 und für
i-o
f(M) ^ Ml Kernf.
Sät/. 5.1.7. Für Untermoduln U, V eines R-Moduls
5.1. Linksmoduln
p= £ a,T'eK[T] gilt/>^0 und/r.x = 0. Also ist jedes Element von K[t] V Torsionselement.
R
M gilt
(U + K ) / K s U/U n V.
Zum Beweis betrachte man die Abbildung w + IM »u.
c) 0 ist stets Torsionselement. Z als Z-Modul hat außer 0 kein Torsionselement, ist also torsionst'rei.
d) Ist R ein Ring, dann sind die Torsionselemente von „R genau die Nullteiler und 0. Nehmen wir R -K x K
mit einem Körper K, dann ist die Menge der Nullteiler (u (0}) von R offensichtlich (A"x | 0 ] ) u ( [ 0 j x K),
Hieraus erkennt man, daß die Menge der Torsionselemente in „R keinen Untermodul bildet.
174
5. Moduln
Satz. 5.1.11. In einem R-Modul RM über einem Integritätsring R ist Tor M, die Menge der
Torsionselemente von M, ein Untermodul und M/Tor M ist torsionsfrei.
5.2. Direkte Produkte und direkte Summen von Moduln
175
definieren wir die Moduloperationen + : P x P-+ P und •: R x P—> P „punktweise" durch
(/ + 0X0 : = /(O + 0(0
Beweis. Mit meTotM, aeAnn(m), a^O, und ßeR gilt aL-(ß-m) = (a.ß)-m = (ßa)-m = ß-(a.-m) =
0. d.h. ß-meTorM. Ist m' ein weiteres Element aus Tor M und a'^0 aus Ann(w'), dann
folgt aa'-(m-t-w') = a'-(a-w) + a-(a'-/n') = 0. Wegen aoc'^0 (7? Integritätsring) ist m + m'e
Tor M. Nun sei m + 1orM ein Torsionselement in MfTorM. Es sei z.B. a-(m + TorAf) =
a-m + TorM=TorM für oc^O aus 7?. Das bedeutet a • m e Tor M, folglich gibt es ein ß^Q
mit Q = ß-(tx-m) = (ßy.)-m. Wieder wegen ßa^O folgt /neTorM und das Torsionselement
m + Tor M ist trivial. D
(<x-/XO :=«-/(0.
Mit diesen Operationen wird /> = riAf j ein Ä-Modul, der als das direkte Produkt der Moduln
MI, iel, bezeichnet wird. Identifizieren wir, wie es oft üblich ist,/mit dem 7-Tupel der Bilder
/=(/i); e /> dann sind die Summe und Skalarmultiplikation komponentenweise zu nehmen.
(Es bezeichnet/, =/(/); im Falle 7=N 0 schreibt man meist/=(/ 0 ,/ 1 ,/ 2 ...'.) Die entsprechende
Schreibweise verwendet man auch bei beliebiger abzählbarer oder endlicher Indexmenge.)
Im Falle M( = M für alle iel schreiben wir M': = f] M f , bzw. R' falls M=R gilt. Bei endlicher
iel
Aufgaben 5.1
1. M an beweise für einen R-Modul R M die folgenden Rechenregeln: 0 • x = 0, a • 0 = 0,a • (— x)= — (x-x) —
(-a)-x.
n
Indexmenge 7={1,2,...,«} schreiben wir meist M":= Y\, = Af für alle i. Wir wollen
i= l
zusätzlich vereinbaren, bei der leeren Indexmenge ]~[ Mt: = {0} zu setzen.
;e0
2. Für welche aeÄ ist x^-a-x ein Endomorphismus des /^-Moduls RM 1
3. Sei RM = R3. Welche der folgenden Mengen sind Untermoduln von M:
a) (/,: = {(a 1 ,a 2 ,a 3 )eM
b) l/ 2 : = {(a 1 ,a 2 ,a 3 )€M
c) t/ 3 : = {(a,,a 2 ,a 3 )6M a! + 2 = a3 + 3}.
4.
a)
b)
c)
Für Untermoduln U, V des Moduls RM sei definiert [[/: K] = {aeÄ | a- Ke (/}. Man zeige:
[f:r| = .R falls Ks £/.
