Ohne Einstein kein GPS
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Ohne Einstein kein GPS Peter Hertel Fachbereich Physik 03.11.2005 Übersicht • Was ist das GPS? • Wie funktioniert GPS? • Technische Probleme • Grundlegende Probleme • Ausblick 1 Was ist das GPS? • Global positioning system • Ein satellitengestütztes System zur weltweiten Ortsbestimmung • From US-Verteidigungsministerium eingerichtet, teilweise für die zivile Nutzung freigegeben • Inzwischen Alltagspraxis: Navigation für Flugzeuge, Schiffe und Autos, Autobahnmaut, Vermessungswesen, Erdbebenwarnung . . . 2 Übersicht • Was ist das GPS? • Wie funktioniert GPS? • Technische Probleme • Grundlegende Probleme • Ausblick 3 Das Prinzip Für einen Kilometer braucht der Schall 3 Sekunden 4 Ein Satellit r1 = c(t̄1 − t1 ) t1 Das Signal wird zur Zeit t1 gesendet und zur Zeit t̄1 empfangen. Es breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit c aus. 5 Zwei Satelliten r1 = c(t̄1 − t1 ) t2 t1 r2 = c(t̄2 − t2 ) Der Empfänger muss beide Bedingungen erfüllen 6 Drei Satelliten Im dreidimensionalen Raum • Jeder Satellit ergibt eine Kugelschale an möglichen Positionen • Zwei Kugelschalen durchdringen sich in einem Kreis • Der Schnitt mit einer dritten Kugelschale ergibt i.a. zwei Punkte • Einer davon kann ausgeschlossen werden, weil er fast immer weit im Weltraum liegt 7 Vier Satelliten • Bei vier Satelliten ist das Problem überbestimmt • Die Uhr des Empfängers kann so vor- oder nachgestellt werden, dass die Übereinstimmung so gut wie möglich wird • Daher muss die Empfänger-Uhr nicht sehr genau sein. • Trotzdem zeigt sie (nach der Korrektur) die Zeit mit der Genauigkeit der Satelliten-Uhren an. 8 24 Satelliten (nahezu) Kreisbahnen, 20200 km über der Erde, 2032 kg, 1.14 kW 9 Ersatz Block II Replacement 12 10 Umlaufbahnen • 6 Bahnen mit 55 Grad Neigung bez. Ekliptik • 4 Satelliten auf jeder Bahn 11 Umlaufszeit, Geschwindigkeit 2π T Mm 2 mω r = G 2 r r r3 T = 2π = 11.97 h GM v = ωr = 3874 m/s ω = Genau zwei Umläufe pro Sterntag 12 Atomuhren Moderne Cäsium-Fontäne als Zeitnormale. Die Genauigkeit ist besser als 10−15. Die GPS-Satelliten haben vier kompaktere Cs- und Rb-Atomuhren an Bord (jeweils etwa 5 kg, 100 kUSD). Diese erzielen eine Genauigkeit von nicht ganz 10−14. 13 Noch genauer Nobelpreis 2005 in Physik an Theodor Hänsch MPI für Quantenoptik, München für optischen Frequenzkamm-Synthesizer. Optische Uhr mit Genauigkeit von 10−18 ist möglich! 14 Signale • L1 bei 1575.42 Mhz, L2 bei 1227.60 Mhz • Jeder Satellit sendet eigenen Pseudo-Zufallskode. • Signal enthält Zeit und Bahndaten, diese legen die Satellitenposition dezimetergenau fest. • Empfänger erkennen den Satelliten, erzeugen seinen Pseudo-Zufallskode, synchronisieren und stellen Zeitverschiebung zur eigenen Uhr fest. • L1 wird nicht mehr künstlich verrauscht (Clinton), L2 kann nur vom Militär dekodiert werden. 