Übungszettel 3 - Rotationen, Corioliskraft und Virialsatz

Übungszettel 3
Theoretische Mechanik - SoSe 2012
Übungszettel 3 - Rotationen, Corioliskraft und Virialsatz
(Abgabetermin: 02.05.2012)
Aufgabe 1 - Rotationen (14 Punkte)
(a) Betrachte einen zweidimensionalen Vektorraum mit kartesischen Koordinaten (x, y), welche das Koordinatensystem Σ beschreiben. Wir rotieren dieses Koordinatensystem
um einen Winkel θ um den Koordinatenur 0 0
sprung. Welches sind die kartesischen Koordinaten x , y eines Punktes in diesem neuen Koordinatensystem
0
Σ in Bezug auf seine alten Koordinaten (x, y)?
Hinweis: Polarkoordinaten können dieses Problem sehr gut beschreiben.
(b) Betrachte einen dreidimensionalen Vektorraum mit kartesischen Koordinaten (x, y, z). Wir betrachten einen
allgemeinen Vektor ~r. Begründe mit Hilfe von Teilaufgabe (a), dass folgende Matrix,


cos θ − sin θ 0
cos θ 0  ,
Dz (θ) =  sin θ
0
0
1
0
dazu führt, dass ~r = Dz (θ) ~r der um die z-Achse mit Drehwinkel θ rotierte Vektor ist.
Hinweis: Beachte, dass wir jetzt Vektoren und nicht mehr Koordinatensysteme drehen.
(c) Zeige folgende elementare Eigenschaften der Drehmatrix Dz (θ),
Dz (0)
∀θ : Dz (θ + 2π)
∀θ1 , θ2 : Dz (θ1 + θ2 )
Dz−1 (θ)
=
1 3,
= Dz (θ) ,
= Dz (θ1 ) Dz (θ2 ) ,
= Dz (−θ) ,
wobei A−1 das Inverse einer Matrix A darstellt.
(d) Die Rotation um die x-Achse, Dx , bzw. um die y-Achse, Dy , mit Drehwinkel θ ist gegeben durch