[ t / , n f / 2 : K ] = [C/,:F]n[f/ 2 :K].
[C/:t/+K] = [f/:K].
5. Man bestimme in ZZ [(6): (3)] und [(6): (l5)].
6. Man zeige, daß für einen Modul „M,R kommutativ mit l, äquivalent sind:
a) Für alle Untermoduln U von RM, U^ {0}, gilt [0: C/] = [0:Af].
b) Für alle Ideale asR und alle Untermoduln U von RM, C/^0, folgt aus aU=0 stets aM=0.
1. R sei ein kommutativer Ring mit 1. Für ein Ideal äs R hat der /{-Modul R/a eine der Eigenschaften
a) oder b) aus Aufg. 6 genau dann, wenn a ein Primideal in R ist.
8. Hat der Modul RM die Eigenschaft a) oder b) aus Aufg. 6, dann ist [0:M] ein Primideal in R.
9. Sei 0->„Af ^->RM
"—>0 eine exakte Folge von Ä-Modulhomomorphismen, also fl injektiv,
J 2 surjektiv und Bild/! = Kern/2 . Man beweise die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) M^M'®M".
b) F.s gibt einen Ä-Homomorphismus gl :RM—>RM' mit ffifi =id M ».
c) Es gibt einen Ä-Homomorphismus g2 : RM" —> RM mit f2g2 = IdM.. .
10. II, U{,U2 seien Untermoduln von RM. Man zeige:
a) Sind M/U und U endlich erzeugt, so ist auch M endlich erzeugt.
b) Sind (/, + U2 und [/, n U2 endlich erzeugt, so sind auch U^ und U2 endlich erzeugt.
Wie man leicht nachprüft, bildet
® A/j = {/s 0 ^i l/(O = 0 für fast alle i e 1}
iel
iel
einen Untermodul des direkten Produkts, man nennt (J) M{ die (äußere) direkte Summe der
iel
7?-Moduln M;. Für eine endliche Indexmenge 7 gilt Y[ Mt = (J) M f .
>6/
iel
Satz 5.2.1. a) Ist neS(I) eine Permutation von I, dann gilt
n MI ^ n Mn(i}, 0 M, s © M„(i).
iel
iel
iel
iel
b) Ist 7= 1J Ij eine Zerlegung von I in disjunkte Teilmengen, dann gilt
JeJ
n MI ^ n (n **& 0 ^ = 0 (0^)-
ie/
je/
te/j
ie/
JeJ
ie/j
Beweis (vgl. l .9).
a) Man betrachte /HV/JI.
b) Man betrachte /W (J/,., wobei/^e f| Mf die Restriktion von/auf /, bezeichnet und U./j
ie/j
auf / definiert ist durch (U/,)W =/*• D
Ist R A/= ]^[ R M, das direkte Produkt der Moduln R A/ j; so sind in natürlicher Weise Moduliel
Homomorphismen n^.M—>Mt, iel, durch n,(f)=f(i)
erklärt. nt heißt die Projektion auf die
i'-te Komponente. Dual hierzu definiert man ^-Homomorphismen a^A/j—> (J) A/f durch
ie/
5.2. Direkte Produkte und direkte Summen von Moduln
Hs sei n M,, iel, 7^0, eine Familie von Moduln. Auf dem mengentheoretischen direkten
Produkt
p = [] M, = {/: / -» (J M, |/(/) e M, für alle iel}
tx.i(mi) = (nj)jel, wobei «,-=0 für «Vy und ni = mi gesetzt sind. af heißt die natürliche Injektion.
(Für 7={1,2, ..., n} sind das die Abbildungen ni(al, ..., at, ..., a^ = at bzw. a((/M() =
(0,0, ..., 0,m f ,0, ..., 0) mit mi als j'-te Koordinate.)
Im Zusammenhang mit direkten Produkten interessiert man sich mehr für die Projektionen
und bei direkten Summen mehr für die Injektionen. Direktes Produkt und direkte Summe
haben folgende universelle Eigenschaft:
176
5. Moduln
Satz 5.2.2. Sind R A, RMt, iel, R-Moduln und (pj-.gA—* RMh iel, R-Homomorphismen, dann
gibt es genau einen R-Homomorphismus ip:A—» J~[ Mt, so daß fiir jedes jeI das folgende Diaie/
gramm kommutativ ist, d.h. ip — iijfp. (Es ist iij die Projektion auf die j-te Komponente.)
