Proj Aufgabe 3: Etwas Topologie Hinweise

Übungen zur Einführung in die Algebraische Geometrie II
Uni Frankfurt, SS 2008
Blatt 0
Prof. Dr. A. Werner
Dipl.-Math. M. Häbich
Aufgabe 1: Unterschemata
Sei A ein Hauptidealring und X = Spec A. Zeigen Sie, dass jedes offene Unterschema von X affin
ist. [Tipp: Überlegen Sie sich die Aussage zunächst am Beispiel A = Z!]
[Bemerkung: Die Aussage wird im Allgemeinen falsch, wenn A kein Hauptidealring ist. Betrachtet
man zum Beispiel A = C[Y, Z] und das offene Unterschema U := X \ {(Y, Z)}, so kann man zeigen,
dass U nicht affin ist.]
Aufgabe 2: Proj
i) Sei A ein Ring. Beschreiben Sie die folgenden Schemata möglichst ausführlich in Abhängigkeit
von Spec A:
a) Proj A, wobei A trivial gradiert ist (d. h. jedes Element hat Grad 0) und
b) Proj A[X], wobei A[X] mit der gewöhnlichen Gradierung versehen ist.
ii) Sei K ein Körper. Für den n-dimensionalen projektiven Raum
Pn (K) := K n+1 \ {0}/∼ mit v ∼ w :⇔ ∃ λ ∈ K × : v = λw
gibt es eine Zerlegung
Pn (K) = An (K) ∪˙ Pn−1 (K),
wobei An (K) = K n den n-dimensionalen affinen Raum bezeichnet. [Verifizieren Sie diese
Aussage! Das Symbol ∪˙ bezeichnet hier die disjunkte Vereinigung im rein mengentheoretischen
Sinne.]
Gilt eine analoge Aussage auch für den schema-theoretischen projektiven Raum
PnK = Proj K[X0 , . . . , Xn ]?
Aufgabe 3: Etwas Topologie
Im Wintersemester haben Sie gezeigt (Blatt 8, Aufgabe 3), dass jede nichtleere irreduzible abgeschlossene Teilmenge eines Schemas einen eindeutigen generischen Punkt besitzt. Rekapitulieren Sie
die Beweisidee und folgern Sie: Sei X ein Schema und c(X) die Menge der nichtleeren irreduziblen
abgeschlossene Teilmengen von X. Dann ist die Abbildung X → c(X), x 7→ x̄ eine Bijektion, wobei
x̄ den topologischen Abschluss der Einpunktmenge {x} bezeichnet.
Gilt diese Aussage für jeden topologischen Raum?
Hinweise
• Die Übung findet freitags 14–16 Uhr c. t. in Raum 310 statt.
• Ein Übungsschein kann erworben werden. Voraussetzung dafür ist die aktive Teilnahme an
der Übung inkl. Vorrechnen von Übungsaufgaben.
• Kontakt: [email protected]