Aufgabe 1 :

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Aufgabe 1 :
Gegeben sind die Matrizen


5 8 0
A= 6 1 3  ,
1 0 7


10 1 0
B= 1 5 0 
2 1 7
und die Vektoren


2
x= 5  ,
0


7
y= 2  .
9
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
a) den transponierten Vektor xT ,
b) den Vektorbetrag |x| ,
c) das Skalarprodukt xT y ,
d) das Kreuzprodukt x × y ,
e) das Produkt Ax ,
f) das Produkt yT Ax ,
g) das Matrizenprodukt AB ,
h) das Matrizenprodukt BA ,
i) die transpornierte Matrizensumme (A + B)T ,
j) die inverse Matrix A−1 ,
k) die Determinante det A ,
l) die Spur Sp(A) ,
m) das charakteristische Polynom von B ,
n) die Eigenwerte von B ,
o) die Eigenvektoren von B .
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Aufgabe 2 :
Linearisieren Sie die folgenden Ausdrücke um die jeweils angegebenen Arbeitspunkte.
a) ex um x = 0 ,
b) sin α um α = α0 ,
c) cos ω um ω = 0 ,
√
d) 1 + x2 um x = 12 ,
e)
√ 1
a2 +x
, a ∈ R , um x = 0 .
Hinweis:
Eine Funktion f (x), die (n + 1)-mal differenzierbar in einem Intervall (a, b) ist und deren
n-te Ableitung auch in den Randpunkten a und b des Intervalls stetig ist, lässt sich durch
die Taylor-Formel darstellen:
n
X
1 (k)
f (x0 ) · (x − x0 )k + Rn (x)
f (x) =
k!
k=0
= f (x0 ) +
+
1
1 0
f (x0 ) · (x − x0 ) + f 00 (x0 ) · (x − x0 )2 + . . .
1!
2!
1 (n)
f (x0 ) · (x − x0 )n + Rn (x) ,
n!
wobei x und x0 aus dem Intervall (a, b) sind.
Das Taylor-Polynom Pn von f (x) am Entwicklungspunkt x0 ist ein Polynom n-ten
Grades, das in den ersten n Ableitungen mit f (x) übereinstimmt:
n
X
1 (k)
Pn (x) =
f (x0 ) · (x − x0 )k
k!
k=0
= f (x0 ) +
+
1 0
1
f (x0 ) · (x − x0 ) + f 00 (x0 ) · (x − x0 )2 + . . .
1!
2!
1 (n)
f (x0 ) · (x − x0 )n .
n!
Das Lagrangesche Restglied Rn ist die Differenz aus der Funktion f (x) und dem
Taylor-Polynom Pn :
Rn (x) = f (x) − Pn (x) =
1
f (n+1) (x∗ ) · (x − x0 )n+1 ,
(n + 1)!
x∗ ∈ [x0 , x] .
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Je kleiner das Restglied Rn ist, desto besser ist die Näherung der Funktion f (x) durch
das Taylor-Polynom Pn .
Die Taylor-Formel erlaubt die Berechnung von Funktionswerten mit beliebiger Genauigkeit. Die Anzahl der Glieder und damit der Grad des Polynoms, der für die geforderte
Genauigkeit benötigt wird, hängt wesentlich vom Abstand |x − x0 | des Punktes x ab. Je
größer |x − x0 |, desto mehr Glieder müssen verwendet werden. Das Restglied kann im
Allgemeinen nicht exakt angegeben werden, da die Stelle x∗ nicht bekannt ist. Es reicht
jedoch häufig aus, wenn der Fehler nach oben abgeschätzt werden kann.
Die Taylor-Reihe von f (x) mit der Entwicklungsstelle x0 entsteht, wenn man den Grad
n des Taylor-Polynoms unbeschränkt wachsen lässt.
f (x) =
∞
X
1 (k)
f (x0 ) · (x − x0 )k
k!
k=0
= f (x0 ) +
+
1 0
1
f (x0 ) · (x − x0 ) + f 00 (x0 ) · (x − x0 )2 + . . .
1!
2!
1 (n)
f (x0 ) · (x − x0 )n + . . .
n!
Die Taylor-Reihe konvergiert für x = x0 trivialerweise gegen f (x0 ).
Konvergenz der Taylor-Reihe gegen den entsprechenden Wert f (x) liegt vor, wenn für das
Restglied gilt:
lim Rn = lim
n→∞
n→∞
1
f (n+1) (x∗ ) · (x − x0 )n+1 = 0 .
(n + 1)!
Man sagt in diesem Fall, dass f (x) durch seine Taylor-Reihe dargestellt wird.
Linearisierung = Abbruch der um den gegebenen Arbeitspunkt/Entwicklungspunkt
x0 entwickelten Taylor-Reihe nach dem ersten Glied.
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Aufgabe 3 :
Es sollen zu den beiden folgenden Systemen aus dem Maschinenbau und der Elektrotechnik jeweils die Differenzialgleichung und die Übertragungsfunktion hergeleitet werden.
a) Eindimensionaler Schwinger
b) Tiefpass zweiter Ordnung
Hinweis:
Die mathematische Beschreibung des dynamischen Verhaltens eines linearen Übertragungsgliedes mit einer Eingangs- und einer Ausgangsgröße führt im Zeitbereich zu einer
gewöhnlichen Differenzialgleichung.
Eine andere und der Differenzialgleichung gleichwertige mathematische Darstellungsform
des dynamischen Verhaltens linearer zeitinvarianter Systeme ist die Übertragungsfunktion G(s) mit der komplexen Bild- oder Frequenzvariablen s ∈ C .
Die Definition der Übertragungsfunktion basiert auf der Laplace-Transformation
L{f (t)}. Sie ist in der Praxis wichtig, um den Prozess der Lösung von linearen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zu vereinfachen, indem statt der direkten
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Lösung der Differenzialgleichung die Lösung einer algebraischen Gleichung im Bildraum
vorgenommen wird. Die Prozedur besteht aus drei Schritten:
1. Laplace-Transformation
Transformation der Differenzialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation
in eine algebraische Gleichung.
Die Laplace-Transformation ordnet der Zeitfunktion (Originalfunktion) f (t) die
Bildfunktion
Z ∞
e−st f (t)dt
F (s) = L{f (t)} =
0
zu. Die neue Variable s = δ + jω ist im Allgemeinem komplex (s ∈ C).
Symbolische Schreibweise für das Funktionenpaar Originalfunktion f (t) und Bildfunktion F (s): f (t) ◦−−• F (s) .
Konvergenzbedingungen für die Laplace-Transformation:
Originalfunktion (Zeitfunktion) f (t) muss für t < 0 verschwinden, d. h. f (t <
0) = 0, für t ≥ 0 vollständig bekannt und auf dem Intervall (0, ∞) integrierbar sein.
Der Dämpfungsfaktor e−st bewirkt, dass das Integral für möglichst viele Originalfunktionen konvergiert, d. h. exponentielle Wachstumsbeschränkung der Originalfunktion f (t): |f (t)| ≤ Kect . Mit diesen Bedingungen konvergiert das Integral
für Re(s) > 0 .
Durch die Laplace-Transformation werden Differenzialgleichungen in der Variablen
t (physikalische Interpretation: Zeit) in algebraische Gleichungen mit der Variablen
s umgewandelt. Weil s zeitunabhängig ist, ist s bei der Integration über t eine
Konstante.
2. Algebraische Lösung im Bildbereich
Die algebraische Gleichung wird im Bildbereich nach der Unbekannten F (s), der
sog. Bildfunktion der gesuchten Lösung, aufgelöst.
3. Rücktransformation
Bilde die inverse Laplace-Transformation L−1 der so gewonnenen Bildfunktion
(d. h. des Resultats aus Schritt 2), um die Originalfunktion, d. h. die endgültige
Lösung der Differenzialgleichung im Originalbereich, zu erhalten. Dabei wird häufig
die Partialbruchzerlegung benötigt.
Die inverse Laplace-Transformation stellt die Umkehrfunktion der Laplace-Transformation dar, d. h. die inverse Laplace-Transformation bildet eine Bildfunktion
F (s) auf eine Originalfunktion f (t) im Zeitbereich ab:
f (t) = L−1 {F (s)} ,
oder in symbolischer Schreibweise: F (s) •−−◦ f (t) .
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Vereinfachung für die Praxis: Sowohl für die Laplace-Transformation vom Originalbereich
in den Bildbereich als auch für die Rücktransformation von der Bildfunktion auf die
Originalfunktion sind in Formelsammlungen für nahezu alle in der Anwendung wichtigen
Fälle umfangreiche Transformationstabellen angegeben.
Aufgabe 4 :
Die schematische Darstellung der Gesamtstruktur eines mechatronischen Systems soll auf
das Beispiel des Elektronischen Stabilitätsprogrammes übertragen werden. Dazu fügen
Sie die entsprechenden Begriffe in das Schema ein.
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Aufgabe 5 :
Definieren zu den folgenden Beispielen die Systemeingänge und -ausgänge und stellen Sie
eine Beziehung zwischen Ein- und Ausgang her.
a) Hydraulisches System:
Die Hydraulikflüssigkeit fließt durch eine Rohrleitung, deren Durchmesser am Rohreingang de und am Rohrausgang da verschieden sind. Wie ändert sich die Fließgeschwindigkeit?
b) Feder-Masse-System:
Das System besteht aus einer auf Federn gelagerten Plattform der Masse m, auf
der eine zweite Masse mk liegt und deren Interaktion mit der Plattform durch Haftund Gleitreibung beschrieben wird.
c) Hall-Effekt:
Wenn sich ein Strahl aufgeladener Partikel durch ein Magnetfeld bewegt, wirken
Kräfte auf diese Partikel und der Strahl wird von seiner geraden Bahn abgelenkt.
Ein Stromfluss in einem Leiter ist wie ein Strahl sich bewegender Ladungen und
kann daher durch ein Magnetfeld abgelenkt werden. Dieses Phänomen wurde von
E. R. Hall im Jahre 1879 entdeckt und heißt Hall-Effekt.
Es sollen nun Elektronen betrachtet werden, die sich in einer Leiterplatte befinden,
bei der ein Magnetfeld im rechten Winkel zur ebenen Fläche der Platte angelegt
wird. Das Magnetfeld bewirkt, dass die sich bewegenden Elektronen zu einer Seite
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der Platte abgelenkte werden, wodurch diese Seite der Platte negativ geladen wird,
während die andere Seite positiv geladen wird, da die Elektronen hier abgelenkt
werden. Diese Ladungstrennung erzeugt ein elektrisches Feld im Material. Die Ladungstrennung bleibt bestehen, bis die Kräfte auf den geladenen Partikeln in dem
elektrischen Feld genau die Kräfte ausgleichen, die durch das Magnetfeld erzeugt
werden.
Hall-Effekt-Sensoren können als Lage-, Weg- und Näherungssensoren eingesetzt werden, wenn das zu erfassende Objekt mit einem kleinen Dauermagneten ausgestattet
ist. Beispielsweise kann ein solcher Sensor dazu verwendet werden, den Kraftstoffstand in einem Autobenzintank zu messen. Ein Magnet wird an einem Schwimmer angebracht und wenn sich der Kraftstoffstand verändert, verändert sich die Entfernung