5.3. Freie Moduln
177
3. M, N seien /?-Moduln, l/c M, Vs N Untermoduln. Man zeige :
(M ® N)/(U 0 K) = M/U ® N/V.
Wie kann diese Aussage verallgemeinert werden ?
5.3. Freie Moduln
Da die Axiome für Moduln formal die gleichen wie für Vektorräume sind (nur der Skalarbereich kann ein beliebiger Ring sein, weshalb man im allgemeinen Fall auch auf l -x = x für
alle xeM verzichten muß), ist es naheliegend, die für Vektorräume als nützlich erkannte
Begriffsbildung für Moduln zu übertragen.
Beweis. Wenn es ein solches (p gibt, ist wegen n^ = (pj die y'-te Komponente von <p(a) gleich
<p](a). Man definiere daher (p(a)e\\Mi durch <p(a)(i) = <p,(a). Dieses ip leistet das Verlangte. D
Satz 5.2.3. Sind RA, RMt, iel, R-Moduln und ^/t'.RM^RA, iel, R-Homomorphismen, dann
gibt es genau einen R-Homomorphismus \l>: (J)A/J—>/4, so daß für jedes jeI das folgende
Diagramm kommutativ ist, d.h. >l/j = ^iXj. (Es ist a} die natürliche Injektion A/,.-> @3/(.)
Im folgenden sei stets R ein Ring mit l und alle vorkommenden Ä-Moduln seien unitär.
Nun sei RM ein Ä-Modul und SsA/ eine Teilmenge. Jede endliche Summe £ af5,., o^e/?,
sfeS, wird als Linearkombination von Elementen aus S bezeichnet. Da R M unitär ist, besteht
z.B. <S>, der von S?t0 erzeugte Untermodul, aus allen Linearkombinationen von Elementen
aus S. Eine endliche Teilmenge {w^wij, . . . , mr}^M heißt über R linear unabhängig (oder
r
frei), wenn £ ajm, = 0 nur trivial, d.h. nur für a f = 0 (!</<r), möglich ist. (Hierbei sei stets
i=l
mt ^OTJ-für i^tj angenommen.) Eine Teilmenge SE M heißt frei (über R), wenn jede endliche
Teilmenge frei ist.
Beispiele 5.3.1. a) 0 ist frei (bei entsprechender Interpretation; sonst als Festsetzung zu verstehen).
b) Jede Teilmenge, die 0 enthält ist nicht frei (linear abhängig), denn '^0-xi + ce-0 = 0 geht auch für a/0.
Etwas allgemeiner ist jede Teilmenge von RM, die ein Torsionselement enthält nicht frei. Somit gibt es für
endliche abelsche Gruppen (als Z-Moduln betrachtet) außer 0 keine freien Teilmengen. Dasselbe gilt für
jeden Modul, der nur aus Torsionselementen besteht.
Beweis. Wieder, wenn es \j/ mit i/fo,- = t//j gibt, dann gilt
Definition 5.3.2. a) Es sei RM ein /{-Modul. Eine Teilmenge S von M heißt eine Basis von
M, wenn gilt :
*(x) = *((*,),«,) = *(I «X*,)) = I 4>*M = Z W*.)iel
Daraus ersieht man die Eindeutigkeit. Man sieht auch leicht, daß
die
1) R<S> = R A/, d.h. S erzeugt M,
2) S ist frei über R.
gewünschten Eigenschaften hat. (Man beachte, daß für (x,)e (§)Mt höchstens endlich viele
x( von Null verschieden sind und daher die vorkommenden Summen sinnvoll sind.) D
b) Ein A-Modul R M, der eine Basis besitzt, heißt freier /{-Modul. Ist 5 eine Basis, so sagt man
auch M ist frei über S.
