8 - Physikzentrum der RWTH Aachen

Professor Dr. H. A. Kastrup
U bungen zur Quantenmechanik, WS 1996/97
Aufgabe 15
Blatt 5,
Abgabetermin: 25.11.96
Symmetrien
a) Betrachten Sie den Paritatsoperator , der durch ()(x) = (?x) deniert ist, wobei
eine quadratintegrable Funktion sei. In der Vorlesung wurde gezeigt, da hermitesch ist. Ist auch unitar? Zeigen Sie, da gebundene Zustande in einer Dimension
entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein mussen, wenn der Hamiltonoperator
mit dem Paritatsoperator vertauscht.
b) Betrachten Sie jetzt den Translationsoperator Ta mit (Ta)(x) = (x + a). Ist Ta unitar
oder hermitesch? Welche Eigenwerte besitzt der Operator?
Das Potential des Hamiltonoperators H = P 2=2m + V (x) sei periodisch in x: V (x) =
V (x + a). Zeigen Sie, da die Eigenzustande des Hamiltonoperators immer als Eigenzustande des Translationsoperators Ta gewahlt werden konnen, indem Sie den Kommutator [Ta; H ] benutzen.
Beweisen Sie darauf aufbauend das Bloch'sche Theorem, da es fur periodische Potentiale V (x) = V (x + a) immer Losungen der stationaren Schrodingergleichung gibt, fur
die (x) = eiKxuK (x) gilt, wobei ? Ka < und uK (x) eine periodische Funktion
ist: uK (x) = uK (x + a).
4 Punkte
Kronig{Penney Modell
Aufgabe 16
Betrachten Sie den Hamiltonoperator, dessen Potential durch eine periodische Folge von
Deltafunktionen gegeben ist:
V (x) = 1
X
n=?1
(x + na) ;
>0 :
Dieses Potential stellt das einfachste Modell eines Festkorpers in einer Dimension dar, das
aber schon viele interessante Eigenschaften besitzt.
Wenden Sie nun das Bloch'sche Theorem und die Anschlubedingungen bei x = na an,
um eine Eigenwertbedingung fur die moglichen Energieeigenwerte abzuleiten. Erlautern
Sie, und stellen Sie graphisch dar, wie es zum Auftreten von "erlaubten\ und "verbotenen\
Energiebereichen kommt. (Die oberen Bereichsgrenzen lassen sich analytisch bestimmen.)
Betrachten Sie insbesondere die Falle, fur die (m=h 2)a 1 und (m=h 2)a 1 ist.
Aufgabe 17
4 Punkte
Losen Sie die Schrodingergleichung in einer Dimension fur ein Teilchen der Masse m im
Potential
8
fur x < 0
>
< +1
fur 0 < x < a
V (x) = > ?V0
: 0
fur x > a
mit V0 > 0. Fur welche Werte von V0 gibt es gebundene Zustande?
4 Punkte