vom Hall-Sensor ebenfalls. Das Ergebnis ist eine Hall-Spannungsausgangsgröße, die
ein Maß für die Entfernung des Schwimmers vom Sensor und somit auch für den
Kraftstoffpegel im Tank ist.
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Aufgabe 6 :
Zeichnen Sie für die unten skizzierten Modellpläne der Radaufhängung bzw. der elektrischen Schaltung die jeweiligen Blockschaltbilder auf.
a) Radaufhängung
b) Elektrischer Schaltkreis
Aufgabe 7 :
Die Längsschwingungen eines kontinuierlichen Balkens lassen sich mit Hilfe der partiellen
Differenzialgleichung
%Aü(t) =
EA ∂ 2 u
(x, t)
L2 ∂x2
beschreiben, welche analytisch oder mittels numerischer Verfahren untersucht werden
können.
kg
6 N
Anhand eines Stahlbalkens (L = 1m, % = 7850 m
3 und E = 210000 · 10 m2 ) soll untersucht werden, in wieweit die Genauigkeit der mittels Ortsdiskretisierung bestimmten
Eigenfrequenzen von der Anzahl der diskreten Elemente abhängt.
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Aufgabe 8 :
Wie lauten die Bindungen bei der räumlichen bzw.
ebenen Bewegung des doppelten Fadenpendels? Wie
viele Freiheitsgrade hat das System? Was ändert sich,
wenn man die Fäden durch Stäbe ersetzt?
Aufgabe 9 :
Zwei homogene Stäbe (Masse m1 und m2 ) stützen sich
in einer Rinne auf die glatten vertikalen Wände, auf
den glatten Boden und gegeneinander. Bestimmen Sie
mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebungen
den Zusammenhang zwischen den Neigungswinkeln α
und β in der Gleichgewichtslage des Systems.
Aufgabe 10 :
Der rechtwinklige, massebehaftete und homogene Stab ABC ist im Punkt B drehbar
gelagert und stützt sich im Punkt C auf den Stab DE, der im Punkt D von einem
Gelenk und im Punkt E von einer Feder gehalten wird. Der Stab ABC hat das Gewicht
P , der Stab DE das Gewicht Q. Wie groß ist die Federkraft F , wenn der Stab DE im
Gleichgewicht (DC = 13 DE und α = 45◦ ) horizontal ist? Benutzen Sie zur Lösung das
Prinzip der virtuellen Verschiebungen.
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Aufgabe 11 :
Früher wurde er Anlasser genannt,
heute heißt er Starter. Er soll
möglichst leicht sein und mit einer
geringe Stromaufnahme den Verbrennungsmotor auf Startdrehzahl von ca.
1
(bei warmem Motor) bringen.
300 min
Sobald der Motor angesprungen ist,
soll er auf jeden Fall mechanisch von
diesem abgekoppelt werden.
Moderne Starter sind Elektromotoren, deren Feldwicklung häufig durch einen Permanentmagneten (Dauermagneten) ersetzt wurde. Sie werden durch den Magnetschalter kurzzeitig über einen Zahnradtrieb (Ritzel) mit dem Zahnkranz des Verbrennungsmotors verbunden. Wegen der hohen Drehzahl des Elektromotors und dem erforderlichen Drehmoment
ist ein großes Übersetzungsverhältnis erforderlich. Dies wird durch ein kleines Ritzel am
Anlasser und einen großen Zahnkranz auf dem Schwungrad erreicht. Durch ein Planetengetriebe auf der Ankerwelle dreht diese bei gleicher Drehmomentabgabe höher und kann
deshalb leichter ausgelegt werden. Die mechanische Abkoppelung wird wirksam, wenn
beim Starten des Motors das kleine Ritzel vom Schwungrad-Zahnkranz angetrieben wird.
Der Magnetschalter ist abgeschaltet und es wird nicht mehr in der Verzahnung gehalten.
Da es über ein gegenläufig angeordnetes Steilgewinde mit der Ankerwelle verbunden ist
und diese jetzt antreibt, wird es aus der Verzahnung herausgezogen. Ein Freilauf neben
dem geradverzahnten, kleinen Ritzel verhindert zusätzlich ein Überdrehen des Elektromotors.
Hier soll nun der Antriebsteil des Startersystems untersucht werden, wobei besonderes
Augenmerk auf den Startermotor und den Freilauf gelegt wird.
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• Anstelle eines Batteriemodells soll eine Blackbox gesetzt werden, welche die Batteriespannung UB als Funktion des Ankerstroms IA liefert: UB (IA ).
• Eine permanentmagneterregte Gleichstrommaschine liefert das erforderliche hohe
Drehmoment zur Überwindung der Reibung, der Gasfedermomente der Motornebenaggregate und damit zum Beschleunigen des Motors. Aufgrund der Reibung und
Viskosität ist ein Dämpfungsmoment (Dämpfungskonstante dA ) sowie ein konstantes Reibmoment MReib vorhanden. Der Motorrotor besitzt das Trägheitsmoment
JM . Die Winkelgeschwindigkeit des Motors wird mit ωM = ϕ̇M bezeichnet.
• Der Freilauf hat die Aufgabe, bei antreibendem Starter das Ritzel mitzunehmen.
Sobald jedoch der Starter beim Durchdrehen und beim Selbstlauf des Verbrennungsmotors vom schneller drehenden Zahnkranz überholt wird, löst sich die nur in Antriebsrichtung kraftübertragende Verbindung zwischen Ritzel und Starter. So wird