Bemerkung: Wie in 1.9 zeigt man auch für Moduln, daß eine innere direkte Summe von
Untermoduln A/,, iel, eines Moduls RM (vgl. 5.1) isomorph ist zur oben definierten äußeren
Beispiele 5.3.3. a) 0 ist Basis des Moduls {0}. In R x R (als Ä-Modul) ist {(l ,0),(0,1)} eine Basis. Im Gegensatz zu Vektorräumen besitzt nicht jeder Modul eine Basis, z.B. solche Moduln, die nur aus Torsionselementen bestehen.
b) Ist /^p eine Indexmenge, dann ist(^} /?,,/?, = R für alle iel, frei mit der Basis
direkten Summe (£)A/,.
iel
Für den Spezialfall /= (1,2, ...,«} erkennen wir das sofort wieder. Es ist R"= [(a,, — a„) \t Basis [«,
frei= (0
Aufgaben 5.2
1. (M,)„, sei eine Familie von Ä-Moduln. Man zeige: Ist R ein Integritätsring, so gilt
A/„)^0 (TorMJ.
2. R sei ein Integritätsring, „A/ ein R-Modul. xeM heißt teilbar, wenn xe f~| <*M< M h eiß t teilbar, wenn
alle .v e M teilbar sind. Man zeige:
u) Div(M):= [xeM x teilbar} ist ein Untermodul. Was ist Div(/V//Div(A/))?
b) Ist M teilbar und U Untermodul, so ist M/U teilbar.
c) hl (M,)„, eine Familie teilbarerfl-Moduln,so sind auch [ | M und<rj-) M, teilbar.
«*/
••/
T
i-le Koordinate
Der folgende Satz bringt eine Charakterisierung freier Teilmengen und freier Moduln, die
zeigt, daß die freien Moduln den Vektorräumen außerordentlich ähnlich sind.
Satz 5.3.4. Der R- Modul RM ist frei über S genau dann, wenn jedes meM sich eindeutig darstellen läßt in der Form £ a, •.?„«,£/?,.«,£ S. Dieses ist genau dann der Fall, wenn M = ( \)R-s
n, S'
die direkte Summt- der zyklischen Untermoduln R'.i ist. welche sämtlich isomorph zu KR sind.
178
5. Moduln
Beweis. Ist S eine Basis, so ist wegen <S> = M jedes Element meM darstellbar in der Form
w== Z a i' ? i' a i 6 ^> steS. Diese Darstellung ist eindeutig, denn Zai'si = S^A ist äquivalent mit
£(«( — ßjX—O, woraus wiederum 0^ = 0, folgt, denn 5 ist frei. Wird umgekehrt die Eindeutigkeit der Darstellung vorausgesetzt, so folgt aus JX-s, = 0 = £0 • s, sofort a; = 0, also S frei.
Auch der weitere Teil des Satzes ist lediglich eine Interpretation der Definitionen. Daß jedes
F.lement von M in der Form 2>A geschrieben werden kann bedeutet M= £/?•*. Für
seS
l
179
5.3. Freie Moduln
Beweis. Nach Satz 3.3.9 enthält R ein maximales Ideal m und nach dem Korollar zu 3.3.4
ist R/m ein Körper. Wie in 5.1 ausgeführt, wird M/mM zu einem Vektorraum über dem
Körper R/m. Aus M = ( ) Rs mit einer. Basis 5 (vgl. 5.3.4) folgt
ms und damit die
seS
Isomorphie
M/mM = (
vefl-.v'pl ]T R-s haben wir x = a's' = £ a,j f , also 0 = a's' —Va^, woraus a' = oti=0 und
damit .x = 0-folgt. Das ergibt M= (^)R-s. Die zyklischen Moduln R-s sind nach 5.1.9b)
isomorph zu /?/Ann(.v), wobei nun aber der Annullator des freien Elementes 5 trivial ist.
Insgesamt folgt Ms (J) Rs, RS = R. Daß umgekehrt ein solcher Modul frei ist. wurde bereits
seS
in 5.3.3 b) angegeben. D
Korollar 1.RMistfreiüber S«RMs (0 Rs, RS = R.
t«;KI.
Korollar 2. Ist RM endlich erzeugt und frei, dann gibt es «eN mit M^R" = R®R® ••• ©R.
(n Summanden.)
