Stochastik I 7. ¨Ubungsserie

Prof. Dr. Uwe Küchler
Dr. Markus Riedle
Dipl. Math. Hagen Gilsing
Dipl. Math. Thomas Knispel
SS 2006
Stochastik I
7. Übungsserie
7.1 (4 Punkte) Aus dem Intervall [0, L] werden zwei Punkte X1 und X2 rein zufällig
und unabhängig voneinander ausgewählt. Dadurch werden 3 Strecken der Längen
U1 := min{X1 , X2 },
U2 := L − max{X1 , X2 },
U3 := L − U1 − U2
definiert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus den drei Strecken U1 ,
U2 und U3 ein Dreieck gebildet werden kann.
7.2 (3 Punkte) Um die Anzahl N der Fische in einem Teich zu schätzen, werden K Fische
gefangen, markiert und wieder ausgesetzt. Man wartet, bis eine gute Vermischung
der markierten und der nicht markierten Fische angenommen werden kann und fängt
dann n Fische.
(a) Man bestimme bei festem (N, K, n) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich k
markierte Fische unter den eingefangenen Fischen befinden.
(b) Man nehme an, dass sich in dem erneuten Fang von n Fischen genau k markierte Fische befinden. Ist N unbekannt, so verwendet man als Schätzung für
N denjenigen Wert N̂ , für den die Wahrscheinlichkeit aus (a) maximal wird.
Bestimmen Sie N̂ . (Dies ist die sogenannte Maximum-Likelihood-Methode.)
7.3 (4Punkte)
(a) Es sei X eine Zufallsgröße mit Werten in {0, 1, . . . }. Zeigen Sie, dass die folgenden
Aussagen äquivalent sind:
i) X ist geometrisch verteilt, d.h. es gilt
P (X = n) = (1 − p)n p für n = 0, 1, 2, . . .
und ein p ∈ (0, 1);
ii) die Verteilung von X ist gedächtnislos, d.h. es gilt
P (X = n + k | X > k) = P (X = n)
für alle n, k ∈ {0, 1, 2, . . . };
iii) es gilt für alle n ∈ {0, 1, 2, . . . }:
P (X = n + 1 | X > 1) = P (X = n).
(b)∗ (2 Bonuspunkte) Welche Wahrscheinlichkeitsdichte f einer positiven Zufallsgröße besitzt eine analoge Eigenschaft?
R
7.4 (6 Punkte) Für jede Wahrscheinlichkeitsdichte f auf mit f (x) = 0 für x < 0 wird
durch
Z
uk −u
qk :=
e f (u) du
für k ∈ 0
R+ k!
N
eine Folge (qk )k∈N0 definiert.
(a) Weisen Sie nach, dass (qk )k∈N0 die Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Q auf (N0 , P(N0 )) sind. (Man nennt Q die PoissonMischung mit der Mischungsdichte f .)
(b) Zeigen Sie, dass die erzeugende Funktion GQ von Q gegeben ist durch GQ (s) =
Lf (1 − s) für |s| 6 1, wobei
Z
Lf : + → ,
Lf (t) :=
e−tu f (u) du.
R
R
R+
(c) Es seien X eine Zufallsgröße mit der Verteilung Q und Y eine Zufallsgröße mit
der Dichte f und EY 2 < ∞. Zeigen Sie, dass dann gilt:
EX = EY
und
D2 X = D2 Y + EY.
(d) Weisen Sie nach, dass der Dispersionskoeffizient einer Poisson-Mischung stets
größer oder gleich eins ist.
(e) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der negativen Binomialverteilung
durch Anwendung des Ergebnisses in (c), siehe auch Aufgabe 4.6.
Hinweis: Aufgaben, die mit einem ∗ versehen sind, gehören nicht zum Pflichtpensum, man
kann aber für ihre Bearbeitung Bonuspunkte erhalten.
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