die Gasfederentspannung beim Durchdrehen sowie der Anlauf des Verbrennungsmotors beim Start nicht behindert. Zudem verhindert der Freilauf, dass der Anker des
Startermotors beim raschen Anlauf des Verbrennungsmotors auf unzulässig hohe
Drehzahlen beschleunigt wird.
• Anstelle eines Verbrennungsmotors soll ebenfalls eine Blackbox gesetzt werden, welche die Winkelgeschwindigkeit der Kurbel ωV als Funktion des Motormoments MM
liefert: ωV (MM ).
a) Um welche Art von Gleichstrommotor handelt es sich beim Startermotor?
b) Stellen Sie die Zustandsgleichungen für den Startermotor auf.
c) Zeichnen Sie das zugehörige Blockschaltbild.
d) Der Freilauf wird als steife, einseitige Feder modelliert, die nur in einer Richtung
ein Drehmoment übertragen kann.
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Bezeichnungen:
ϕM Drehwinkel des Starters
JM
Trägheitsmoment des Startermotors
MM Motordrehmoment des Starters
i1
Innere Untersetzung des Starters
ϕ1
Freilaufwinkel an der Starterseite
kF
Federkonstante
dF
Dämpfung
ϕ2
Untersetzung Ritzel-Kranz
ML Lastmoment
JV
Trägheitsmoment des Verbrennungsmotors
ϕV
Drehwinkel des Verbrennungsmotors
Stellen Sie die Zustandsgleichungen des Freilaufs auf.
e) Da der Freilauf nur zur Momentenübertragung dient, genügt hier eine Betrachtung
des Momentengleichgewichtes. Berechnen Sie das Motordrehmoment MM und das
Lastmoment ML in Abhängigkeit der Eingangsgrößen: der Winkelgeschwindigkeit
des Starters ωM und der des Verbrennungsmotors ωV .
f) Zeichnen Sie das zugehörige Blockschaltbild.
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Aufgabe 12 :
Die Radaufhängung soll die Räder in jedem Fahrzustand möglichst mit ihrer optimalen
Reifenfläche (Latsch) auf die Fahrbahn bringen. Für Fahrer/innen unkontrollierbare Situationen sollen dabei möglichst vermieden werden.
Bei LKWs und bei Geländewagen kommen hauptsächlich noch Starrachsen vor, bei denen
die Räder einer Achse miteinander verbunden und dann gemeinsam am Rahmen befestigt
sind. Bei den PKWs gibt es fast nur noch Einzelradaufhängungen. Die Räder werden
unabhängig voneinander gefedert und gedämpft und an Quer-, Längs- oder Schräglenkern
geführt.
Die Längslenker-Radaufhängung soll besonders einfach, Platz sparend und kostengünstig
nicht angetriebene Hinterräder führen. Ein Verbindungsprofil kann den Stabilisator ersetzen.
Es gibt sie als einzelne Lenker für jedes Hinterrad oder U- bzw. L-Profil verbunden. Einzellenker können an einem querliegenden Verbindungsrohr drehbar gelagert sein. Längslenker sorgen für sturz- und spur- (aber nicht radstand-) konstantes Einfedern. Gegen den
Aufbau stützen sie sich meist über Federbeine (Schraubenfeder mit integriertem Schwingungsdämpfer) ab. Da diese oft viel Platz in den Radkästen hinten beanspruchen, gibt es
auch Konstruktionen mit separaten, unten liegenden Schraubenfedern und/oder liegenden Schwingungsdämpfern bzw. Dämpferbeinen. Selten geworden sind Konstruktionen
mit Drehstabfedern. Ein angeschweißtes Verbindungsprofil wirkt bei einseitigem Einfedern als Drehstabfeder und übernimmt ganz oder teilweise die Funktion des Stabilisators.
Die Gummimischungen in den Anlenkpunkten der Längslenker sind in Fahrtrichtung vorne und hinten oft unterschiedlich elastisch. Dadurch ist ein Gegenlenken der Hinterachse
bei Kurvenfahrt möglich.
Die Längslenker-Radaufhängung lässt sich vereinfacht wie folgt darstellen. Dabei sei m
die Masse des Längslenkers inklusive des Rades, S der Gesamtschwerpunkt, lS der Abstand des Schwerpunktes S von der Rotationsachse (y-Achse), θS das Trägheitsmoment
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bzgl. des Schwerpunktes S, c und d die Feder- bzw. Dämpferkonstanten des Federbeins
und a der Abstand des Federbeins von der Rotationsachse (y-Achse) bzw. die Länge des
Längslenkers.
a) Wie viele Freiheitsgrade besitzt die Längslenker-Radaufhängung?
b) Wählen Sie die verallgemeinerte(n) Koordinate(n).
c) Stellen Sie den Ortsvektor für den Schwerpunkt S auf und bestimmen sie die zugehörigen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.
d) Bestimmen Sie die eingepägten Kräfte und Momente.
e) Stellen Sie die Newton-Euler-Gleichungen für das System auf.
f) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen für die Längslenker-Radaufhängung.
Anmerkung:
Die durch das d’Alembertsche Prinzip aus den Newton-Euler-Gleichungen berechneten
Bewegungsgleichungen sind vollständig identisch mit den Gleichungen, die sich aus den
Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art ergeben.
Herleitung der Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art:
Ortsvektor:


− cos β

0
rS = lS 
sin β
Geschwindigkeit:


sin β
vS = ṙS = lS β̇  0 
cos β
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Kinetische Energie:
1 2 1
mv + θO β̇ 2 , θO = θS + mlS2
2 S 2
1 2 2 1
=
ml β̇ + (θS + mlS2 )β̇ 2
2 S
2
1
= mlS2 β̇ 2 + θS β̇ 2
2
1
= (mlS2 + θS )β̇ 2
2
T =
Potenzielle Energie:
US = mgzS = mglS sin β

 
2
−a
−a
cos
β
2
 = 2a2 (1 − cos β)
0
4lF =  0  − 
0
a sin β
2
1
UF =
c4lF2 = ca2 (1 − cos β)
2
⇒
U = US + UF = mglS sin β + ca2 (1 − cos β)
Lagrange-Funktion:
1
L = T − U = (mlS2 + θS )β̇ 2 − mglS sin β − ca2 (1 − cos β)
2
Nichtkonservative Kräfte:

rF =
FD =
ra =
δA =
=

1 − cos β

0
−a 
sin β


sin β
dṙF = −daβ̇  0 
cos β




− cos β
sin β
 ⇒ δra = a  0  δβ
0
a
sin β
cos β
FD δra

 

sin β
sin β
−daβ̇  0  · a  0  δβ
cos β
cos β
= −da2 β̇δβ
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Q̃β = −da2 β̇
⇒
Lagrange-Gleichung:
d
dt
∂L
∂ β̇
−
∂L
= Q̃β
∂β
∂L
= −mglS cos β − ca2 sin β
∂β
∂L
= (2mlS2 + θS )β̇
∂ β̇
d ∂L
= (2mlS2 + θS )β̈
dt ∂ β̇
⇒
⇔
(2mlS2 + θS )β̈ + mglS cos β + ca2 sin β = −da2 β̇
(2mlS2 + θS )β̈ = −da2 β̇ − ca2 sin β − mglS cos β
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Aufgabe 13 :
Gegeben seien die um die Ruhelage α = β = 0 linearisierten Bewegungsgleichungen eines
Doppelpendels, das aus zwei gleichlangen, homogenen Stäben der Masse m und der Länge
l besteht.
θz + 5ml2
2ml2
2
2ml
θz + ml2
α̈
β̈
+
3mgl 0
0
mgl
a) Überführen Sie die linearisierten Bewegungsgleichungen in die Zustandsform.
b) Berechnen Sie die Eigenwerte der Systemmatrix.
c) Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren.
d) Interpretieren Sie das Ergebnis, indem Sie die
Eigenschwingungsform betrachten.
α
β
=
0
0
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Aufgabe 14 :
Eine Masse m = 500 kg ist über eine Feder (Federsteifigkeit c = 1000 N/m ) mit dem
Fundament verbunden. Aufgrund einer Anfangsauslenkung z0 = 0, 1 m führt die Masse
ungedämpfte Schwingungen in z-Richtung aus. Die Schwingung dieser Masse kann dadurch gedämpft werden, dass man ein zusätzliches Feder-Masse-Dämpfer-System, einen
so genannten Tilger (Tilgermasse mT = 20 kg , Dämpfungswert dT = 11 Ns/m , Federsteifigkeit cT ) an der Masse anbringt. Das Tilgersystem muss so dimensioniert werden, dass
die Tilgermasse über die Ankopplung eine dämpfende Kraft auf die Masse ausübt. Dies
ist dann der Fall, wenn die Eigenkreisfrequenz des Tilgers gleich der Eigenkreisfrequenz
der Hauptmasse ist. Der Dämpfer des Tilgers sorgt dafür, dass dem Schwingungssystem
Energie entzogen wird. Sie darf allerdings nicht zu groß gewählt werden, damit sich die
Eigenkreisfrequenz nicht zu stark verschiebt.
a) Wie viele Freiheitsgrade besitzt das Gesamtsystem, bestehend aus der schwingenden
Masse und dem Tilger?
b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für die schwingende Masse mit Tilger auf.
c) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz der schwingenden Hauptmasse.
d) Wie groß muss die Federsteifigkeit cT des Tilgersystems gewählt werden, damit die
Schwingung der Hauptmasse gedämpft wird?
Aufgabe 15 :
Ein Kraftfahrzeug ist ein sehr komplexes System mit vielen Schwingungsmöglichkeiten.
Zur Untersuchung der niederfrequenten Vertikalschwingungen, die für den Fahrkomfort
und die Fahrsicherheit verantwortlich sind, kann ein vereinfachtes Fahrwerksmodell als
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Ersatzmodell verwendet werden. Der Fahrzeugaufbau wird dabei als starrer Körper (Masse M , Trägheitsmoment Θ), die Achs- und Radmassen als Punktmassen m1 und m2 betrachtet, die durch Federn (Federsteifigkeiten c1 und c2 ) und Stoßdämpfer (Dämpfungswerte d1 und d2 ) miteinander verbunden sind. Weiterhin wird die Elastizität der Reifen
durch Federn (Federsteifigkeiten c3 und c4 ) ohne Dämpfung dargestellt.
a) Wie viele Freiheitsgrade besitzt das Ersatzmodell?
b) Wählen Sie geeignete verallgemeinerten Koordinaten.
c) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf.
d) Schreiben Sie die Massenmatrix M, die Dämpfungsmatrix D, die Matrix G der
gyroskopischen Kräfte, die Matrix K der konservativen Kräfte und die Matrix N
der nichtkonservativen Kräfte auf.
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Aufgabe 16 :
Die Faltung zweier Funktionen ist durch das Zeitintegral über das Produkt aus der einen
Funktion mit der anderen verschobenen Funktion definiert:
Z∞
(f1 ∗ f2 )(t) =
f1 (τ )f2 (t − τ )dτ .
−∞
Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für die Fourier-Transformation.
a) Faltungssatz:
Die Fourier-Transformierte der Faltung zweier Funktionen ist gleich dem Produkt
der Fourier-Transformatierten dieser Funktionen:
F [(f1 ∗ f2 )(t)] = F [f1 (t)] · F [f2 (t)] .
b) Verschiebungssatz:
Die Fourier-Transformierte einer um die Zeit t0 verschobenen Funktionen ist gleich
der Fourier-Transformatierten der unverschobenen Funktion, multipliziert mit dem
Faktor e−jωt0 :
F [f (t − t0 )] = e−jωt0 F [f (t)] .
c) Linearitätssatz:
Die Fourier-Transformierte der Summe von Funktionen ist gleich der Summe der
Fourier-Transformatierten dieser Funktionen:
F [f1 (t) + f2 (t)] = F [f1 (t)] + F [f2 (t)] .
d) Ähnlichkeitssatz:
Die Fourier-Transformierte einer Funktionen, mit der eine Ähnlichkeitstransformation durchgeführt wurde (t → at), ist gleich der Fourier-Transformatierten der ursprünglichen Funktionen mit der Ähnlichkeitstransformation ω → ω/a, dividiert
durch den Betrag des Faktors a:
1 ω F [f (at)] = F
,
a
a
a > 0.
Weitere Rechenregeln sowie die Fourier-Transformierte spezieller Funktionen sind in diversen mathematischen Formelsammlungen zu finden.
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Aufgabe 17 :
Bestimmen Sie mit Hilfe der bekannten Rechenregeln die Fourier-Transformierte F (ω) für
die folgenden Funktionen.
a) Signum-Funktion:


1, t>0
0, t=0
f (t) = sgn t =

−1 , t < 0
b) Sprungfunktion:

 1, t>0
1
, t=0
f (t) = h(t) =
 2
0, t<0
Aufgabe 18 :
Eine Zentrifuge ist eine Trennschleuder, ein mechanisches Gerät, das Substanzen unterschiedlicher Dichte trennt. Das Funktionsprinzip einer Zentrifuge beruht auf der durch
Rotation entstehenden Zentrifugalkraft.
Für die Schwingungen einer starren Zentrifuge sollen die linearen Bewegungsgleichungen
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aufgestellt werden. Dazu wird die Zentrifuge vereinfacht als starrer Zylinder (Masse mZ ,
Durchmesser dZ , Höhe hZ ) angenommen. Die Lage der Zentrifuge wird durch das körperfeste, kartesische Koordinatensystem x1 , y1 , z1 bezüglich des Inertialsystems xI , yI , zI beschrieben. Angetrieben wird die Zentrifuge durch das Antriebsmoment MA (t) um die
z1 -Achse.
a) Welchen Bindungen unterliegt die Bewegung der Zentrifuge?
b) Wie viele Freiheitsgrade besitzt das System?
c) Wählen Sie die verallgemeinerte(n) Koordinate(n).
d) Stellen Sie den Ortsvektor r zum Schwerpunkt der Zentrifuge auf. Dabei kann von
kleinen Rotationen um die xI - und yI -Achse ausgegangen werden, d. h. es gilt α 1
und β 1.
e) Schreiben Sie die Jacobi-Matrizen auf.
f) Ermittelt Sie die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.
g) Bestimmen Sie die eingeprägten Kräfte und Momente.
h) Stellen Sie die Newton-Euler-Gleichungen für die Zentrifuge auf.
i) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Zentrifuge auf.
j) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichung.
k) Schreiben Sie die Massenmatrix M, die Dämpfungsmatrix D, die Matrix G der
gyroskopischen Kräfte, die Matrix K der konservativen Kräfte und die Matrix N
der nichtkonservativen Kräfte auf.
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Aufgabe 19 :
Das Ziel des dargestellten Motorregelungssystems ist der Betrieb des Motors mit optimalen Einstellungen. Das System besteht aus Sensoren, die nach entsprechender Signalaufbereitung die Eingangssignale an den Mikrocontroller liefern, der wiederum über Treiber
Ausgangssignale zur Betätigung von Stellgliedern ausgibt. Die Abbildung zeigt einige dieser Elemente bei einem Motor. Dabei ist nur ein Zylinder abgebildet.
Die schematische Darstellung der Gesamtstruktur eines mechatronischen Systems soll auf
das Beispiel des Motormanagements übertragen werden. Tragen sie bitte hierzu die entsprechenden Begriffe aus der Motordarstellung in das Mechatronikschema ein.
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Aufgabe 20 :
Das Bild zeigt einen Hubmagneten. Die durch das Joch verbundenen Schenkel eines Uförmigen Eisenkerns mit dem Querschnitt A sind von einer Erregerwicklung mit n Windungen umgeben. Unterhalb der Schenkel, durch einen Luftspalt getrennt, befindet sich
im Abstand x der Anker mit der Masse m. Durch die Spule fließt aufgrund der Spannung
u ein Strom i, der einer Magnetkraft FM erzeugt und den Anker anzieht. Da sich aufgrund
der Ankerbewegung auch die Induktivität verändert, verläuft der Strom anders als in der
Spule mit konstanter Induktivität. Der Streufluss und die Hysterese der Magnetisierung
werden hier vernachlässigt.
Bezeichnungen:
FM
g
i
m
R
u
x
Magnetkraft
Erdbeschleunigung
Stromstärke
Ankermasse
Ohmscher Widerstand der Spule
Spannung
Abstand des Ankers von den Jochschenkeln
Das Gesamtsystem besteht aus einem mechanischen und einem elektrischen Anteil. Das
Kräftegleichgewicht in x-Richtung liefert die Bewegungsgleichung des Ankers:
m · ẍ = −FM + m · g
(1)
mit der Magnetkraft
FM =
1 dL 2
·i .
2 dx
(2)