1
0
0
cos θ 0 sin θ
0
1
0 .
Dx (θ) =  0 cos θ − sin θ  , Dy (θ) = 
0 sin θ
cos θ
− sin θ 0 cos θ
Für welche Winkel ist die Relation
Dx (θ1 ) Dy (θ2 ) = Dy (θ2 ) Dx (θ1 )
erfüllt?
Aufgabe 2 - Corioliskraft (28 Punkte)
Betrachte ein mathematisches Pendel
auf der Erde (vgl. Aufgabe 2 auf dem letzten Übungszettel), das sich auf dem
Breitengrad α befindet (α ∈ − π2 , π2 - der Breitengrad ist der Winkel zwischen dem Verbindungsvektor eines gegeben Ortes mit dem Erdmittelpunkts und der Äquatorebene). Es ist so aufgehängt, dass es in Ruhelage entlang der
z-Achse (Gravitationsrichtung) zeigt und sonst in x- und y-Richtung frei rotieren kann. Die Masse habe den Betrag
m und das Pendel ist starr aufgehängt an einem Stab der Länge l. Wir beschreiben die Bewegung dieses Pendels in
kartesischen Koordinaten im rotierenden Bezugssystem der Erde, wobei der Koordinatenursprung der Endpunkt des
Pendels in Ruhelage ist, die positive x-Richtung Süden ist und die positive z-Achse vom Erdmittelpunkt wegzeigt.
1
Übungszettel 3
Theoretische Mechanik - SoSe 2012
(a) Notiere die Newtonsche Bewegungsgleichung für dieses Pendel unter Vernachlässigung der Zentrifugalkraft
(warum ist diese Kraft vernachlässigbar?) sowie der Änderung der Rotationsgeschwindigkeit und Rotationsachse der Erde mit der Zeit. Schreibe die effektive Kraft auf die Masse durch die Gravitation (inklusive der
Zwangskraft durch den Faden) zunächst einfach als F~ und nähere diese Bewegungsgleichung für kleine ω = |~
ω |,
wobei ω
~ der Vektor der Winkelgeschwindigkeit der Erde ist.
(b) Durch den starren Faden wird die Bewegung des Massepunktes auf einer Kugeloberfläche mit Mittelpunkt
(0, 0, l) und Radius l eingeschränkt. Das heißt, dass der Massepunkt sich auf der Fläche, welche durch die
Bedingung
2
x2 + y 2 + (z − l) = l2
gegeben ist, bewegt. Wie lautet der Normalenvektor n̂ dieser Fläche in kartesischen Koordinaten?
Hinweis: Ist eine Fläche durch eine Gleichung h (x, y, z) = 0 gegeben so ist der Normalenvektor gegeben durch
~ Der Normalenvektor muss hier nicht normiert werden.
∇h.
(c) Die Zwangskraft des starren Fadens wirkt offenbar entlang des Normalenvektors der Kugeloberfläche, da
die Zwangskraft Bewegungen innerhalb der Fläche nicht beeinflussen darf (der Normalenvektor steht immer
“senkrecht” zur Fläche). Schreibe die Zwangskraft also als
F~z = σn̂.
Wir betrachten nun so kleine Ausschläge des Pendels, dass der Hub (die Bewegung in z-Richtung) vernachlässigt werden kann und die Bewegung somit praktisch in einer Ebene stattfindet. Welche Ebene ist dies?
Bestimme den unbekannten, skalaren Vorfaktor σ aus dieser Bedingung durch Einsetzen von F~ = F~g + F~z in
die Bewegungsgleichung, wobei F~g die Gravitationskraft ist. Vernachlässige hierbei einen Term proportional
ω ẏ gegenüber einem Term proportional g bzw. einem Term proportional lσ (wir werden diese Näherung später rechtfertigen). Schreibe schließlich die Newtonsche Bewegungsgleichung für die effektive Beschreibung der
Bewegung in 2 Dimensionen.
Hinweis: Das Endresultat ist gegeben durch
g
x
ẏ
ẍ
+ 2ω sin α
.
=−
y
−ẋ
ÿ
l
(d) Zeige, dass man obige Differentialgleichung auch folgendermaßen schreiben kann,
g
Ä + A + 2iω sin αȦ = 0,
l
wobei A nun eine komplexe Funktion mit Re (A) = x und Im (A) = y ist.
(e) Wie lautet die allgemeine Lösung obiger Differentialgleichung für α = 0? Interpretiere dein Resultat.
(f) Löse die Bewegungsgleichung dieses Problems mit ~r (t = 0) = x0 êx und ~v (t = 0) = ~0, wobei x0 > 0 und
sin α 6= 0.
Hinweis: Die Rotationsfrequenz der Erde heißt schon ω, beachte wie du deine Frequenzen benennst!
(g) Zeige, dass sich die Geschwindigkeit für dieses Problem in folgender Form schreiben lässt,
Ȧ (t) = Ceiξt
sin (Ωt)
,
Ω
mit einer Konstanten C. Rechtfertige aus diesem Ergebnis die in Teilaufgabe (c) durchgeführte Näherung
(wir nehmen eine Pendellänge in Größenordnung von Metern und kleine Auslenkungen im Bereich einiger
Zentimeter an).
(h) Nach welchen Zeiten Tk befindet sich die Schwingungsebene des Pendels wieder in der x, z-Ebene?
r
Hinweis: Die Schwingungsebene wird aufgespannt vom Einheitsvektor in z-Richtung êz und von d~
dt .
Aufgabe 3 - Virialsatz (18 Punkte + 6 Zusatzpunkte)
Für ein physikalisches System von N Massepunkten mi mit Bahnkurven ~ri (t) und Impulsen p~i (t) definiert man
das sogenannte Virial G,
X
G=
~ri · p~i .
i
2
Übungszettel 3
Theoretische Mechanik - SoSe 2012
(a) Zeige folgende Relation für die Zeitableitung des Virials,
dG X ~
=
Fi · ~ri + 2T.
dt
i
(b) Betrachte ein stabiles System (in einem stabilen System gilt für alle Zeiten t und für alle i sowohl |~ri (t)| < R0
als auch |~
pi (t)| < P0 für bestimmte R0 , P0 ∈ R). Beweise den Virialsatz, also zeige, dass
E
dG
1 XD~
= 0 bzw. hT it = −
Fi · ~ri ,
dt t
2 i
t
wobei F~i die Kraft auf den Massepunkt mi ist. T ist die kinetische Energie des Systems.
Hinweis: Der zeitliche Mittelwert h·it einer allgemeinen Funktion g ist gegeben durch
ˆ
1 τ
g (t) dt.
hgit = lim
τ →∞ τ 0
Benutze partielle Integration!
(c) Diskutiere den Virialsatz für den Fall eines Teilchens der Masse m, das sich ohne Kraftwirkung bewegt.
Hinweis: Beachte, was für verschiedene Anfangsgeschwindigkeiten passiert. Lies dir noch einmal genau Teilaufgabe (b) durch um zu verstehen, warum man diese Beobachtung macht.
(d) Betrachte nun eine stabile Ansammlung von Teilchen, deren Wechselwirkung durch das Potential V (|~ri − ~rj |) =
n
c |~ri − ~rj | für verschiedene n (n 6= 0, n 6= 1) gegeben ist. c > 0 ist eine Konstante. Das System dieser Teilchen
besitzt eine Gesamtenergie E. Zeige mit dem Virialsatz, dass
hT it =
n
E,
n+2
hV it =
2
E,
2+n
hT it =
n
hV it .
2
(e) Zusatzaufgabe: Betrachte einen stabilen Galaxienhaufen von N Galaxien (N 1) der Masse m mit mittlerem reziprokem Abstand 1/R̄ und mittlerer quadratischer Geschwindigkeit v̄ 2 (dies sind die Mittelwerte
über alle Galaxien in Bezug auf die jeweiligen zeitlichen Mittel der entsprechenden Größen). In typischen
astronomischen Entfernung ist nur die Gravitationswechselwirkung relevant. Bestimme die Gesamtmasse des
Galaxienhaufens.
3