Lösung 5 - D-MATH

Orbital Dynamics, D-MAVT
Prof. Dr. D. Stoffer
ETH Zurich, FS 15
Lösung 5
1. Aufstieg in einem konstanten Gravitationsfeld
a)
−ṁ(t) =
Km0 g
c
(
Kg )
m(t) = m0 1 −
t
c
=⇒
so dass
te =
c (
1)
1−
.
Kg
Z
b)
v̇(t) =
c
Km0 g
−g =
− g,
m(t)
c
−t
Kg
Integration mit v(0) = 0:
(
Kg )
v(t) = −c log 1 −
t − g t.
c
(
1)
c
1−
.
v(te ) = c log Z −
K
Z
c)
∫t
h(t) =
ds v(s) =
(
c2 (
Kg )
Kg )
1
1−
t log 1 −
t + ct − g t2
Kg
c
c
2
0
h(te ) =
)
c2 (
1
Z − 1 − log Z −
(Z − 1)2 .
ZKg
2KZ
d) Energieerhaltung im freien Fall
v(te )2
+ g h(te ) = g hmax
2
=⇒
hmax = h(te ) +
te = 190.2 s, ve = 2.639 km/s, he = 140.8 km, hmax = 495.9 km.
1
v(te )2
.
2g
2. Startschwierigkeiten
Der Start erfolgt erst zur Zeit t1 = c/g: dann nämlich ist m(t1 ) g gleich dem Schub.
3. Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung
Sei g(x, y) = x2 − 3x + y 2 . Die Kurve g(x, y) = 0 ist ein Kreis K mit dem Mittelpunkt
(1.5, 0) und dem Radius 1.5.
Die Funktion, deren Extrema wir suchen, ist z(x, y) = (x + y)2 . Sie ist nicht-negativ und
verschwindet nur auf der Geraden x + y = 0. Diese Gerade schneidet den Kreis K in
den Punkten (0, 0) und (1.5, −1.5). z beträgt in beiden Punkten zmin = 0. Die Funktion
z(x, y) ist konstant auf den zu x + y = 0 parallelen Geraden.
Wenn (x, y) mit g(x, y) = 0 ein Extremum von z(x, y) ist, so muss es eine reelle Zahl λ
geben, mit (∇z)(x, y) = λ(∇g)(x, y), d.h.
x + y = λ(x − 1.5),
x + y = λy.
Wir unterscheiden zwei Fälle:
• λ = 0: der Fall x + y = 0, entsprechend z(0, 0) = 0 und z(1.5, −1.5) = 0;
√
√
√ 2
• λ ̸= 0: der Fall y =√x − 1.5, entsprechend
z(1.5
+
0.75
2,
0.75
2)
=
(1.5
+
1.5
2)
√
√
sowie z(1.5 − 0.75 2, −0.75 2) = (1.5 − 1.5 2)2 .
Es ergibt sich also
zmin = 0
und
√
√
zmax = (1.5 + 1.5 2)2 = 6.75 + 4.5 2.
2
4. Nickmanöver einer Rakete
Nickmanöver in 100 m Höhe, σ 0 = 0 kg/m3
300
-0.0°, 6071 [m/s]
-0.2°, 6100 [m/s]
-0.4°, 6183 [m/s]
250
-0.6°, 6300 [m/s]
-0.8°, 6438 [m/s]
h [km]
200
-1.0°, 6584 [m/s]
150
-1.2°, 6729 [m/s]
100
-1.4°, 6867 [m/s]
-1.6°, 6998 [m/s]
50
-1.8°, 7121 [m/s]
-2.0°, 7270 [m/s]
0
0
50
100
150
200
250
R0 *φ [km]
300
350
400
450
Nickmanöver in 100 m Höhe, σ 0 = 1.3 kg/m 3
300
-0.0°, 6031 [m/s]
-0.2°, 6065 [m/s]
-0.4°, 6158 [m/s]
250
-0.6°, 6287 [m/s]
200
h [km]
-0.8°, 6436 [m/s]
150
-1.0°, 6588 [m/s]
-1.2°, 6733 [m/s]
100
-1.4°, 6858 [m/s]
50
-1.6°, 6789 [m/s]
0
0
50
100
150
-1.8°, 3977 [m/s]
-2.0°, 1291 [m/s]
200
250
300
350
400
R0 *φ [km]
3
450