Ubungsblatt 2 - Goethe

Elementarmathematik II
Dr. André Kappes
Matteo Costantini
Jonathan Zachhuber
Goethe-Universität Frankfurt
Institut für Mathematik
Sommersemester 2015
20. April 2015
Übungsblatt 2
Aufgabe 1 (2 Punkte)
Sei an n∈N eine beschränkte Folge und bn n∈N eine Nullfolge. Zeigen Sie, dass dann auch
an · bn n∈N eine Nullfolge ist.
Aufgabe 2 (5 Punkte)
(a) Berechnen Sie (unter Angabe des Lösungsweges!) die Dezimalbruchdarstellung der folgenden rationalen Zahlen:
(i)
5
,
8
(ii)
1
und
7
(b) Berechnen Sie die Bruchdarstellung
(i) 0, 256,
(iii)
13
.
75
p
der folgenden Dezimalbrüche:
q
(ii) 0, 7 und
(iii) 0, 132.
(c) Sei d ∈ N ein Teiler von 10k für ein k ∈ N.
1
als endlicher Dezimalbruch dargestellt werden kann.
d
(d) Sei d ∈ N zu 10 teilerfremd (d.h. ggT(d, 10) = 1).
Zeigen Sie, dass
1
eine rein periodische (d.h. ohne Vorperiode) Darstellung besitzt.
d
Hinweis: Verwenden Sie (ohne Beweis), dass es für solche d ein k ∈ N gibt, so dass d
ein Teiler von 10k − 1 ist.
Zeigen Sie, dass
Aufgabe 3 (5 Punkte)
(a) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für jedes n ∈ N0 ,
n
X
k=0
qk =
1 − q n+1
, für alle q ∈ Q, gilt.
1−q
(b) Für n ∈ N definieren wir:
Sn =
n X
1
k=1
1
−
k k+1
.
Zeigen Sie, dass die Folge (Sn )n∈N für n → ∞ konvergiert und bestimmen Sie den
Grenzwert.
(c) Lösen Sie das Paradoxon“ von Achilles und der Schildkröte.
”
Achilles und die Schildkröte machen einen Wettlauf. Achilles gewährt der Schildkröte
einen Vorsprung von 100 Metern. Nehmen wir an, dass beide Läufer jeweils eine konstante Geschwinigkeit haben, wobei Achilles zehn mal so schnell läuft, wie die Schildkröte.
Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen.
In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch ein
Zehntel des ursprünglichen, Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen
muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen, wieder nur ein
Zehntel des vorherigen, Vorsprung gewonnen, und so weiter.
Wieso überholt Achilles die Schildkröte trotzdem? Wann wird Achilles die Schildkröte
erreichen?
Hinweis: Verwenden Sie die geometrische Reihe.
Abgabe bis 12 Uhr am Montag, den 27. April in die entsprechenden Kästen im 3. Stock
der Robert-Mayer-Straße 6.