Beweis. Sei A/=<x 1 , . . . , x r ~ y und S eine Basis. xt sind eindeutig darstellbar als xi = '$jx.iisi,
.Vj6S. Da die xt den Modul M erzeugen, haben wir für ein beliebiges meM, m = ^ßtxt =
X/'/a,^., wobei nur endlich viele verschiedene Sj beteiligt sind. Also ist S1 endlich. D
Bemerkung. Ein freier Z-Modul ist nichts anderes als eine freie abelsche Gruppe (vgl. 2.7.).
Wie man sieht, ist die Konstruktion einer freien abelschen Gruppe sehr leicht, man nehme
die direkte Summe der jeweils gewünschten Anzahl Kopien des Z-Moduls Z.
Im Gegensatz zu Vektorraumbasen können Modulbasen durchaus verschiedene Mächtigkeit haben.
Beispiel 5.3.5. Es sei Kein Vektorraum über dem Körper A: mit abzählbar unendlicher Basis {xt,x2,x3 . . . } .
Der Vektorraum W= V®V hat dann auch eine abzählbare Basis. Folglich gibt es eine bijektive
Abbildung /der Basis von V auf die Basis von W (vgl. 1.1). Diese Abbildung wird zu einer ÄMinearen
Abbildung /: V— » W durch /(£«**,): = £aj/(.xj) erweitert. Wir setzen R: = End K K und betrachten die
Abbildung f:R®R-+R definiert durch jf« 0 i>)(x) : = ufj^x)) + v(f2(x)) mit f(x) =fi(x) ®f2(x). Wir zeigen,
daß /ein Isomorphismus der freien Moduln R © R und R ist. Offensichtlich ist /ein Homomorphismus der
/ugrunde liegenden abelschen Gruppen. Es gilt aber auch für reR
f(r • (u ® r))(.r) = rufi(x) + rvf2(x) = rf(u ® v)(x).
Nun sei «©ceKern/ dann folgt u(x) + v( y) = 0 für alle x®yeV®V, denn / ist ja bijektiv; das geht nur
liir n r = 0.
Daß /auch surjektiv ist, sehen wir folgendermaßen: Zu reR betrachten wir g'. = rf~ ' : V®VL -'-> V-^ V
und </, =H\v®a und </2=y\o(Bv Wir ermitteln
/(.'/i ffi V 2 )(-v) = ffifi(x) +
fi2f2(x)
= r/"'(/,(-v)eo) + r/"'(o©/2U))
Somit hat M/mM als A:=Ä/m-Vektorraum eine Basis der Mächtigkeit von S. Aus der Invarianz der Mächtigkeit von Vektorraumbasen folgt nun die Behauptung. D
Die Mächtigkeit einer Basis von RM ist demnach bei kommutativem R mit l eine Invariante
des Moduls, man nennt sie den Rang von RM. RangAf =« bedeutet M^R".
Völlig analog wie für Gruppen (2.7.17) zeigen wir nun:
Satz 5.3.7. Jeder unitäre R-Modul ist homomorphes Bild eines freien R- Moduls.
Beweis. Sei RM ein (unitärer) Ä-Modul. Wir betrachten „den" freien /?-Modul über M,
RF:=0
Rm mit Rm = R für alle meM. Die Abbildung /:„ F-> M, sei definiert durch
meAf
/((OmeM^Zv- (Auf der rechten Seite steht eine Linearkombination in M.) Offensichtlich ist /ein surjektiver /{-Homomorphismus. D
Die freien Moduln haben einige weitere Eigenschaften, die für die Homomorphismen und
für gewisse Untermoduln besonders wichtig sind.
Satz 5.3.8. Es seien RF, RM (unitäre) R- Moduln und RF sei frei. Dann gibt es zu jedem Epimorphismus f:RM-^> RF einen Homomorphismus g:RF^RM mit f-g = Idf und es gilt M =
Beweis. Sei S eine Basis von F. Nach dem Auswahlaxiom gibt es dann zu jedem seS ein
mseM mit f(ms) = s. Man setze nun die Abbildung g:s^>-ms linear fort, d.h. #Q>,s,): =
2>,ms.. Da F frei ist, ist g wohldefiniert; #:F-> M. Offensichtlich gihfg(s)=f(ms)=s für die
Elemente der Basis und damit fg = \AF.
