4 Aufgabe 4 5 Aufgabe 5

a) 2000 K, Leistung pro Hz (oder pro Wellenlängeintervall (dλ = 1 nm)) und abstrahlender
Fläche
P (3 µm) = 4.6 × 10−9 W / m2 Hz
=154 W / m2 nm
P (555 nm) = 1.7 × 10−11 W / m2 Hz
=17 W / m2 nm
b) 5777 K, Leistung pro Hz (oder pro Wellenlängeintervall (dλ = 1 nm)) und abstrahlender
Fläche
P (3 µm) = 3.6 × 10−8 W / m2 Hz
=1.2 × 103 W / m2 nm
P (555 nm) = 8.3 × 10−8 W / m2 Hz
=8.1 × 104 W / m2 nm
4 Aufgabe 4
Drei Teilchen, Elektron, Muon und α-Teilchen, alle mit der Energie von E = 5 eV, bewegen sich
in positiver Richtung der x-Achse und treffen dabei auf eine rechtwinklige Potentialbarriere
der Höhe U = 10 eV und der Breite l = 2 pm. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des
Durchgangs aller Teilchen durch diese Barriere! (4 Punkte)
Lösung Transmissionkoeffizient T , Massu Myon mµ = 0.113 amu (atomic mass unit), Masse
α = 4 amu, T aus Vorlesung
T =
1
κ2
1 + 1 + 4 sinh2 (kb l)
√
2mE
k0 =
p~
2m(U − E)
kB =
~
kB2 − k02
κ=
kB k0
T = 0.99948
Elektron
= 0.43409
Myon
= 0.076845
α
5 Aufgabe 5
Da ein mit a beschleunigtes Elektron nach der klassischen Elektrodynamik die Leistung
P =
e2 a 2
6πǫ0 c3
abstrahlt, müsste es in den Kern stürzen. Berechnen Sie die klassische Lebensdauer eines
Elektrons im Abstand (a0 ) der ersten Bohr’schen Bahn als die Zeit t, in welcher der Abstand
zum Kern Null wird! (4 Punkte)
Lösung Geschwindigkeit v, Masse me , Ladung e, Radius r,
Note: Virialsatz: Ekin = −Epot /2 folgt ebenfalls aus Felekt = Fcentri
3
∂E
∂t
a = a(r)
P =−
a = Felektr /me
e2
4me πǫ0 r2
e2 1
me v 2
−
E=
2
4πǫ0 r(t)
1
e2
=−
2 4πǫ0 r(t)
=
mit Virialsatz: Ekin = −Epot /2
1 e2 ∂ 1
e2 a 2
=
−
6πǫ0 c3
2 4πǫ0 ∂t r(t)
2
2
2
e
1 e2 1
e
∂t r
=
+
6πǫ0 c3 4πme ǫ0 r2
2 4πǫ0 r2
e4
∂t r =
12π 2 ǫ20 c3 m2e r2
e4
dt
r2 dr =
···
1 3
e4
r =
t + const
3
···
Trennung der Variablen
const= a30 /3 so dass r(t = 0) = a0
Für r = 0 folgt
12π 2 ǫ20 c3 m2e 3
a0
3e4
= 15.6 ps
t=
6 Aufgabe 6
Betrachten Sie die Carboxylgruppe (C=O, Doppelbindung) als harmonischen Oszillator (Kraftkonstante k = 1250 N/m). Bestimmen Sie die Nullpunktsenergie, E0 , und die Energiedifferenz
zwischen Grundzustand und erstem angeregten Zustand, ∆E01 ! (3 Punkte)
Lösung amu: atomic mass unit,
s
k
ω=
mred
16 × 12
amu
mred =
16 + 12
1
E0 = ~ω
2
= 1.75 × 10−20 J = 0.11 eV = 890 cm−1
∆E01 = ~ω
= 3.5 J = 0.22 eV = 1780 cm−1
4
7 Aufgabe 7
Das in Aufgabe 6 beschriebene Quasiteilchen (C=O Vibron) sei in einem eindimensionalen
unendlichen Potentialkasten mit einer Länge von l = 30 pm gefangen. Bestimmen Sie die
Nullpunktsenergie, E0 , und die Energiedifferenz zwischen Grundzustand und erstem angeregten Zustand, ∆E01 ! Wie groß sind seine minimalen Unschärfen des Impulses, ∆p, und der
Geschwindigkeit, ∆v? (5 Punkte)
Lösung Beachte vorherige Aufgabe! n = 1, 2; Note: Die “Ausdehnung” der Wellenfunktion
im Grundzustand (bis hin zu Ψ2 ≈ Ψ2max /e) beträgt in etwa 30 pm.
∆x = 30 pm
h2
(n + 1)2
8mred l2
E0 = 5.36 × 10−21 J = 0.033 eV = 273 cm−1
En =
∆E01 = 1.6 × 10−20 J = 0.1 eV = 820 cm−1
∆x = 30 pm
∆x∆p ≤ ~/2
~
∆p ≤
2∆x
≤ 1.76 × 10−24 kgm s−1
~
∆v ≤
2∆xmred
= 154 m s−1
5