institut für theoretische physik - Technische Universität Braunschweig

Prof. Dr. U. Motschmann
Dipl.-Phys. S. Simon
INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG
Physikalische Rechenmethoden I
WiSe 2005/2006
11. Übungsblatt
Besprechung am Mittwoch, d. 18.01.06
Fragen zu den Übungsaufgaben:
Sven Simon, Raum A317, Tel. 391-5187, [email protected]
Joachim Müller, Raum A225, Tel. 391-5183, [email protected]
36. Integralsatz von Stokes
Es sei F ⊆ R3 eine beliebig geformte Fläche und (F ) deren Randkurve. Gegeben sei zudem ein Vektorfeld
A(x, y, z). Dann besagt der Integralsatz von Stokes
Z
Z
rot A · dO =
A · dr .
(F )
F
Für einige Beispiele soll diese Formel explizit nachgerechnet werden:
(a) für das Vektorfeld
A=
4
x − 2y, 3y − x, 0
3
und die Ellipse
E=
(x, y, z) ∈ R
3
x 2 y 2
+
≤ 1 und z = 0
3
2
,
(b) sowie für das Vektorfeld A = (y − x, −y, 1) und ein Dreieck mit den Ecken (0, 0, 0), (1, 0, 0) und
(0, 1, 0).
37. Flächenberechnung mit dem Satz von Stokes
Betrachten Sie das Vektorfeld


−y
1
x 
F =
2
0
und eine beliebige, geschlossene Kurve C in der (x, y)-Ebene.
H
(a) Zeigen Sie, daß durch das Linienintegral C F · dr der Inhalt der orientierten, von C eingeschlossenen
Fläche gegeben ist.
(b) Verifizieren Sie diese Aussage für die Kurve

cos(t)
C : [0, 2π[ 3 t →
7 r(t) =  21 sin(2t) 
0

(c) und für ein Dreieck, dessen einer Eckpunkt im Ursprung liege.
38. Coulomb-Potential
Das Coulomb-Potential einer Punktladung q am Ort 0 lautet
Φ (r) =
α
r
mit
α=
q
4π0
und r = |r| =
p
x2 + y 2 + z 2
.
(a) Stellen Sie die Taylorreihe von Φ (r) um den Punkt r = r 0 6= 0 bis zur zweiten Ordnung auf.
(b) Geben Sie das zugehörige elektrische Feld E = −∇Φ an.
(c) Skizzieren Sie die Feldlinien und die Äquipotentialflächen.
(d) Ermitteln Sie 4Φ für r > 0 und verifizieren Sie den Gaußschen Satz für das Vektorfeld E und die
Gebiete K1 = {r | 0 < ≤ r ≤ R} bzw. K2 = {r | r ≤ R}. Geben Sie 4Φ bzw. div E für beliebige r
an.