Nun gilt für jedes meM
m = gf(m) + (m- gf(m) )
wobei g(f(m))eg(F) und wegen fg = ld die Elemente der Form m-gf(m) in Kern/ sind.
Damit haben wir erst einmal M=g(F) + Kernf. Für xeg(F) n Kern/ folgt x=g(y), mit yeF
und 0=f(x)=fg(y)=y, also x = 0 und die Summe ist direkt, M=g(F)®Kernf. D
Korollar. Ist N Untcrmodul eines R-Moduls RM, so daß der Faktormodul M/ N frei ist, dann
gibt es einen Untermodul N' von M mit M = N ®N' .
= r(x).
Somit ist R^K®R (als /?-Modul) und folglich R" s Rm für alle m, ne N. Im Gegensatz zu diesem Beispiel
steht das folgende Ergebnis.
Beweis. Wir wenden den Satz an auf den kanonischen Epimorphismus /= 7t : A/-+ M/N mit
Kern n = N. D
SaU 5.3.6. l.il R ein kommutativcr Ring mit l und RM ein freier R- Modul, dann haben je 2
Hasen i<on M die gleiche Mächtigkeit.
Bemerkung. Für viele Untersuchungen kommt man mit den im Satz 5.3.8 angegebenen Eigenschaften aus. Der Satz gilt jedoch nicht nur für freie Moduln. Die Charakterisierung der
H,
180
5. Moduln
fl-Moduln, für die der Satz gilt, führt zum Begriff des projektiven Moduls. Man nennt einen
Ä-Modul P projektiv, wenn für jeden Epimorphismus g:RM^>P der Kern von g ein direkter
Summand von M ist. Die freien Moduln sind demnach projektiv.
Aufgaben 5.3
1. Enthält SsÄM ein Torsionselement, so ist 5 nicht frei.
2. (A/„) M/ sei eine Familie von /{-Moduln. Wann ist l\M, ein freier Modul?
KI
3. Besitzt der Modul RM eine Basis aus « Elementen und eine Basis aus n +1 Elementen, dann gibt es zu
jedem m>n eine Basis mit m Elementen.
4. Man zeige: Sind MlyM2 freie /{-Moduln, dann ist M^®M2 ebenfalls ein freier /{-Modul.
5. R sei ein Ring. P ein /{-Modul. Man beweise die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) P ist projektiv.
b) Zu jedem /{-Homomorphismus /: P—»M' und jedem Epimorphismus g: M—> M' gibt es einen Homomorphismus h :P—> M, so daß folgendes Diagram kommutativ ist (d.h. f=gh).
181
5.4. Noethersche Moduln
Ein triviales Beispiel eines noetherschen Moduls ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum.
Die unendlichdimensionalen Vektorräume sind nicht noethersch. Schlüsse aus der linearen
Algebra in denen die endliche Dimension eines Vektorraums verwendet wird, lassen sich
häufig auf noethersche Moduln übertragen.
Satz 5.4.3. Untermoduln und epimorphe Bilder noetherscher Moduln sind noethersch.
Beweis. Es sei M noethersch und U ein Untermodul von M. Da jeder Untermodul W von U
auch ein Untermodul von M ist, ist W endlich erzeugt. Nach 5.4.1 c) ist U noethersch. Nach
dem Homomorphiesatz ist die andere Aussage des Satzes äquivalent mit der Feststellung, daß
auch jeder Faktormodul M/U noethersch ist. Nun sei n: M— * M/U der kanonische Epimorphismus und es sei V ein Untermodul von M/ U. Dann ist n~l(V) ein Untermodul von M,
welcher nach Voraussetzung endlich erzeugt iät; sagen wir die Erzeugenden seien a,, . .., ak.
Dann wird V erzeugt von at+U(l <i<k). Also ist auch M/U noethersch. D
Von diesem Satz gilt auch die Umkehrung.
Satz 5.4.4. Ist M ein R-Modul und U ein Untermodul von M und sind U und M/U noethersch,
so ist auch M noethersch.
M -f M' ->0
c) Es gibt einen /{-Modul RM, so daß M@P ein freier Modul ist.