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Das elektrische System besteht aus einer Spule mit dem Ohmschen Widerstand R und
der Induktivität L. Die Induktivität ist jedoch nicht konstant, weil sich bei der Ankerbewegung der Luftspalt ändert und damit die Induktivität. Sie ist also von x abhängig. Der
Maschensatz liefert:
L·
di
dL
=u−R·i−
· ẋ · i
dt
dx
(3)
mit der Spuleninduktivität
L(x) =
c1
.
c2 + x
(4)
a) Zeichnen Sie zu den oben angegebenen Differenzialgleichungen (1) und (3) unter
Einbeziehung der Gleichungen (2) und (4) das Blockschaltbild.
b) Überführen Sie die Differenzialgleichungen (1) und (3) in die Zustandsdarstellung.
Aufgabe 21 :
Gegeben ist das nichtlineare Differenzialgleichungssystem dritter Ordnung:
ẋ = (2x − 2) sin y ,
ẏ = −y(x + z − 2) ,
ż = (x − 1)2 − z 2 .
a) Bestimmen Sie alle Ruhelagen des Systems.
b) Linearisieren Sie das System um den Arbeitspunkt (x0 , y0 , z0 ) =
Aufgabe 22 :
Das Doppelpendel, bestehend aus zwei masselosen
Stäben der Länge l und zwei Punktmassen m, führt
freie Schwingungen aus. Das erste Pendel ist im Punkt
A drehbar befestigt. Das zweite Pendel ist am Ende
des ersten Pendel mit diesem drehbar verbunden. Beide Lager sind reibungsfrei angenommen. Eine Luftreibung wird ebenfalls vernachlässigt. Die Pendelbewegungen werden durch die Winkel ϕ1 und ϕ2 beschrieben:
3
, −π, 21
2
.
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2ml2
ml2 cos(ϕ1 − ϕ2 )
ml2 cos(ϕ1 − ϕ2 )
ml2
ϕ̈1
ϕ̈2
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+
ml2 ϕ̇22 sin(ϕ1 − ϕ2 )
−ml2 ϕ̇21 sin(ϕ1 − ϕ2 )
−2mgl sin ϕ1
=
.
−mgl sin ϕ2
a) Linearisieren Sie die gegebenen nichtlinearen Bewegungsgleichungen um die Ruhelage ϕ1 = ϕ2 = 0 .
b) Überführen Sie die linearen Bewegungsgleichungen in die Zustandsform.
c) Berechnen Sie die Eigenwerte der Systemmatrix.
d) Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren.
e) Stellen Sie die Eigenschwingungsformen auf.
f) Skizzieren Sie die Anfangspositionen, aus denen das Doppelpendel losgelassen werden muss, damit es sich in einer reinen Eigenschwingungsform bewegt?
Aufgabe 23 :
Für einen Bodenverdichter soll die Vertikalbewegung des Aufbaus untersucht werden.
Dazu sollen für das unten dargestellt Ersatzmodell der Hälfte“eines symmetrischen Bo”
denverdichters die Bewegungsgleichungen aufgestellt werden. Das Ersatzmodell besteht
dem Gehäuse (Masse M ), dem Unwuchterreger, einem Feder-Dämpfer-Element (Federkonstante c, entspannte Federlänge l0 , Dämpfungswer d) und aus der Schiene. Der Unwuchterreger besteht aus einer masselosen Stange der Länge l sowie einem punktförmigen
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Gewicht (Punktmasse m) und dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω
um den Schwerpunkt S des Gehäuses. Es soll angenommen werden, dass sich die Schiene
nicht vom Boden entfernt.
a) Welchen Bindungen unterliegt das betrachtete Ersatzsystem?
b) Wie viele Freiheitsgrade besitzt das Ersatzsystem?
c) Wählen Sie die verallgemeinerte(n) Koordinate(n).
d) Stellen Sie die Ortsvektoren zum Schwerpunkt der Hälfte des Bodenverdichters und
zur Punktmasse auf.
e) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten und
Beschleunigungen.
f) Schreiben Sie die Jacobi-Matrizen auf.
g) Bestimmen Sie die eingeprägten Kräfte und Momente.
h) Stellen Sie die Newton-Euler-Gleichungen auf.
i) Berechnen Sie die Bewegungsgleichungen des Ersatzsystems.
Aufgabe 24 :
Bestimmen Sie mit Hilfe der bekannten Rechenregeln die Fourier-Transformierte F (ω) der
folgenden Funktionen.
a)
f (t) = t
b)
t2
− 2
1
f (t) = √
· e 4a ,
4πa
c)
f (t) = cos(at2 ) ,
d)
e)
a>0
a>0

