Theoretische ¨Ubungen (2) zur Vorlesung ” Numerik

Prof. Dr. H.–J. Reinhardt
FB Mathematik
Univ. Siegen
Theoretische Übungen (2)
zur Vorlesung Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen“
”
(Abgabetermin: Mittwoch, 16.04.08, 10 Uhr)
6. (ICE-Bremsweg) Es soll der Bremsweg eines Zuges, z.B. ICE, bestimmt werden, der
lediglich durch seine Rollreibung und den Luftwiderstand abgebremst wird. Gegeben seien
folgende physikalische Größen,
Maßeinheit
Daten
– Masse des Zuges m
[t]
450
– Stirnfläche A
[m2 ]
11
– Luftwiderstandsbeiwert cw
[-]
0,2
– Rollreibungswert µ
[-]
0,01
– Luftdichte ρL
[kg/m3 ]
1,25
– Anfangsgeschwindigkeit v0
[km/h]
300
[m/s]
83,33
[m/s2 ]
9,81
entspricht:
– Erdbeschleunigung g
Aus einem Kräftegleichgewicht leitet man die folgende gewöhnliche Differentialgleichung
für die Geschwindigkeit her,
(1)
v 0 (t) −
cw AρL 2
v (t) = −µg , t > 0 .
2m
Dies ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung, die man in der Form
(2)
v 0 (t) = Bv 2 (t) − C, t > 0
mit B = cw AρL /(2m), C = µg schreiben kann.
Gewöhnliche Differentialgleichungen der Form (2) sind Spezialfälle sogenannter Riccatischer Differentialgleichungen. Im vorliegenden Fall kann man die Lösung explizit angeben.
Durch die Transformation,
R
u(t) = e−B v(t) dt = e−Bx(t)
R
mit x(t) = v(t) dt = zurückgelegter Weg, geht (2) über in eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.
√
(4)
u00 − α2 u = 0 mit α = BC ,
(3)
deren allgemeine Lösung durch
(5)
u(t) = c1 eαt + c2 e−αt
gegeben ist. Die Koeffizienten c1 , c2 bestimmen sich aus den Anfangsbedingungen.
Bestimmen Sie
–
–
–
–
u aus den Anfangsbedingungen x(0) = 0, v(0) = v0 ;
x und v aus der Transformationsformel (3);
eine Formel für den Zeitpunkt T , für den der Zug zum Stillstand kommt;
für die obigen konkreten Daten den Zeitpunkt T und den Weg x(T ).
7. Die instationäre, 1-dimensionale Wärmeleitungsgleichung hat bekanntlich die Form einer
parabolischen Differentialgleichung
µ
¶
∂
∂T
∂T
λ
= ρc
, t > 0, x ∈ [0, L] ,
∂x
∂x
∂t
wobei T = T (x, t) =Temperaturverteilung in einem Stab der Länge L, λ =Wärmeleitfähigkeit, ρ =Dichte und c =spezifische Wärmeleitfähigkeit; zusätzlich bezeichnet man
λ
noch α2 = ρc
als Temperaturleitfähigkeit (eine typische Größenordnung ist zum Beispiel
2
W
α2 = 10−5 ms und λ = 75 m·K
für Stahl; die Temperatur wird dabei in K(elvin) angegeben). Grundlage hierfür ist das Fouriersche Gesetz, das den Zusammenhang zwischen
2
der örtlichen Änderung der Temperatur und dem Wärmefluß herstellt, q = λ ∂T
∂x . Ist α
konstant (in x, t) und unabhängig von T selbst, dann läßt sich die Wärmeleitungsgleichung
schreiben als
∂T
∂2T
(6)
= α2 2 , t > 0, x ∈ [0, L] .
∂t
∂x
Zur Lösung benötigt man noch eine Anfangstemperatur T |t=0 = T0 und Randbedingungen
bei x = 0 und x = L. Schreiben Sie Gleichung (6) um in dimensionslose Form, wobei
x+ = Lx die dimensionslose Ortsvariable und
T+ =
T − T0
qc Lλ
die dimensionslose Temperatur bezeichnet; hier ist noch qc ein konstanter (Referenz-)
Wärmefluß und T0 wird als konstant (im Ort) angenommen. Was ist die dimensionslose Zeit? Welche Dimensionen vorkommenden Größen?
8. Seien z1 , z2 Lösungen der Differentialgleichung z 00 + pz 0 + qz = 0 , x ∈ [a, b], mit
z1 (a) = 0 , z10 (a) = 1 ,
Sei
Z
x
P (x) =
a
z2 (b) = 0 , z20 (b) = 1 .
p(s)ds , und D0 = z1 (a) z20 (a) − z2 (a)z10 (a) .
Beweisen Sie: Wenn die homogene Randwertaufgabe z 00 + pz 0 + qz = 0 , z(a) = z(b) = 0
nur die triviale Lösung hat, dann ist z1 (b) 6= 0 , z2 (a) 6= 0 und für w1 ∈ C[a, b] ist die
Funktion
Z
β
z2 (x) x
α
z2 (x) +
z1 (x) +
z1 (s)w1 (s)eP (s) ds +
u(x) =
z2 (a)
z1 (b)
D0 a
Z
z1 (x) b
+
z2 (s)w1 (s)eP (s) ds
D0 x
für x ∈ [a, b], ist eindeutig bestimmte Lösung der Randwertaufgabe
u(a) = α ,
u(b) = β ,
u00 + pu0 + qu = w1 .
Hinweise: Zeigen Sie zuerst indirekt, dass z1 (b) 6= 0 und z2 (a) 6= 0 sind. Benutzen Sie dann
die Darstellung der Wronski-Determinante in [Rei08], Satz A.8, mit τ = a und verifizieren
Sie, dass die angegebene Funktion u die Differentialgleichung erfüllt und eindeutige Lösung
ist.