15 Übersicht • Was ist das GPS? • Wie funktioniert GPS? • Technische Probleme • Grundlegende Probleme • Ausblick 16 Technische Probleme • In der Ionsosphäre und in der Toposphäre weicht die Signalgeschwindigkeit von c ab. • Intensitäten • Einflüsse von Mond und Sonne auf die Satelliten-Bahnen • Abschattung • . . . usw. 17 Übersicht • Was ist das GPS? • Wie funktioniert GPS? • Technische Probleme • Grundlegende Probleme • Ausblick 18 Albert Einstein, 1879-1955 19 Spezielle Relativitätstheorie • Eine bewegte Uhr (Geschwindigkeit v, Takt τ 0) geht langsamer als eine ruhende Uhr (Takt τ ): τ τ0=p 1 − (v/c)2 • Vor dem Start muss der Takt der Uhr um den Faktor (1−δSR) verkleinert werden, dammit er auf der Umlaufbahn wieder τ ist: p δSR = 1 − 1 − (v/c)2 • Mit v = 3874 m/s egibt sich δSR = 0.835 × 10−10 20 Allgemeine Relativitätstheorie 1 • Auch das Schwerefeld beeinflusst den Gang einer Uhr • . . . und damit auch die Frequenz ν eines Photons. • Die Summe aus Photonenenergie hν und potentieller Energie U ändert sich nicht. • Mit ν 0 in Satellitenhöhe (Abstand r) und ν auf der Erdoberfläche (Abstand R) gilt also hν 0 − G • ... mit mc2 = hν ≈ hν 0 21 Mm Mm = hν − G r R Allgemeine Relativitätstheorie 2 • Man erhält damit • ... oder ν0 GM =1− 2 ν c 1 1 − R r τ0 GM =1+ 2 τ c 1 1 − R r • Vor dem Start muss der Takt der Uhr um den Faktor (1+δAR) vergrößert werden, dammit er auf der Umlaufbahn wieder τ ist: GM δAR = 2 c 22 1 1 − R r = 5.283 × 10−10 GPS: Die Korrekturen sind wichtig! • Insgesamt muss vor dem Start eines Satelliten der Takt der Atomuhr um den Bruchteil δ = δAR − δSR = 4.446 × 10−10 vergrößert werden, damit diese auf der Umlaufbahn wieder richtig tickt. • Ohne Korrektur hätte man einen Fehler in der Längenmessung, der mit c · δ anwächst . . . • Nach einem Umlauf der Satelliten wäre der Fehler bereits 7.8 km. . . • Ohne Einstein kein GPS! 23 Zahlen % SI-Einheiten: Kilogramm, Meter, Sekunden c=2.998e8; % Lichtgeschwindigkeit G=6.674e-11; % Gravitationskonstante M=5.974e24; % Masse der Erde R=6371e3; % mittlerer Erdradius % GPS Satelliten r=20200e3+R; % Abstand vom Erdmittelpunkt T=2*pi*sqrt(r^3/(G*M)); % Umlaufszeit (siderisch) v=2*pi*r/T; % Geschwindigkeit % Korrekturen wegen Einstein deltaSR=1-sqrt(1-(v/c)^2); % speziell-relativistisch deltaAR=G*M/c^2*(1/R-1/r); % allgemein-relativistisch 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 Allgemeine Relativitätstheorie 3 • Wirkung des Schwerefeldes der Erde auf Uhren ist winzig, kann aber bedeutsam sein . . . • . . . bei genügend großer Masse kann Licht nicht mehr entweichen, massive Teilchen erst recht nicht (Schwarze Löcher) • Nicht nur Uhren, auch Längenmaßstäbe werden durch starke Massen verändert. Der Raum wird gekrümmt. • 1919: Von Einstein vorhergesagte Lichtablenkung an der Sonne nachgewiesen (Gravitationslinse). • Die logische Konsequenz ist der expandierende Kosmos (Urknall, Hintergrundstrahlung). 25 Schwarzes Loch Im Zentrum der Milchstraße rotieren alle Sterne um ein unsichtbares Zentrum von etwas 3 Millionen Sonnenmassen. Der Stern S2 (Pfeile) ist nur 17 Lichtstunden davon entfernt. 26 Gravitationslinse Ein sehr massiver Galaxienhaufen (Abell 1689) in 2 Milliarden Lichtjahren Entfernung krümmt den Raum. 27 Übersicht • Was ist das GPS? • Wie funktioniert GPS? • Technische Probleme • Grundlegende Probleme • Ausblick 28 Differentielles GPS Ein benachbarter GPS-Empfänger, der seine Position kennt, kann systematische Fehler feststellen und weitermelden. 29 Miniaturisierung Dezember 2004: Epson stellt neuen GPS-Chip für Handys vor. Empfindlichkeit -160 dBm, d.h. 10−19 Watt (!) 30 Schöne Aussichten. . . 31 Danke fürs Zuhören! [email protected] www.physik.uni-osnabrueck.de 32