 0, t<a
1
, t=a
f (t) = H(t − a) =
 2
1, t>a

 −1 , t < 1
1, t=1
f (t) =

3, t>1
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Aufgabe 25 :
a) Nennen Sie einige Merkmale, die mechatronische Systeme gegenüber konventionel”
len“auszeichnen.
b) Was versteht man bei mechatronischen Systemen unter dem Begriff funktiona”
le Integration“? Was sind die Voraussetzungen, um diese Art der Integration zu
ermöglichen?
c) Was versteht man bei mechatronischen Systemen unter dem Begriff räumliche In”
tegration“? Was sind die Voraussetzungen, um diese Art der Integration zu ermöglichen?
Aufgabe 26 :
a) Nennen Sie die wesentlichen Gründe, warum in der Fahrzeugtechnik mehr und mehr
Sensoren, die auf dem Potentiometerprinzip beruhen, durch berührungsfreie Sensoren ersetzt werden. Was spricht umgekehrt gegen diesen Trend?
b) Hydraulische Aktuatoren haben unter anderem den Nachteil, dass eine (häufig umwelttechnisch problematische) Flüssigkeit zu ihrem Betrieb benötigt wird. Warum
kann man trotzdem häufig auf ihren Einsatz nicht verzichten?
Aufgabe 27 :
a) Die Eigenwerte eines linearen Schwingungssystems der Ordnung 5 seien
5
λ1 = −2 , λ2 = −5 + i , λ3 = − + πi , λ4 = −5 − i .
2
Geben Sie den Eigenwert λ5 an.
b) Ein Kollege nennt Ihnen als Zeitverhalten eines linearen mechanischen Schwingers
die Lösung
x1 = e−2t cos(πt) ,
x2 = e−3t sin(πt) .
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Ist diese Lösung korrekt? Falls nicht, warum nicht?
Wie lautet die Antwort für
x1 = e−t cos(πt) ,
x2 = e−t cos(πt) ?
c) Die linearen Gleichungen eines mechanischen Schwingers lauten
Mÿ + Dẏ + Gẏ + Ky + Ny = 0 .
Welche Eigenschaften müssen die Matrizen erfüllen, falls es sich um ein konservatives
System handelt?
d) Die folgende Gleichung für einen 2-dimensionalen mechanischen konservativen
Schwinger enthält einen Fehler. Welchen?
5 2
3 5
ÿ +
0 2
−2 0
ẏ +
2 −1
−2 3
y=0