Theoretische Physik
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Technische Universität Chemnitz Institut für Physik Prof. Dr. A. Thränhardt Wintersemester 2013/14 Di, 26.11.2013 Theoretische Physik 8. Übungsblatt Abgabe: Donnerstag, 05.12.2013, in der Vorlesung Kugelflächenfunktionen, Übergänge im Wasserstoffatom 13. Aufgabe (10 Punkte) Die Kugelflächenfunktionen Ylm genügen der Differentialgleichung 4θ,ϕ Ylm (θ, ϕ) = −l(l + 1)Ylm (θ, ϕ) wobei l = 0, 1, 2, . . . und m = −l, . . . , −1, 0, 1, . . . , l die jeweilige Kugelflächenfunktion bezeichnet. Die Kugelflächenfunktionen lassen sich mit s (2l + 1)(l − m)! m Pl (cos θ)eimϕ Ylm (θ, ϕ) = (−1)m 4π(l + m)! Plm (z) = (1 − z 2 )m/2 dm Pl (z) dz m berechnen, wobei Pl die Legendre-Polynome sind, die der Differentialgleichung d 2 d (1 − z ) Pl (z) + l(l + 1)Pl (z) = 0 dz dz genügen. Eine Darstellungsformel für die Pl kann mit Pl (z) = 1 dl 2 (z − 1)l , 2l l! dz l z ∈ (−1; 1) angegeben werden. a) Zeigen Sie die Orthogonalität der Legendre-Polynome und berechnen Sie deren Normierungsintegral. Anleitung: Zum Beweis der Orthogonalität von Pn , Pl nutze man die Differentialgleichung für Pl und multipliziere mit Pn ! Entsprechend multipliziere man die Gleichung für Pn mit Pl ! Anschließend subtrahiert man beide Gleichungen voneinander und integriert von −1 bis +1. Die Berechnung des Normierungsintegrals kann mit Hilfe partieller Integration und der obigen Darstellungsformel erfolgen. b) Berechnen Sie explizit Y21 und zeigen Sie, dass die Funktion auf Eins normiert ist! 14. Aufgabe (10 Punkte) Die Übergangswahrscheinlichkeit, die durch ein räumlich konstantes elektrisches Feld zwischen zwei elektronischen Eigenzuständen in einem Atom induziert wird, ist durch Matrixelemente des Ortsvektors mit den entsprechenden Eigenzuständen bestimmt (Dipolmoment). Das Dipolmoment zwischen zwei Zuständen ist mit Z Dnlm,n0 l0 m0 = e d3 r ϕ∗nlm (r) r ϕn0 l0 m0 (r) definiert (e ist die Elementarladung). a) Berechnen Sie die z-Komponente des Dipolmoments für den ersten Übergang der Lyman-Serie im Wasserstoffatom (Übergänge ϕnlm → ϕn0 l0 m0 mit n = 1, l = 0, m = 0 nach n0 = 2, l0 = 0, m0 = 0; n0 = 2, l0 = 1, m0 = 0 und n0 = 2, l0 = 1, m0 = ±1). Welche Übergänge haben eine von Null verschiedende Wahrscheinlichkeit? Untersuchen Sie, wann die z-Komponente des Dipolmoments nicht verschwindet, indem Sie die Winkelintegration des Matrixelements für beliebige Eigenfunktionen ϕnlm , ϕn0 l0 m0 allgemein auswerten. m Hinweis: Für die zugeordneten Legendre-Polynome gilt xPlm (x) = alm Pl+1 (x) + m blm Pl−1 (x), wobei alm , blm Zahlen sind. b) Untersuchen Sie auch das Verhalten der x- und der y- Komponente des Dipolmoments. Hinweis: Berechnen Sie zweckmäßigerweise die Komponenten der Linearkombina√ m+1 m+1 m 2 (x) + βlm Pl−1 (x), wobei tion x + iy und x − iy. Es gilt 1 − x Pl (x) = αlm Pl+1 αlm , βlm Zahlen sind. R c) Berechnen Sie e d3 r ϕ∗100 (r) (x ± iy) ϕ21±1 (r)!
