Höhere Mathematik I - Höhere Mathematik an der TUM

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. P. Vachenauer
Dr. M. Kaplan
WS 2000/01
Blatt 11
Höhere Mathematik I
Informatik
Zentralübung
Z 35 a) Welche rationalen Zahlen
a
kommen als Nullstellen des Polynoms
b
p(x) = x5 − x4 − 3x2 − x − 2
überhaupt in Frage? Man teste diese Kandidaten mit dem Horner-Schema
und berechne damit die vollständige Faktorisierung von p über Q .
b) Man bestätige, dass i ∈ C eine weitere Nullstelle von p ist und berechne
davon ausgehend die vollständige Faktorisierung von p über C .
Z 36) Man zerlege die folgenden Polynome jeweils in Produkte irreduzibler Polynome:
R[x] und in Z2 [x] ,
Q[x] , R[x] und in C[x] .
a) x3 + x2 + x + 1 in
b) x4 + x2 + 1 in
Tutorübungen
T 40 a) Es sei f ∈ K[x] ein Polynom mit 2 ≤ Grad f ≤ 3 . Man zeige: f ist genau
dann irreduzibel über K , wenn f in K keine Nullstelle besitzt.
b) Die Aussage aus a) gilt nicht bei größerem Grad. Zum Nachweis finde man
für jedes n ≥ 4 ein Polynom pn ∈ Q[x] vom Grad n , das in Q keine
Nullstelle hat, aber nicht irreduzibel über Q ist.
T 41) Man zerlege die folgenden Polynome jeweils in Produkte irreduzibler Polynome:
Z3 [x] ,
in Q[x] , R[x]
a) x4 + x3 − x2 + x + 1 in
b) x4 + x3 + 2 x2 + x + 1
und
C[x] .
T 42) Das Galois-Feld GF(9)
a) Man bestimme die drei normierten irreduziblen quadratischen Polynome p1 ,
p2 und p3 über Z3 .
b) Man bestätige x9 − x = x(x − 1)(x − 2)p1 (x)p2 (x)p3 (x) über
c) Man bestimme den Zerfällungskörper L von x2 + 1 über
seine Verknüpfungstafeln für + und · auf.
d) Man bestätige, dass
L
Z3 .
Z3 und
stelle
der Zerfällungskörper von x9 − x ist.
Bitte wenden !
Hausaufgaben (Abgabe: 22. Januar 2001, 13 Uhr)
H 39) Man berechne mit dem Taschenrechner den Wert des Polynoms
p(x) = x4 − 4 · 103 x3 + 6 · 106 x2 − 4 · 109 x + 1012
an den Stellen x1 = 1001 und x2 = 1011
–
einmal durch direktes Einsetzen,
–
das andere Mal mit dem Hornerschema.
H 40) Man bestimme die rationalen Nullstellen von
q(x) = 6x4 − 7x3 + 8x2 − 7x + 2
C.
H 41) Betrachtet wird der endliche Körper Zp
und faktorisiere q vollständig über
für eine beliebige Primzahl p .
Man zeige:
a) Jedes x ∈ Zp ist eine Nullstelle des Polynoms xp − x .
b) Für alle x, y ∈ Zp gilt (x + y)p = xp + y p .
c) In
Zp [x]
gibt es genau
p2 − p
irreduzible Polynome x2 + ax + b .
2
H 42) Das Galois-Feld GF(8)
a) Man bestimme alle irreduziblen Polynome p1 , . . . , pk vom Grad 3 über
b) Man bestätige x8 − x = x(x + 1)p1 (x) · · · pk (x) über
Z2 .
c) Man bestimme den Zerfällungskörper L von x3 + x + 1 über
seine Verknüpfungstafeln für + und · auf.
d) Man bestätige, dass
L
Z2
Z2 .
und stelle
der Zerfällungskörper von x8 − x ist.
Anmeldung zur Semesterabschlussklausur am 24.1.2001
Wann: Nur in der Zeit von 8.01. bis 15.01.2001
Wo:
An den Sun- bzw. Ray-Rechnern der Informatikhallen
Wie:
login:
hm1
Passwort: (keines)
Es erscheint eine Eingabemaske. Diese bitte vollständig ausfüllen und abschicken. Einschränkung: Login funktioniert nicht remote.
Anmeldung bei Abwesenheit in dieser Woche per email an [email protected]
mit allen Angaben zur Person (Name, Vorname, Matrikel, Semester, Studiengang) und zum Prüfungstyp (PO 2000 oder PO 1996 oder Bachelor).