Universität Stuttgart Nachklausur Lineare Algebra und Analytische

Universität Stuttgart
20.2.2015
Fachbereich Mathematik
Prof. U. Semmelmann
Nachklausur Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
NAME:
MATRIKELNUMMER:
VORNAME:
STUDIENGANG:
Matthias Breckner
Arne Geyer
TUTOR:
Daniela Maier
Dominik Wittwar
AUFGABE
3
1
2
Vanda Eggert Fabian Hartkopf Clemens Maier 4
5
Mišo Gavrilovic Ernest Keib Cornelia Vogel 6
Summe
PUNKTE
• Achten Sie auf saubere Darstellung.
• Für die Klausur gibt es insgesamt 25 Punkte. Die Klausur ist mit 10 Punkten bestanden.
• Sie haben 90 Minuten Zeit.
• Die Klausuren können voraussichtlich ab Mittwoch, den 25.2.2015 bei Friederike Stoll abgeholt
werden.
• Viel Erfolg!
Aufgabe 1 (3 Punkte):

1
1
Berechnen Sie die (multiplikative) Inverse der reellen Matrix A = 
0
2
1
2
1
1

0 −1
0 0
.
1 −1
0 −2
Aufgabe 2 (5 Punkte):
Es sei V ein Vektorraum und F ein Endomorphismus von V . Für n ∈ N bezeichne F n = F
| ◦F ◦F
{z◦ · · · ◦ F}
n-mal
die n-malige Hintereinanderausführung von F .
a) Zeigen Sie, dass für k ∈ N gilt: Ker(F k ) ⊆ Ker(F k+1 ).
b) Seien v ∈ V und k ∈ N. Zeigen Sie, dass v ∈ Ker(F k+1 ) genau dann gilt, wenn F (v) ∈ Ker(F k )
ist.
c) Es sei k ∈ N mit Ker(F k ) = Ker(F k+1 ).
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass Ker(F k ) = Ker(F k+j ) für alle j ∈ N gilt.
Aufgabe 3 (5 Punkte):
Es seien V und W Vektorräume und X ein Unterraum von W . Desweiteren sei F : V → W eine lineare
Abbildung.
a) Zeigen Sie, dass durch
u∼v
←→
F (u − v) ∈ X
für u, v ∈ V eine Äquivalenzrelation ∼ auf V definiert wird.
b) Sei im konkreten Fall V = R2 , W = Abb(R, R) der Vektorraum der Abbildungen
von R nach R
λ1
und X = {f ∈ W | f (1) = 0}, sowie F : V → W gegeben durch F λ2 (x) = λ1 x + λ2 x2
für λλ12 ∈ R2 , x ∈ R. Bestimmen Sie die Äquivalenzklasse von ( 10 ) bezüglich ∼ und skizzieren
Sie diese in der reellen Zeichenebene.
Aufgabe 4 (4 Punkte):
Es seien V und W endlich-dimensionale Vektorräume über einem Körper K mit dimK V = n und
dimK W = m. Desweiteren sei F : V → W eine lineare Abbildung.
a) Zeigen Sie, dass F genau dann surjektiv ist, wenn dimK (Ker(F )) = n − m gilt.
b) Zeigen Sie, dass F nicht bijektiv ist, falls n 6= m ist.
Aufgabe 5 (4 Punkte):


−1 4
2
1 .
Gegeben Sie die reelle Matrix A = −1 3
0 −4 −3
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und Basen der zugehörigen Eigenräume.
b) Ist A diagonalisierbar?
Aufgabe 6 (4 Punkte):
Gegeben seien die Vektoren
 
 
 
 
3
1
2
4
1
0
0
1
4
 

 
 
v1 = 
0 , v2 = 1 , v3 = −1 , v4 = 1 ∈ R .
1
0
1
1
Es sei U = spanR (v1 , v2 , v3 , v4 ) der von diesen Vektoren aufgespannte Unterraum des R4 .
a) Bestimmen Sie mit dem Verfahren von Gram und Schmidt eine Orthonormalbasis von U bezüglich
des Standardskalarprodukts.
b) Schreiben Sie v4 als Linearkombination der in (a) berechneten Orthonormalbasis.