Projekte, IU PAM (2004/2005)

Projekte, IU PAM (2004/2005)
Projekt 10, Die Kettenlinie
Vorschlag für das Vorgehen
a) Studieren Sie die Herleitung der Differenzialgleichung (siehe beiliegende Kopien).
b) Schreiben Sie ein Simulationsprogramm in Visual Basic, welches die Kettenlinie
näherungsweise berechnet. Verwenden Sie das Eulerverfahren.
Anfangsbedingungen: y(0) = 0, y‘(0) = 0 (tiefster Punkt der Kette)
c) Überprüfen Sie Ihr Programm, in dem Sie mit der analytischen Lösung vergleichen (siehe
Unterlagen). Stellen Sie beide Lösungen in einer Grafik dar.
d) Fotografieren Sie mit einer Digitalkamera eine hängende Kette und vergleichen Sie Theorie und
Messung.
e) Erweitern Sie die Simulation und die Messung auf den Fall ungleich hoher Aufhängepunkte und
eventuell auf den Fall einer belasteten Kette.
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Projekt 8, Das himmelsmechanische Dreikörperproblem
Vorschlag für das Vorgehen
Folgender (relativ einfache) Spezialfall ist vermutlich als Einstieg geeignet:
Zwei Planeten mit den Massen m1 und m2 sollen sich ohne gegenseitige Wechselwirkung auf
Kreisbahnen um eine (ruhende) Sonne mit der Masse M bewegen. Beide Planetenbahnen sollen sich
in der selben Ebene befinden (zweidimensionales Problem).
Die Kräfte lassen sich nach dem Gravitationsgesetz berechnen:
Arbeiten Sie in kartesischen Koordinaten: Planet 1
F
m1  m 2
r2
( x1 / y1) Planet 2 ( x 2 / y 2 )
a) Formulieren Sie die Bewegungsgleichungen für die beiden Planeten. Abstand nach Pythagoras.
Wenn Sie Schwierigkeiten mit der Komponentenzerlegung haben, dann fragen Sie.
b) Schreiben Sie ein Simulationsprogramm in Visual Basic, welches die Planetenpositionen als
Funktion der Zeit berechnet. Verwenden Sie das Eulerverfahren.
Die Anfangsbedingungen und die Schrittweite sollen einstellbar sein.
c) Stellen Sie die Bahnen graphisch dar (eventuell Animation). Grafik in Visual Basic oder mit
externem Programm.
d) Studieren Sie, unter welchen Bedingungen die Abweichungen von den Kreisbahnen stark sind.
e) Erweitern Sie Ihre Simulation auf mehrere Planeten oder auf dreidimensionale Bewegung.
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Projekt 9, Populationsdynamik
Vorschlag für das Vorgehen
Es sollen Modelle untersucht werden, bei denen die Veränderung der Population verschiedener
Lebewesen durch Differenzialgleichungen beschreiben werden.
Zwei klassische Modelle sind für den Einstieg empfehlenswert:
a) Logistisches Wachstum:
Auf einer Insel leben Hasen [Anzahl y(t)]. Auf der Insel können wegen des beschränkten Futters
höchstens M Hasen leben.
Fortpflanzungsgesetz:
 y( t ) 
y' ( t )  c   1 
  y( t )
M 

Begründung ?
Schreiben Sie ein Simulationsprogramm in Visual Basic, welches die Population als Funktion
der Zeit berechnet. Verwenden Sie das Eulerverfahren.
Die Anfangsbedingungen und die Schrittweite sollen einstellbar sein.
Stellen Sie die Wachstumskurve für verschiedene Anfangsbedingungen graphisch dar.
b) Hasen und Füchse
Nun kommen noch Füchse, die gerne Hasen fressen, auf die Insel !
Anzahl Füchse z(t). Wir brauchen zwei Differenzialgleichungen (Lotka-Volterra).
 y( t ) 
y' ( t )  C   1 
  y( t )  D  z( t )  y( t )
M 

z' ( t )  F  y( t )  z( t )  G  z( t )
Interpretieren Sie die verschiedenen Terme.
c) Erweitern Sie Ihr Programm aus a) gemäss Modell b)
Empfehlenswertes Zahlenbeispiel:
y(0) = 2000, C = 0.1, M = 4000, D = 0.005
Z(0) = 10, F = 0.00005, G = 0.025
Stellen Sie y(t) und z(t) graphisch dar. Untersuchen Sie die Ergebnisse, wenn Sie die Parameter
des Modell verändern.
Interessant ist auch die graphische Darstellung: z(y)
d) Erfinden Sie selbst Populationsmodelle (zum Beispiel mit 3 Tierarten).
Untersuchen Sie diese mit geeigneten Simulationen.
Eventuell hilft eine Suche im Internet
Bsp:
www.eco.umnw.ethz.ch/students/ ws04-05/doc701-0273-00L/701-0273-00L_03.pdf
www.bitoek.uni-bayreuth.de/bitoek/ en/lehre/lehre/lehre_detail.php
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Projekt 11, Hundekurven (Verfolgungsprobleme)
Vorschlag für das Vorgehen
Beginnen Sie mit dem klassischen Problem der Traktrix:
Ein Mensch bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung und führt einen Hund an einer
Leine mit konstanter Länge. Auf welcher Kurve bewegt sich der Hund ?
a) Studieren Sie die Differenzialgleichung auf dem beiliegenden Blatt. (Begründung ?)
b) Schreiben Sie ein Simulationsprogramm in Visual Basic, welches die Hundepositionen als
Funktion der Zeit berechnet. Verwenden Sie das Eulerverfahren.
Die Anfangsbedingungen und die Schrittweite sollen einstellbar sein.
c) Stellen Sie die Kurven graphisch dar (eventuell Animation). Grafik in Visual Basic oder mit
externem Programm. Vergleichen Sie mit der analytischen Lösung (siehe Blatt).
d) Erweitern Sie ihre Simulation auf den Fall, in dem sich der Hundehalter selbst auf einer Kurve
bewegt. Beginnen Sie mit dem Kreis.
e) Erfinden Sie selbst weitere Verfolgungsprobleme.
Interessant ist zum Beispiel noch der Fall, bei dem sich der Hund mit konstanter Geschwindigkeit
bewegt. Es dürfen auch mehr als 2 Objekte vorkommen.
Im Internet finden Sie weitere Anregungen.
Bsp. http://did.mat.uni-bayreuth.de/geonet/beispiele/verfolgung_za/