5.4. Noethersche Moduln
Die für Ringe günstigen Begriffe, die man auch für den Modul RR einfach ausdrücken kann,
besitzen meist eine Verallgemeinerung für beliebige Moduln. Hier wollen wir die Ergebnisse
aus 3.4 auf Moduln übertragen. Wir wollen auch weiterhin stets l eR und alle Moduln unitär
annehmen.
Beweis. Es sei t/,£t/ 2 c ... c[/.c ... eine aufsteigende Kette von Untermoduln von M.
Setzen wir U', : = U( n U und U": = (Ut+ U)/U, dann bilden die U[ bzw. U- aufsteigende Ketten
von Untermoduln in U bzw. M /U, und werden nach Voraussetzung stationär. Sei U'k = U'k+J
und U',' = Ui'+j für alle/ Wir behaupten nun, daß für n: = max [l, k} gilt U„=U, für alle t>n.
Sei also t >n und xe Ut Wegen (U, + U)/U=(U„ + f/)/t/gibt es>>e U„, so daß gilt x + U=y + U,
bzw. hierzu äquivalent x-yeU. Nun ist wegen U„^U, natürlich auch yeU, und folglich
x—yeU,r^U=U', = U'„. Da y bereits aus U„ stammt, erhalten wir damit xeU„, d.h. U,^U„,
also U,= U„. D
Koroilar. Eine endliche direkte Summe noetherscher Moduln ist noethersch.
Satz 5.4.1. Es sei R ein Ring und R M ein R-Modul. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent.
a) Jede aufsteigende Kette A^SA^S • • • £A ? l eAf / t + 1 £ ••• von Untermoduln von M wird
stationär; d.h. es gilt N, = Nk für ein l und alle k>l.
b) Jede nichtleere Teilmenge von Untermoduln von M besitzt ein maximales Element (bez.
Inklusion).
c) Jeder Untermodul ist endlich erzeugt.
Beweis. Wir beweisen diese Aussage für die Summe zweier Moduln, der Rest ist dann eine
einfache Induktion. Seien R U, R V noethersche Ä-Moduln. Nach dem ersten Isomorphiesatz
gilt
(U ® V)/V * U.
Also ist von der Summe U ® V der Untermodul V und der Faktormodul (U @ V)/ V noethersch. Nach dem Satz ist dann auch U @ V noethersch. D
Der Beweis kann (fast) wörtlich von 3.4 übertragen werden.
Definition 5.4.2. Ein Ä-Modul RM, der eine (und damit jede) Bedingung des Satzes 5.4.1
erfüllt, heißt ein noetherscher Modul. Ist der Ring R als Ä-Linksmodul noethersch, so heißt
R ein linksnoetherscher Ring.
Bemerkungen. Ein linksnoetherscher Ring ist auch noethersch im Sinne von 3.4. Da natürlich
alle Begriffe und Sätze für Linksmoduln Analoga für Rechtsmoduln besitzen, gibt es auch
rechtsnoethersche Ring. Ein noetherscher Ring braucht i.a. weder links- noch rechtsnoethersch zu sein. Die Bezeichnungen sind in der Literatur nicht ganz einheitlich. Wenn der
Begriff noetherscher Ring auftaucht, muß man meist nachsehen, ob die Bedingungen für
Ideale oder Links- bzw. Rechtsideale formuliert sind.
Als wichtige Anwendung hiervon erhalten wir ein Ergebnis, das uns eine große Klasse von
Beispielen für noethersche Moduln liefert.
Satz 5.4.5. Ein endlich erzeugter Linksmodul RM über einem linksnoetherschen Ring R ist
noethersch.
n
Beweis. Sei R M = <o, , . . . , a„> und F= R" = (J)/}, = {K , . . . , <x„) | a,.eÄ } der freie /{-Modul
;= i
vom Rang n. Nach dem vorhergehenden Koroilar und der Voraussetzung an R ist Fnoethersch.
Mittels der Abbildung /: F-> M, /(«j , . . . , <x„) : = JXa, erhält man M als epimorphes Bild des
noetherschen Moduls F. Damit ist nach 5.4.3 der Modul M noethersch. D